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Note per Studenti Esercizio - flusso e rotore su un solido parabolico (esame 4 febbraio 2014)

Esercizio - flusso e rotore su un solido parabolico (esame 4 febbraio 2014)

Teoria: Flusso, teorema della divergenza e teorema del rotoreIl flusso di F attraverso una superficie orientata è ∬ F·n dσ = ∬ F(r)·(r_u ∧ r_v) du dv (grafico: ∬ F·(−f_x,−f_y,1) dx dy). Teorema della divergenza: per un solido Ω il flusso uscente da ∂Ω è ∭ div F; nel piano ∬ div F = ∮ F·n ds. Teorema del rotore (Stokes): ∬ rot F·n dσ = ∮ F·T ds sul bordo orientato; su una superficie chiusa il flusso del rotore è 0. Da div rot F = 0 vengono i campi solenoidali e il potenziale vettore.Flusso, teorema della divergenza e teorema del rotore →.

Testo

Sia F(x,y,z)=(x, y, z2)\mathbf{F}(x,y,z)=(x,\,y,\,z^2) e Ω={(x,y,z): −1≤z≤−x2−y2}\Omega=\{(x,y,z):\ -1\le z\le-x^2-y^2\}. Sia S=∂ΩS=\partial\Omega con normale uscente. (ia) Disegnare Ω\Omega e calcolare il flusso uscente da SS con la definizione. (ib) Calcolare lo stesso flusso con il teorema della divergenza. (iia) Calcolare il flusso di rot⁡F\operatorname{rot}\mathbf{F} uscente dalla sola parte parabolica S2S_2 usando il teorema di Stokes. (iib) Calcolare lo stesso flusso direttamente.

Soluzione

La geometria. Ω\Omega sta sotto il paraboloide z=−x2−y2z=-x^2-y^2 (vertice nell'origine, concavità verso il basso) e sopra il piano z=−1z=-1; l'intersezione è la circonferenza x2+y2=1x^2+y^2=1, z=−1z=-1. Il bordo è S=S1∪S2S=S_1\cup S_2: S1S_1 è il disco di base z=−1z=-1 (normale uscente −e3-\mathbf{e}_3), S2S_2 è la calotta parabolica (normale uscente verso l'alto). Sul piano xyxy si proietta nel disco V={x2+y2≤1}V=\{x^2+y^2\le1\}.

Grafico interattivo: Sezione di Ω nel piano (x, z): sotto z = −x², sopra z = −1

(ia) Flusso con la definizione

Base S1S_1. Parametrizzata da (x,y,−1)(x,y,-1) su VV, con ne=(0,0,−1)\mathbf{n}_e=(0,0,-1) e dσ=dx dyd\sigma=dx\,dy. Il campo vale (x,y,1)(x,y,1) e F⋅ne=−1\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}_e=-1, quindi Φ1=−area⁡(V)=−π\Phi_1=-\operatorname{area}(V)=-\pi.

Calotta S2S_2. È il grafico di f=−x2−y2f=-x^2-y^2; la normale uscente è verso l'alto, N=(−fx,−fy,1)=(2x,2y,1)\mathbf{N}=(-f_x,-f_y,1)=(2x,2y,1). Il campo sulla calotta è F=(x,y,(x2+y2)2)\mathbf{F}=(x,y,(x^2+y^2)^2) e F⋅N=2x2+2y2+(x2+y2)2=2ρ2+ρ4.\mathbf{F}\cdot\mathbf{N}=2x^2+2y^2+(x^2+y^2)^2=2\rho^2+\rho^4 . In polari, Φ2=∫02π ⁣ ⁣∫01(2ρ2+ρ4)ρ dρ dθ=2π(24+16)=2π⋅23=4π3\Phi_2=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1(2\rho^2+\rho^4)\rho\,d\rho\,d\theta=2\pi\left(\tfrac24+\tfrac16\right)=2\pi\cdot\tfrac23=\tfrac{4\pi}3.

Totale: Φ=−π+4π3=π3\Phi=-\pi+\tfrac{4\pi}3=\dfrac\pi3.

(ib) Con il teorema della divergenza

div⁡F=1+1+2z=2+2z\operatorname{div}\mathbf{F}=1+1+2z=2+2z. Per fili (zz da −1-1 a −ρ2-\rho^2): ∫−1−ρ2(2+2z) dz=[2z+z2]−1−ρ2=(−2ρ2+ρ4)−(−1)=1−2ρ2+ρ4.\int_{-1}^{-\rho^2}(2+2z)\,dz=\bigl[2z+z^2\bigr]_{-1}^{-\rho^2}=(-2\rho^2+\rho^4)-(-1)=1-2\rho^2+\rho^4 . Φ=∫02π ⁣ ⁣∫01(1−2ρ2+ρ4) ρ dρ dθ=2π(12−12+16)=π3,\Phi=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1(1-2\rho^2+\rho^4)\,\rho\,d\rho\,d\theta=2\pi\left(\tfrac12-\tfrac12+\tfrac16\right)=\frac\pi3, lo stesso valore, con un calcolo solo.

(iia) Flusso del rotore su S2S_2 con Stokes

S2S_2 è una superficie con bordo: la circonferenza x2+y2=1x^2+y^2=1, z=−1z=-1. Con la normale verso l'alto, il bordo orientato positivamente è antiorario visto dall'alto: r(t)=(cos⁡t,sin⁡t,−1)\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,-1), r′=(−sin⁡t,cos⁡t,0)\mathbf{r}'=(-\sin t,\cos t,0). Il campo lungo di essa è (cos⁡t,sin⁡t,1)(\cos t,\sin t,1) e F⋅r′=−cos⁡tsin⁡t+sin⁡tcos⁡t=0,\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}'=-\cos t\sin t+\sin t\cos t=0, quindi Φ2rot=∮F⋅dr=0\Phi_2^{\text{rot}}=\oint\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0.

(iib) Direttamente

rot⁡F=(∂y(z2)−∂z(y), ∂z(x)−∂x(z2), ∂x(y)−∂y(x))=(0,0,0)\operatorname{rot}\mathbf{F}=(\partial_y(z^2)-\partial_z(y),\ \partial_z(x)-\partial_x(z^2),\ \partial_x(y)-\partial_y(x))=(0,0,0): il campo è irrotazionale su R3\mathbb{R}^3, quindi il flusso del rotore è 00 su qualunque superficie, in accordo con (iia).

Risultati. Φ=π3\Phi=\dfrac\pi3 (con entrambi i metodi), flusso del rotore su S2S_2 uguale a 00.

Versione ripasso

Testo. F=(x,y,z2)\mathbf{F}=(x,y,z^2), Ω={−1≤z≤−x2−y2}\Omega=\{-1\le z\le-x^2-y^2\}. (ia) flusso uscente con la definizione; (ib) con Gauss; (iia),(iib) flusso del rotore su S2S_2.

Passaggi (Flusso, teorema della divergenza e teorema del rotoreIl flusso di F attraverso una superficie orientata è ∬ F·n dσ = ∬ F(r)·(r_u ∧ r_v) du dv (grafico: ∬ F·(−f_x,−f_y,1) dx dy). Teorema della divergenza: per un solido Ω il flusso uscente da ∂Ω è ∭ div F; nel piano ∬ div F = ∮ F·n ds. Teorema del rotore (Stokes): ∬ rot F·n dσ = ∮ F·T ds sul bordo orientato; su una superficie chiusa il flusso del rotore è 0. Da div rot F = 0 vengono i campi solenoidali e il potenziale vettore.Flusso, teorema della divergenza e teorema del rotore →).

  • Bordo: base S1S_1 (z=−1z=-1, ne=−e3\mathbf{n}_e=-\mathbf{e}_3) e calotta S2S_2 (grafico, N=(2x,2y,1)\mathbf{N}=(2x,2y,1) verso l'alto), ombra il disco unitario.
  • (ia) S1S_1: F⋅ne=−1\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}_e=-1, Φ1=−π\Phi_1=-\pi; S2S_2: F⋅N=2ρ2+ρ4\mathbf{F}\cdot\mathbf{N}=2\rho^2+\rho^4, Φ2=4π3\Phi_2=\frac{4\pi}3; totale π3\frac\pi3.
  • (ib) div⁡F=2+2z\operatorname{div}\mathbf{F}=2+2z, ∫−1−ρ2=1−2ρ2+ρ4\int_{-1}^{-\rho^2}=1-2\rho^2+\rho^4, Φ=2π⋅16=π3\Phi=2\pi\cdot\frac16=\frac\pi3.
  • (iia) Stokes: bordo (cos⁡t,sin⁡t,−1)(\cos t,\sin t,-1), F⋅r′=0\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}'=0: 00. (iib) rot⁡F=0\operatorname{rot}\mathbf{F}=\mathbf{0}: 00.

Errori tipici. Normale della base verso l'alto invece che verso il basso; dimenticare la base nel flusso diretto.

Teoria collegata