Esercizio 11domande teoriche su dimensione, somma e intersezione (lezione 27)

Testo (domande 1 e 2: esempi di "domande teoriche d'esame" proposti dal prof nella lezione 27; domande 3 e 4 dello stesso tipo).

1. In $\mathbb{R}^6$ siano $U$ e $V$ due sottospazi con $\dim U = 4$ e $\dim V = 3$. Che cosa si può dire della dimensione di $U \cap V$?
2. È vero che, se $V \not\subseteq U$, allora necessariamente $U + V = \mathbb{R}^6$?
3. In $\mathbb{R}^3$ possono esistere due sottospazi di dimensione $2$ con intersezione $\{\vec 0\}$? E in $\mathbb{R}^4$?
4. In $\mathbb{R}^5$, se $\dim U = \dim V = 3$ e $U + V = \mathbb{R}^5$, quanto vale $\dim(U \cap V)$?

Teoria usata: Formula di Grassmann e somma direttaFormula di Grassmann: dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W), come contare gli elementi di un'unione senza contare due volte quelli comuni. Se U ∩ W = {0} la somma è diretta, U ⊕ W, e ogni vettore si scrive in modo unico come u + w.Formula di Grassmann e somma diretta →, DimensioneTutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di vettori, la dimensione (dim K^n = n). Da ogni sistema di generatori si estrae una base, ogni insieme di vettori indipendenti si completa a una base, e in dimensione n bastano n vettori indipendenti (o n generatori) per avere una base.Dimensione →, Intersezione, somma e sottospazio generatoL'intersezione di due sottospazi è un sottospazio, l'unione in generale no. Al suo posto si usa la somma U + W = {u + w}, il più piccolo sottospazio che contiene entrambi. Il sottospazio generato da un insieme S è l'insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di S.Intersezione, somma e sottospazio generato →.

Lo strumento. In queste domande non si conoscono i vettori, solo le dimensioni: non c'è niente da calcolare, si ragiona con la formula di GrassmannFormula di Grassmann: dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W), come contare gli elementi di un'unione senza contare due volte quelli comuni. Se U ∩ W = {0} la somma è diretta, U ⊕ W, e ogni vettore si scrive in modo unico come u + w.Formula di Grassmann e somma diretta →

$$\dim(U + V) = \dim U + \dim V - \dim(U \cap V)$$

e con due vincoli ovvi: un sottospazio contenuto in un altro ha dimensione minore o uguale ($U \cap V \subseteq U$, $U \cap V \subseteq V$, $U + V \subseteq \mathbb{R}^n$).

1. $\dim(U \cap V)$ con $\dim U = 4$, $\dim V = 3$ in $\mathbb{R}^6$

Limite inferiore. $U + V$ è un sottospazio di $\mathbb{R}^6$, quindi $\dim(U + V) \le 6$. Per Grassmann:

$$4 + 3 - \dim(U \cap V) = \dim(U + V) \le 6 \quad\Longrightarrow\quad \dim(U \cap V) \ge 1 .$$

L'intersezione non può essere $\{\vec 0\}$: $4 + 3 = 7$ "direzioni" non stanno in uno spazio di dimensione $6$ senza sovrapporsi.

Limite superiore. $U \cap V \subseteq V$, quindi $\dim(U \cap V) \le \dim V = 3$.

Risposta: $1 \le \dim(U \cap V) \le 3$. Tutti e tre i valori sono possibili, a seconda di come sono scelti i sottospazi. Esempi con la base canonica $e_1, \dots, e_6$, sempre con $U = \langle e_1, e_2, e_3, e_4 \rangle$:

2. $V \not\subseteq U$ implica $U + V = \mathbb{R}^6$?

No. Si guardano i casi possibili dalla domanda 1.

• $\dim(U \cap V) = 3$ succede esattamente quando $V \subseteq U$: infatti $U \cap V \subseteq V$ con la stessa dimensione significa $U \cap V = V$, cioè ogni vettore di $V$ sta in $U$.
• Quindi se $V \not\subseteq U$ restano $\dim(U \cap V) = 1$ oppure $2$:
  • con $1$: $\dim(U + V) = 4 + 3 - 1 = 6$, e $U + V = \mathbb{R}^6$;
  • con $2$: $\dim(U + V) = 4 + 3 - 2 = 5$, e $U + V \ne \mathbb{R}^6$.

Il secondo caso è possibile (seconda riga della tabella: $V = \langle e_3, e_4, e_5 \rangle \not\subseteq U$, ma $U + V = \langle e_1, \dots, e_5 \rangle$). L'affermazione è falsa: basta un controesempio.

3. Due sottospazi di dimensione $2$ con intersezione nulla

In $\mathbb{R}^3$: no. Per Grassmann $\dim(U \cap V) = 2 + 2 - \dim(U + V) \ge 4 - 3 = 1$. Geometricamente: due piani per l'origine di $\mathbb{R}^3$ si tagliano almeno in una retta.

In $\mathbb{R}^4$: sì. Ora il vincolo è $\dim(U \cap V) \ge 4 - 4 = 0$, e l'esempio $U = \langle e_1, e_2 \rangle$, $V = \langle e_3, e_4 \rangle$ ha $U \cap V = \{\vec 0\}$ (un vettore comune avrebbe le prime due componenti nulle, perché sta in $V$, e le ultime due nulle, perché sta in $U$). In questo caso $U \oplus V = \mathbb{R}^4$. È lo stesso fenomeno dei due piani affini di $\mathbb{A}^4$ che si incontrano in un solo punto (Esercizio 108 · un sottospazio affine di A4 (appello 1/2/2022)).

4. $\dim U = \dim V = 3$, $U + V = \mathbb{R}^5$

Qui la dimensione della somma è nota ($5$), e Grassmann dà direttamente

$$\dim(U \cap V) = 3 + 3 - 5 = 1 .$$

Come si affrontano queste domande

1. Scrivere Grassmann con i numeri noti.
2. Aggiungere i vincoli di contenimento: $\dim(U \cap V) \le \min(\dim U, \dim V)$ e $\dim(U + V) \le n$ (oltre a $\dim(U + V) \ge \max(\dim U, \dim V)$).
3. Per dire che un'affermazione è vera serve un ragionamento valido in tutti i casi; per dire che è falsa basta un esempio concreto (con i vettori della base canonica di solito è immediato).

Errori comuni

• Rispondere con un solo valore ("l'intersezione ha dimensione 1"): senza conoscere i sottospazi si può dare solo un intervallo.
• Dimenticare il vincolo $\dim(U + V) \le n$, che è quello che dà il limite inferiore sull'intersezione.
• Giustificare un "falso" con un ragionamento generico invece che con un controesempio.