Proprietà del determinante, Binet e Laplace

Lezioni 20 (seconda parte) e 21 (videolezioni n. 20–21). Esercizi svolti: Esercizio 47 · determinante 4×4 con Laplace e con Gauss. Seguito: Matrice aggiunta e teorema di CramerLa matrice aggiunta A* è la trasposta della matrice dei complementi algebrici e soddisfa A·A* = det A · I; quindi A è invertibile se e solo se det A ≠ 0, con A⁻¹ = A*/det A. Cramer: xᵢ = Δᵢ/Δ. Matrici simili hanno lo stesso determinante.Matrice aggiunta e teorema di Cramer →.

La definizioneIl determinante di una matrice quadrata è la somma, su tutte le n! permutazioni, dei prodotti di n elementi presi uno per riga e uno per colonna, con segno + o − secondo la parità della permutazione; per 2×2 è ad − bc, per 3×3 c'è la regola di Sarrus, per le triangolari è il prodotto della diagonale.Permutazioni e definizione di determinante → richiede $n!$ prodotti: troppi. Le proprietà di questa nota permettono di calcolare i determinanti in modo efficiente (con Gauss o con Laplace) e di capire il legame con l'invertibilità. Ricordiamo che $\det A^T = \det A$: tutto quello che si dice per le righe vale anche per le colonne.

Notazione: $A^{(i)}$ indica la $i$-esima riga di $A$ (l'indice tra parentesi in alto serve a non confonderla con la potenza $A^i$).

1. Il determinante è lineare in ogni riga

Teorema. Se la riga $i$ di una matrice è una combinazione lineare $\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2$ di due vettori riga, e le altre righe restano fisse, allora

$$\det \begin{pmatrix} A^{(1)} \\ \vdots \\ \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 \\ \vdots \\ A^{(n)} \end{pmatrix} = \alpha_1 \det \begin{pmatrix} A^{(1)} \\ \vdots \\ v_1 \\ \vdots \\ A^{(n)} \end{pmatrix} + \alpha_2 \det \begin{pmatrix} A^{(1)} \\ \vdots \\ v_2 \\ \vdots \\ A^{(n)} \end{pmatrix}.$$

È la stessa regola delle funzioni lineariUna funzione tra spazi vettoriali è lineare se rispetta somma e prodotto per uno scalare; manda 0 in 0, è determinata dalle immagini di una base e si chiama isomorfismo quando è anche biiettiva.Funzioni lineari e isomorfismi →, $f(\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2) = \alpha_1 f(v_1) + \alpha_2 f(v_2)$, applicata a una riga alla volta.

Dimostrazione. In ogni prodotto della definizione compare esattamente un elemento della riga $i$, cioè $a_{i\sigma(i)} = \alpha_1 (v_1)_{\sigma(i)} + \alpha_2 (v_2)_{\sigma(i)}$. Per la proprietà distributiva ogni prodotto si spezza in due prodotti: uno con $\alpha_1 (v_1)_{\sigma(i)}$ e uno con $\alpha_2 (v_2)_{\sigma(i)}$. Raccogliendo $\alpha_1$ dai primi e $\alpha_2$ dai secondi, le due somme che restano sono esattamente i determinanti delle matrici con $v_1$ e con $v_2$ al posto della riga $i$. ∎

Attenzione: lineare in ogni riga, NON nella matrice intera. In generale

$$\det(A + B) \ne \det A + \det B.$$

Esempio: $A = B = I_2$. Allora $\det(A + B) = \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 4$, mentre $\det A + \det B = 1 + 1 = 2$.

2. Effetto delle operazioni elementari

Perché.

• Scambio. Scambiare due righe aggiunge uno scambio a ogni permutazione della definizione: le permutazioni pari diventano dispari e viceversa, quindi tutti i segni cambiano. (Questa è solo l'idea; i dettagli sono tecnici.)
• Moltiplicare una riga per $\lambda$. È il caso $\alpha_1 = \lambda$, $\alpha_2 = 0$ della linearità: ogni prodotto contiene un solo elemento di quella riga, quindi $\lambda$ si raccoglie una volta.
• Due righe uguali. Scambiandole la matrice non cambia, quindi il determinante resta lo stesso; ma lo scambio deve cambiarlo di segno. L'unico numero uguale al proprio opposto è $0$: $\det A = -\det A \Rightarrow \det A = 0$.
• Riga nulla. Ogni prodotto contiene un elemento di quella riga, cioè uno zero.
• Sommare a una riga un multiplo di un'altra. Per linearità nella riga $i$: $$\det(\dots, A^{(i)} + \alpha A^{(j)}, \dots) = \det(\dots, A^{(i)}, \dots) + \alpha \det(\dots, \underbrace{A^{(j)}}_{\text{posto } i}, \dots).$$ L'ultima matrice ha la riga $A^{(j)}$ due volte (al suo posto $j$ e al posto $i$), quindi il suo determinante è $0$ e resta solo $\det A$.
• Tutta la matrice per $\lambda$. Si moltiplicano per $\lambda$ tutte le $n$ righe, una alla volta: $\lambda \cdot \lambda \cdots \lambda = \lambda^n$.

Collegamento con il rango. Se le righe sono linearmente dipendenti, una è combinazione delle altre; sottraendole quella combinazione (operazione che non cambia il determinante) si ottiene una riga nulla, quindi $\det A = 0$. Dunque $\operatorname{rango}(A) < n \Rightarrow \det A = 0$. Il viceversa si vedrà in Matrice aggiunta e teorema di CramerLa matrice aggiunta A* è la trasposta della matrice dei complementi algebrici e soddisfa A·A* = det A · I; quindi A è invertibile se e solo se det A ≠ 0, con A⁻¹ = A*/det A. Cramer: xᵢ = Δᵢ/Δ. Matrici simili hanno lo stesso determinante.Matrice aggiunta e teorema di Cramer →.

Esempio della linearità (lezione 20). $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 6 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}$. Con $R_2 \to R_2 - 3R_1$ la nuova seconda riga è $(0, -2, 5) = A^{(2)} - 3A^{(1)}$, quindi

$$\det \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 5 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix} = \det A - 3 \det \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix} = \det A - 3 \cdot 0 = \det A.$$

3. Calcolo del determinante con Gauss

Metodo. Si riduce $A$ a forma triangolare con operazioni elementari (qui si possono usare anche le colonne, perché non c'è un sistema da risolvere), tenendo traccia di come cambia il determinante:

• ogni scambio introduce un fattore $-1$;
• ogni riga moltiplicata per $\lambda$ introduce un fattore $\lambda$ (conviene evitarlo, o ricordarsi di dividere);
• le operazioni $R_i \to R_i + \alpha R_j$ non cambiano nulla.

Alla fine il determinante della triangolare è il prodotto della diagonale.

Esempio (lezione 21). $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}$, già calcolato con Sarrus: $\det A = 4$.

• $C_1 \leftrightarrow C_3$: in alto a sinistra va il $-1$ e in prima colonna c'è già uno zero (ne serve uno in meno). Lo scambio cambia il segno: $$\det A = -\det \begin{pmatrix} -1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$$
• $R_3 \to R_3 + R_1$ (non cambia il determinante): la terza riga diventa $(0, 1, 5)$;
• $R_3 \to R_3 - R_2$ (non cambia il determinante): la terza riga diventa $(0, 0, 4)$: $$\det A = -\det \begin{pmatrix} -1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} = -\big((-1) \cdot 1 \cdot 4\big) = -(-4) = 4 \ ✓$$

Il segno meno portato dietro dallo scambio iniziale è essenziale: dimenticarlo darebbe $-4$.

Perché conviene. Per una $n \times n$ si creano al più $\frac{n(n-1)}{2}$ zeri (ordine $n^2$ operazioni), contro gli $n!$ prodotti della definizione. Per $n = 5$: $10$ operazioni contro $120$ prodotti.

4. Il teorema di Binet

Teorema (Binet). Per $A, B \in M_n(K)$: $$\det(AB) = \det A \cdot \det B.$$

È sorprendente: per la somma, che è un'operazione semplice, non c'è nessuna regola; per il prodotto righe per colonne, molto più complicato, la regola è la più semplice possibile. La dimostrazione è un calcolo lungo e la omettiamo.

Conseguenze.

1. Se $A$ è invertibile, $\det A \ne 0$ e $\det A^{-1} = \dfrac{1}{\det A}$. Infatti da $AA^{-1} = I_n$: $$\det A \cdot \det A^{-1} = \det(AA^{-1}) = \det I_n = 1,$$ e un prodotto di due numeri vale $1$ solo se nessuno dei due è zero.
2. $\det(AB) = \det(BA)$, anche se $AB \ne BA$ (i determinanti sono numeri, e i numeri commutano).
3. $\det(A^k) = (\det A)^k$.
4. Matrici simili hanno lo stesso determinante: se $B = P^{-1}AP$ allora $\det B = \frac{1}{\det P} \det A \det P = \det A$ (vedi Matrice aggiunta e teorema di CramerLa matrice aggiunta A* è la trasposta della matrice dei complementi algebrici e soddisfa A·A* = det A · I; quindi A è invertibile se e solo se det A ≠ 0, con A⁻¹ = A*/det A. Cramer: xᵢ = Δᵢ/Δ. Matrici simili hanno lo stesso determinante.Matrice aggiunta e teorema di Cramer →).

5. Lo sviluppo di Laplace

Notazioni. Per $A \in M_n(K)$:

• $A_{ij}$ (maiuscola) è la matrice $(n-1) \times (n-1)$ ottenuta da $A$ cancellando la riga $i$ e la colonna $j$ (quelle che contengono $a_{ij}$);
• il numero $(-1)^{i+j} \det A_{ij}$ si chiama complemento algebrico (o cofattore) di $a_{ij}$.

Il segno $(-1)^{i+j}$ vale $+1$ se $i + j$ è pari e $-1$ se è dispari: si alterna "a scacchiera", partendo da $+$ in alto a sinistra:

$$\begin{pmatrix} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{pmatrix}$$

Teorema (Laplace). Per ogni riga $i$ fissata: $$\det A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \det A_{ij} \qquad \text{(sviluppo lungo la riga } i\text{)},$$ e per ogni colonna $j$ fissata: $$\det A = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \det A_{ij} \qquad \text{(sviluppo lungo la colonna } j\text{)}.$$ Il risultato non dipende dalla riga o colonna scelta.

In parole: si sceglie una riga; per ogni suo elemento si cancellano riga e colonna dell'elemento, si calcola il determinante di ciò che resta, lo si moltiplica per l'elemento e per il segno della scacchiera; si sommano i risultati.

Quando conviene. Laplace trasforma un determinante $n \times n$ in $n$ determinanti $(n-1) \times (n-1)$: in generale non fa risparmiare. Diventa comodissimo quando una riga o colonna ha molti zeri, perché i termini con $a_{ij} = 0$ si saltano senza calcolare il determinante corrispondente. Si sceglie sempre la riga o colonna con più zeri.

Esempio (lezione 21).

$$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

La terza riga ha tre zeri: sviluppando lungo di essa resta solo il termine di $a_{33} = 2$, con segno $(-1)^{3+3} = +1$. Cancellando la riga $3$ e la colonna $3$:

$$\det A = (+1) \cdot 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.$$

Il determinante $3 \times 3$ lo sviluppiamo ancora con Laplace lungo la terza riga $(1, 2, 0)$, che ha uno zero:

$$\det \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} = (-1)^{3+1} \cdot 1 \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} + (-1)^{3+2} \cdot 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

$$= 1 \cdot (1 - 1) - 2 \cdot (-2 - 0) = 0 + 4 = 4.$$

(Per il primo termine si sono cancellate riga $3$ e colonna $1$, per il secondo riga $3$ e colonna $2$.) Quindi $\det A = 2 \cdot 4 = 8$. Lo stesso determinante con Gauss è nell'Esercizio 47 · determinante 4×4 con Laplace e con Gauss.

Caso $3 \times 3$ lungo la prima riga (formula utile da ricordare):

$$\det A = a_{11} \det \begin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} - a_{12} \det \begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} + a_{13} \det \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}.$$

Quale metodo usare

Spesso conviene mescolare: qualche operazione $R_i \to R_i + \alpha R_j$ per creare zeri in una colonna, poi Laplace lungo quella colonna.

Errori comuni

• Dimenticare il segno dopo uno scambio di righe o colonne nel metodo di Gauss.
• Moltiplicare una riga per $\lambda$ e non dividere il risultato per $\lambda$. (Nota: $R_i \to \lambda R_i + \alpha R_j$ moltiplica il determinante per $\lambda$.)
• Scrivere $\det(\lambda A) = \lambda \det A$: è $\lambda^n \det A$.
• Scrivere $\det(A + B) = \det A + \det B$: falso.
• Sbagliare i segni della scacchiera in Laplace: il segno dipende dalla posizione $(i,j)$ dell'elemento, non dal suo valore.
• Cancellare la riga e la colonna sbagliate: si cancellano quelle che passano per l'elemento che si sta usando.