Esercizio - Cambio di variabili lineare con somma e differenza (esercizio 35)

Teoria: Cambiamento di variabili negli integrali doppi, integrali generalizzati e gaussianaCambiando coordinate (x,y) = T(u,v), con T diffeomorfismo C¹ tra D' e D, ∬D f(x,y)dxdy = ∬{D'} f(T(u,v)) |det DT(u,v)| dudv: il fattore |det DT| è la dilatazione locale delle aree (per le trasformazioni lineari è |det M|, dimostrato col prodotto vettoriale). Polari: x = x₀ + ρcosθ, y = y₀ + ρsinθ, dxdy = ρ dρdθ; area di un settore di corona ½(R₂² − R₁²)Δθ; disco x² + y² ≤ 2ax: ρ ≤ 2a cosθ. Coordinate ellittiche x = aρcosθ, y = bρsinθ, dxdy = abρ dρdθ (area dell'ellisse πab). Simmetrie: D simmetrico rispetto all'asse y, f dispari in x ⇒ ∬ = 0 (D), f pari ⇒ ∬ = 2∬_{x≥0}. Integrali generalizzati di f ≥ 0 continua su R²: limite su una successione invadente, indipendente dalla successione; gaussiana (D): ∬ e^{−(x²+y²)/2} = 2π, quindi ∫_R e^{−x²/2}dx = √(2π).Cambiamento di variabili negli integrali doppi, integrali generalizzati e gaussiana → (trasformazioni lineari). Fonte: raccolta di esercizi di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD 2025-26, esercizio 35.

Testo

Sia $T = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : a\le x+y\le b,\ x>0,\ y>0\}$, con $a\ge0$ e $b<\frac\pi2$. Stabilire se esiste e calcolare $$\iint_T\frac{\tan(x+y)}{x+y}\,dx\,dy$$ nei due casi: (i) $a = \frac\pi6$, $b = \frac\pi3$; (ii) $a=0$, $b=\frac\pi3$.

Soluzione

Il dominio e l'integranda

$T$ è la striscia fra le rette $x+y=a$ e $x+y=b$ nel primo quadrante: un trapezio nel caso (i), il triangolo di vertici $(0,0)$, $(\frac\pi3,0)$, $(0,\frac\pi3)$ (senza gli assi) nel caso (ii). Poiché $x+y\in[a,b]\subset\left[0,\frac\pi2\right)$, la tangente è finita e positiva.

Nel caso (i) $x+y\ge\frac\pi6>0$: l'integranda è continua su tutto $T$ (compatto, a meno dei lati sugli assi, area nulla): l'integrale esiste. Nel caso (ii) l'integranda non è definita nell'origine ($x+y=0$), ma $\frac{\tan u}{u}\to1$ per $u\to0$, quindi è limitata (vale fra $1$ e $\frac{\tan(\pi/3)}{\pi/3} = \frac{3\sqrt3}\pi\approx1{,}65$) e continua fuori da un punto: l'integrale esiste.

Il cambio di variabili

L'integranda dipende solo da $x+y$. Si pone $$u = x+y,\qquad v = x\quad\Longleftrightarrow\quad x = v,\ \ y = u-v.$$ La trasformazione $(u,v)\mapsto(x,y)$ è lineare con matrice $\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}$, determinante $-1$ e quindi $\left|\det\right| = 1$: $dx\,dy = du\,dv$.

Nuovo dominio. $a\le u\le b$; $x>0$ diventa $v>0$; $y>0$ diventa $u-v>0$, cioè $v<u$. Quindi $$T' = \{a\le u\le b,\ 0<v<u\}.$$ Questo è un dominio $y$-semplice nelle variabili $(u,v)$ (con $u$ come "ascissa").

Calcolo

$$\iint_T\frac{\tan(x+y)}{x+y}dx\,dy = \int_a^b\left(\int_0^u\frac{\tan u}{u}\,dv\right)du = \int_a^b\frac{\tan u}{u}\cdot u\,du = \int_a^b\tan u\,du = \Big[-\ln\cos u\Big]_a^b = \ln\frac{\cos a}{\cos b}.$$ (L'integrale interno in $v$ è $\frac{\tan u}u\cdot u=\tan u$: il fattore $u$ è l'ampiezza dell'intervallo $(0,u)$ e semplifica il denominatore.)

• (i) $a=\frac\pi6$, $b=\frac\pi3$: $\ln\frac{\cos(\pi/6)}{\cos(\pi/3)} = \ln\frac{\sqrt3/2}{1/2} = \ln\sqrt3 = \frac12\ln3\approx0{,}549$.
• (ii) $a=0$, $b=\frac\pi3$: $\ln\frac{\cos0}{\cos(\pi/3)} = \ln2\approx0{,}693$.

Entrambi i valori sono stati confermati con un'integrazione numerica indipendente.

Errori tipici

• Dimenticare di riscrivere le condizioni $x>0$, $y>0$ nelle nuove variabili: danno $0<v<u$, e il fattore $u$ nasce proprio da questo intervallo.
• Dimenticare il valore assoluto del determinante (qui $-1$ darebbe un risultato di segno sbagliato).
• Nel caso (ii), dire "non esiste" perché l'integranda non è definita in $(0,0)$: basta che sia limitata e continua fuori da un punto.