Esercizio - Jacobiana, composizione di funzioni e coordinate polari (lezione 17)

Teoria: Funzioni a valori vettoriali, matrice jacobiana e trasformazioni di coordinateUna funzione f : A ⊆ Rⁿ → Rᵐ ha m componenti scalari f₁,…,f_m; il limite si fa componente per componente. È differenziabile in x₀ se f(x₀+h) − f(x₀) = Df(x₀)h + o(‖h‖), dove la matrice jacobiana Df(x₀) (m righe, n colonne) ha elemento (i,j) = ∂f_i/∂x_j: le righe sono i gradienti delle componenti. Se le componenti sono C¹ la f è differenziabile. Casi particolari: m = 1 (riga = gradiente), n = 1 (colonna = vettore tangente), f affine (Df = A). Regola della catena: D(g∘f)(x₀) = Dg(f(x₀))·Df(x₀). Trasformazioni di coordinate: polari (det = ρ), cilindriche (det = ρ), sferiche (det = ρ² sin φ); |det Df| è il fattore di variazione di aree o volumi.Funzioni a valori vettoriali, matrice jacobiana e trasformazioni di coordinate →. Fonte: esercizi sul calcolo della jacobiana e sulla regola della catena, nello stile delle lezioni di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD.

Testo

Siano $\mathbf{F}(s,t) = (e^s\cos t,\ e^s\sin t)$ e $\mathbf{G}(x,y) = (x^2 - y^2,\ 2xy)$, entrambe da $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$.

• (a) Calcolare $D\mathbf{F}$, $D\mathbf{G}$ e $\det D\mathbf{F}$.
• (b) Calcolare $D(\mathbf{G}\circ\mathbf{F})(0, \tfrac\pi4)$ con la regola della catena e confrontarlo con il calcolo diretto.
• (c) Sia $g(x,y)$ di classe $C^1$ e $\tilde g(\rho,\theta) = g(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)$. Dimostrare che $$g_x^2 + g_y^2 = \tilde g_\rho^2 + \frac{1}{\rho^2}\,\tilde g_\theta^2 \qquad (\rho > 0).$$

Soluzione

(a) Le matrici jacobiane

$$D\mathbf{F}(s,t) = \begin{pmatrix} e^s\cos t & -e^s\sin t \\ e^s\sin t & e^s\cos t\end{pmatrix}, \qquad \det D\mathbf{F} = e^{2s}\cos^2 t + e^{2s}\sin^2 t = e^{2s} > 0.$$ $$D\mathbf{G}(x,y) = \begin{pmatrix} 2x & -2y \\ 2y & 2x\end{pmatrix}.$$

(b) Regola della catena

Il punto è $(s,t) = (0, \frac\pi4)$.

• $\mathbf{F}\left(0, \frac\pi4\right) = (\cos\frac\pi4, \sin\frac\pi4) = \left(\frac{\sqrt2}2, \frac{\sqrt2}2\right)$.
• $D\mathbf{F}\left(0, \frac\pi4\right) = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt2}2 & -\frac{\sqrt2}2 \\ \frac{\sqrt2}2 & \frac{\sqrt2}2\end{pmatrix}$.
• $D\mathbf{G}$ va calcolata in $\mathbf{F}(0,\frac\pi4) = \left(\frac{\sqrt2}2, \frac{\sqrt2}2\right)$ (non in $(0,\frac\pi4)$): $D\mathbf{G} = \begin{pmatrix} \sqrt2 & -\sqrt2 \\ \sqrt2 & \sqrt2\end{pmatrix}$.

Prodotto, nell'ordine $D\mathbf{G}\cdot D\mathbf{F}$: $$\begin{pmatrix} \sqrt2 & -\sqrt2 \\ \sqrt2 & \sqrt2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{\sqrt2}2 & -\frac{\sqrt2}2 \\ \frac{\sqrt2}2 & \frac{\sqrt2}2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 1 & -1 - 1 \\ 1 + 1 & -1 + 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0\end{pmatrix}.$$

Calcolo diretto. $\mathbf{G}(\mathbf{F}(s,t)) = (e^{2s}\cos^2 t - e^{2s}\sin^2 t,\ 2e^{2s}\sin t\cos t) = (e^{2s}\cos 2t,\ e^{2s}\sin 2t)$. La sua jacobiana è $$\begin{pmatrix} 2e^{2s}\cos 2t & -2e^{2s}\sin 2t \\ 2e^{2s}\sin 2t & 2e^{2s}\cos 2t\end{pmatrix},$$ che in $(0,\frac\pi4)$, dove $\cos\frac\pi2 = 0$ e $\sin\frac\pi2 = 1$, vale $\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0\end{pmatrix}$ ✓.

(c) Gradiente in coordinate polari

Per la regola della catena (paragrafo sulle polari), con $g_x$, $g_y$ calcolate in $(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)$: $$\tilde g_\rho = g_x\cos\theta + g_y\sin\theta, \qquad \tilde g_\theta = \rho\,(-g_x\sin\theta + g_y\cos\theta).$$ Allora $$\tilde g_\rho^2 + \frac{\tilde g_\theta^2}{\rho^2} = (g_x\cos\theta + g_y\sin\theta)^2 + (g_y\cos\theta - g_x\sin\theta)^2.$$ Sviluppando i quadrati, i doppi prodotti $2g_xg_y\sin\theta\cos\theta$ e $-2g_xg_y\sin\theta\cos\theta$ si cancellano, e rimane $$g_x^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) + g_y^2(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = g_x^2 + g_y^2. \qquad \blacksquare$$ Significato: $\tilde g_\rho$ è la componente del gradiente lungo la direzione radiale, $\frac1\rho\tilde g_\theta$ quella lungo la direzione tangenziale (versori ortogonali), e il modulo al quadrato è la somma dei quadrati delle componenti. In forma matriciale: $D\tilde g = Dg\cdot D\mathbf{P}$ con $D\mathbf{P}$ la jacobiana delle polari, che ha colonne ortogonali di lunghezza $1$ e $\rho$.

Errori tipici

• Valutare $D\mathbf{G}$ nel punto di partenza $(s,t)$ invece che in $\mathbf{F}(s,t)$.
• Moltiplicare nell'ordine sbagliato $D\mathbf{F}\cdot D\mathbf{G}$.
• Dimenticare il fattore $\rho$ nella derivata rispetto a $\theta$.