Esercizio - baricentro e momento d'inerzia di un arco di circonferenza e di astroide (lezioni 4 e 5)

Teoria: Integrali curvilinei di prima specie, baricentri e momenti d'inerziaL'integrale curvilineo di prima specie di f lungo una curva C^1 è ∫_γ f ds = ∫_a^b f(r(t)) |r'(t)| dt, dove ds = |r'(t)|dt è l'elemento d'arco. Con f = 1 dà la lunghezza; con f ≥ 0 l'area di una parete verticale alta f lungo la curva; con f = densità la massa. Non dipende dalla parametrizzazione né dal verso di percorrenza (D). Baricentro x_b = (1/M)∫ x μ ds; momento d'inerzia I = ∫ δ² μ ds con δ distanza dall'asse.Integrali curvilinei di prima specie, baricentri e momenti d'inerzia →.

Testo.

1. Trovare il baricentro di una semicirconferenza omogenea di raggio $R$ e il momento d'inerzia di un quarto di circonferenza omogeneo (primo quadrante) rispetto all'asse $x$.
2. Un filo ha la forma del quarto di circonferenza $x^2+y^2 = R^2$, $x,y\ge0$, con densità lineare $\mu(x,y) = y$. Calcolare massa e baricentro.
3. Trovare il baricentro dell'arco di astroide $(\cos^3t,\sin^3t)$, $t\in[0,\frac\pi2]$.

(Fonte: esempi delle lezioni 4 e 5 del corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD; la parte 2 è una variante con densità non costante.)

Soluzione

1. Semicirconferenza e momento d'inerzia

Baricentro. $\underline r(t) = (R\cos t, R\sin t)$, $t\in[0,\pi]$, $|\underline r'| = R$, $M = \ell = \pi R$. Per simmetria rispetto all'asse $y$ si ha $x_b = 0$ (basta verificarlo: $\int_0^\pi R\cos t\cdot R\,dt = R^2[\sin t]_0^\pi = 0$). Per l'altra coordinata $$y_b = \frac{1}{\pi R}\int_0^\pi R\sin t\cdot R\,dt = \frac{R}{\pi}\big[-\cos t\big]_0^\pi = \frac{2R}{\pi}.$$ Il baricentro è $\big(0,\frac{2R}\pi\big)$: a circa $0.64R$ dal centro, non sul bordo.

Momento d'inerzia. Per il quarto di circonferenza $t\in[0,\frac\pi2]$ la distanza dall'asse $x$ è $\delta = |y| = R\sin t$: $$I_x = \int_\gamma y^2\,ds = \int_0^{\pi/2}R^2\sin^2t\cdot R\,dt = R^3\cdot\frac\pi4 = \frac{\pi R^3}{4}.$$ ($\int_0^{\pi/2}\sin^2t\,dt = \frac\pi4$, per la formula $\sin^2t = \frac{1-\cos2t}{2}$.) Per simmetria è uguale al momento rispetto all'asse $y$.

2. Filo non omogeneo

Massa: $\mu = y = R\sin t$ lungo il filo, $ds = R\,dt$: $$M = \int_\gamma y\,ds = \int_0^{\pi/2}R\sin t\cdot R\,dt = R^2\big[-\cos t\big]_0^{\pi/2} = R^2 .$$ Per il baricentro servono $\int x\mu\,ds$ e $\int y\mu\,ds$: $$\int_\gamma xy\,ds = R^3\int_0^{\pi/2}\cos t\sin t\,dt = R^3\Big[\frac{\sin^2t}{2}\Big]_0^{\pi/2} = \frac{R^3}{2},\qquad \int_\gamma y^2\,ds = \frac{\pi R^3}{4}.$$ Quindi $$x_b = \frac{R^3/2}{R^2} = \frac R2,\qquad y_b = \frac{\pi R^3/4}{R^2} = \frac{\pi R}{4}\approx0.785R .$$ Rispetto al filo omogeneo ($0.637R$ per entrambe le coordinate) la massa si è spostata verso l'alto, dove la densità è maggiore: $y_b$ sale a $0.785R$ e $x_b$ scende a $0.5R$ ✓.

3. Arco di astroide

Su $[0,\frac\pi2]$: $|\underline r'| = 3\sin t\cos t$ (entrambi $\ge0$), $\ell = \int_0^{\pi/2}3\sin t\cos t\,dt = \frac32$. Con $u = \cos t$, $du = -\sin t\,dt$: $$x_b = \frac{1}{3/2}\int_0^{\pi/2}\cos^3t\cdot3\sin t\cos t\,dt = 2\int_0^{\pi/2}\cos^4t\sin t\,dt = 2\Big[-\frac{\cos^5t}{5}\Big]_0^{\pi/2} = \frac25 ,$$ e per la simmetria $t\leftrightarrow\frac\pi2-t$ si ha $y_b = \frac25$. Il baricentro $(\frac25,\frac25)$ non sta sull'arco: la bisettrice $y=x$ incontra l'astroide in $(\frac{1}{2\sqrt2},\frac1{2\sqrt2}) = (0.354,0.354)$ (da $x^{2/3}+y^{2/3}=1$ con $x=y$ si ha $x^{2/3}=\frac12$), più vicino all'origine di $(0.4,0.4)$. L'arco curva verso l'origine, e il baricentro cade dalla parte opposta.

Errori tipici. Calcolare $y_b$ della semicirconferenza senza dividere per $M=\pi R$; per la densità variabile dividere per la lunghezza invece che per la massa; dimenticare di moltiplicare per $\mu$ anche nell'integrale di $x$.