Esercizio 107punto di minima distanza da una retta (appello 8/7/2025)

Testo (2° appello dell'8 luglio 2025, esercizio 4). Nello spazio affine $\mathbb{A}^3_{\mathbb{R}}$ sono assegnati i punti $A = (3, -1, 0)$, $B = (1, 3, 1)$ e la retta

$$r: \begin{cases} x + y - 3z - 7 = 0 \\ y - z - 3 = 0 \end{cases}$$

(a) Determinare il punto $H \in r$ di minima distanza dal punto $A$. (b) Determinare l'equazione cartesiana del piano $\pi$ contenente i punti $A$, $B$ e parallelo alla retta $r$. (c) Determinare le equazioni parametriche della retta $s$ passante per $A$, contenuta nel piano $\pi$ e ortogonale alla retta passante per i punti $A$ e $B$.

Teoria usata: Distanze e angoli nello spazio affineLa distanza tra due punti è la norma del vettore che li unisce. La distanza di un punto Q da un sottospazio affine L si misura dal piede della perpendicolare H, l'unico punto di L con Q − H ortogonale allo spazio direttore. Per un iperpiano a·x = b vale la formula |a·Q − b|/‖a‖. Rette sghembe: perpendicolare comune. Angoli tra rette e piani dai vettori direttori e normali.Distanze e angoli nello spazio affine →, Spazi affini, rette e pianiNello spazio affine Aⁿ si distinguono punti e vettori (Q − P è il vettore da P a Q). Un sottospazio affine è L = P + W, un punto più un sottospazio vettoriale (lo spazio direttore): si descrive con equazioni parametriche X = P + t₁w₁ + … oppure cartesiane AX = B. Rette e piani di A³, passaggio tra i due tipi di equazioni, posizione reciproca: incidenti, paralleli, sghembi.Spazi affini, rette e piani →, Prodotto vettoriale e prodotto mistoIl prodotto vettoriale v × w di due vettori di R³ è ortogonale a entrambi, ha norma uguale all'area del parallelogramma che formano e verso dato dalla regola della mano destra; si calcola con un determinante simbolico. Il prodotto misto u · (v × w) = det(u, v, w) è il volume (con segno) del parallelepipedo. Applicazioni: normale a un piano per tre punti, direzione di una retta intersezione di due piani, aree, volumi, distanza tra rette sghembe.Prodotto vettoriale e prodotto misto →.

Parametriche di $r$

Un modo rapido: trovare due punti della retta. Con $z = 0$: $y = 3$ e $x = 7 - y = 4$, punto $R_1 = (4, 3, 0)$. Con $z = 1$: $y = 4$ e $x = 7 - 4 + 3 = 6$, punto $R_2 = (6, 4, 1)$. Direttore $v_r = R_2 - R_1 = (2, 1, 1)$:

$$r: \ X = (4 + 2t, \ 3 + t, \ t).$$

Controllo: $(2, 1, 1)$ è ortogonale alle normali $(1, 1, -3)$ ($2 + 1 - 3 = 0$ ✓) e $(0, 1, -1)$ ($1 - 1 = 0$ ✓).

(a) Punto di $r$ più vicino ad $A$

Il punto più vicino è il piede della perpendicolare: il vettore $X - A$ deve essere ortogonale alla direzione della retta.

$$X - A = (1 + 2t, \ 4 + t, \ t), \qquad (X - A) \cdot (2, 1, 1) = 2 + 4t + 4 + t + t = 6 + 6t = 0 \iff t = -1 .$$

$$H = (4 - 2, \ 3 - 1, \ -1) = (2, 2, -1).$$

Controlli: $H \in r$ ($2 + 2 + 3 - 7 = 0$ ✓, $2 + 1 - 3 = 0$ ✓); $A - H = (1, -3, 1)$ e $(1, -3, 1) \cdot (2, 1, 1) = 2 - 3 + 1 = 0$ ✓. La distanza è $d(A, r) = \|(1, -3, 1)\| = \sqrt{11}$.

Perché funziona. Per un qualsiasi altro punto $X \in r$, $\|X - A\|^2 = \|H - A\|^2 + \|X - H\|^2$ (Pitagora, perché $X - H$ è parallelo a $r$ e $H - A$ è ortogonale a $r$): il minimo si ha per $X = H$.

(b) Piano per $A$ e $B$ parallelo a $r$

Il piano contiene la direzione $\overrightarrow{AB} = B - A = (-2, 4, 1)$ (passa per $A$ e $B$) e la direzione $v_r = (2, 1, 1)$ (è parallelo a $r$). Normale:

$$n = \overrightarrow{AB} \times v_r = (-2, 4, 1) \times (2, 1, 1) = \big(4 \cdot 1 - 1 \cdot 1, \ \ 1 \cdot 2 - (-2) \cdot 1, \ \ (-2) \cdot 1 - 4 \cdot 2\big) = (3, 4, -10).$$

$\pi: 3x + 4y - 10z = d$, con $d = 3 \cdot 3 + 4 \cdot (-1) - 0 = 5$ (passaggio per $A$):

$$\pi: \ 3x + 4y - 10z - 5 = 0 .$$

Controlli: $B$: $3 + 12 - 10 - 5 = 0$ ✓; $n \cdot v_r = 6 + 4 - 10 = 0$ ✓ (parallelo a $r$). Inoltre $r \not\subset \pi$: $R_1 = (4, 3, 0)$ dà $12 + 12 - 0 - 5 = 19 \ne 0$, quindi $r$ è parallela a $\pi$ ma non contenuta.

(c) Retta $s$ per $A$, in $\pi$, ortogonale ad $AB$

Il direttore $v_s$ deve essere ortogonale a $n$ (per stare nel piano) e ad $\overrightarrow{AB}$:

$$v_s = n \times \overrightarrow{AB} = (3, 4, -10) \times (-2, 4, 1) = \big(4 \cdot 1 - (-10) \cdot 4, \ \ (-10)(-2) - 3 \cdot 1, \ \ 3 \cdot 4 - 4 \cdot (-2)\big) = (44, 17, 20).$$

$$s: \begin{cases} x = 3 + 44t \\ y = -1 + 17t \\ z = 20t \end{cases}$$

Controlli: $v_s \cdot n = 132 + 68 - 200 = 0$ ✓; $v_s \cdot \overrightarrow{AB} = -88 + 68 + 20 = 0$ ✓.

I numeri sono grandi ma il metodo è sicuro. In alternativa: $v_s$ è una combinazione $a\,\overrightarrow{AB} + b\,v_r$ (le due direzioni di $\pi$) ortogonale ad $\overrightarrow{AB}$: $a\|\overrightarrow{AB}\|^2 + b\,(\overrightarrow{AB} \cdot v_r) = 21a + b = 0$ (perché $\overrightarrow{AB} \cdot v_r = -4 + 4 + 1 = 1$), quindi con $a = 1$, $b = -21$: $v_s = (-2, 4, 1) - 21(2, 1, 1) = (-44, -17, -20)$, lo stesso a meno del segno ✓.

Errori comuni

• Imporre $(X - A) \cdot (X - A)$ minimo derivando: funziona, ma la condizione di ortogonalità porta allo stesso risultato con un'equazione di primo grado.
• In (b) usare come seconda direzione una normale di $r$: serve il direttore $v_r$.
• In (c) prendere $v_s = n$: la retta sarebbe perpendicolare al piano, non contenuta.