Lezione 2Esempi di spazi vettoriali e dipendenza lineare

Capitolo 1: Spazi vettoriali · Videolezione: n. 2 della playlist ("Lezione 2", 44 min)

Argomenti trattati

1. Esempi di spazi vettoriali: $K^n$, matrici, polinomi, funzioni reali; conseguenze degli assiomi ($0 \cdot v = \vec 0$, $(-1)v = -v$).
2. Combinazioni lineari di vettori.
3. Vettori linearmente indipendenti e dipendenti: definizione e primi esempi in $\mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^3$.

Teoria

• Spazi vettorialiUno spazio vettoriale su un campo K è un insieme con una somma di vettori e un prodotto per scalari che rispettano 7 proprietà. Esempi fondamentali: K^n (somma componente per componente), le funzioni da R in R, i polinomi.Spazi vettoriali → — esempi
• Combinazioni lineari e dipendenza lineareUna combinazione lineare è una somma di vettori moltiplicati per scalari. I vettori sono linearmente indipendenti se l'unica combinazione che dà il vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli; altrimenti sono dipendenti, e allora uno di essi è combinazione lineare degli altri.Combinazioni lineari e dipendenza lineare → — definizioni e criteri

Esercizi

• Esercizio 1 · dipendenza lineare di vettori in R2 e R3 — esempi svolti nella lezione

Lezione precedente: Lezione 1 · Campi e definizione di spazio vettoriale · Lezione successiva: Lezione 3 · Esercizi sulla dipendenza lineare e sottospazi vettoriali