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Note per Studenti Esercizio - Cono e sfera, volume con quattro metodi (esercizio 32)

Esercizio - Cono e sfera, volume con quattro metodi (esercizio 32)

Esame
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Teoria: Integrali tripli, coordinate cilindriche e sferiche e solidi di rotazioneL'integrale triplo ∭_E f si definisce con somme di Cauchy-Riemann su parallelepipedi; per f = 1 è il volume, per f = densità la massa; baricentro e momenti d'inerzia come in dimensione 2. Riduzione per fili (E = {(x,y) ∈ D, h₁ ≤ z ≤ h₂}: ∭ = ∬D(∫{h₁}^{h₂} f dz)dxdy) e per strati (E = {a ≤ z ≤ b, (x,y) ∈ E_z}: ∭ = ∫a^b(∬{E_z} f dxdy)dz). Cambiamento di variabili con |det DT|; coordinate cilindriche (x,y,z) = (ρcosθ, ρsinθ, z), dxdydz = ρ dρdθdz; sferiche (ρsinφcosθ, ρsinφsinθ, ρcosφ), φ ∈ [0,π] colatitudine, dxdydz = ρ²sinφ dρdφdθ; ellissoide di semiassi a,b,c ha volume (4/3)πabc. Solidi di rotazione: Pappo-Guldino (D), |R(A)| = θ̄·x_B·|A| (area di A per lunghezza dell'arco percorso dal baricentro).Integrali tripli, coordinate cilindriche e sferiche e solidi di rotazione →. Fonte: raccolta di esercizi di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD 2025-26, esercizio 32 (il confronto fra metodi è tipico dei temi d'esame, per esempio il secondo appello del 2026).

Testo

Trovare il volume dell'intersezione fra il cono x2+y2<z2x^2+y^2<z^2 e la sfera x2+y2+z2<2azx^2+y^2+z^2<2az, con a>0a>0.

Soluzione

Il solido. La disuguaglianza x2+y2<z2x^2+y^2<z^2 (con z>0z>0, necessario per la sfera) descrive il cono circolare con vertice nell'origine, asse zz e semi-apertura 45∘45^\circ (z>x2+y2z>\sqrt{x^2+y^2}). La sfera: x2+y2+(z−a)2<a2x^2+y^2+(z-a)^2<a^2 ha centro (0,0,a)(0,0,a), raggio aa, passa per l'origine ed è tangente al piano z=0z=0 in OO. Cono e sfera si intersecano dove z=ρz=\rho (ρ2=x2+y2\rho^2=x^2+y^2) e ρ2+z2=2az\rho^2+z^2=2az, cioè 2ρ2=2aρ2\rho^2=2a\rho, ρ=a\rho=a e z=az=a: la circonferenza di raggio aa a quota aa. Il solido è la parte di palla che sta dentro il cono: il "gelato" con vertice in OO.

Grafico interattivo: Sezione del solido con il piano xz (a = 1): il cerchio ρ² + (z − 1)² ≤ 1 e la retta z = |ρ| (cono). Il solido è la parte del cerchio sopra le rette z = ±ρ; le rette incontrano il cerchio in (0,0) e (±1,1)

Metodo 1: coordinate sferiche

Il cono è φ<π4\varphi<\frac\pi4 (colatitudine, z=ρcos⁡φ>ρsin⁡φz=\rho\cos\varphi>\rho\sin\varphi equivale a tan⁡φ<1\tan\varphi<1). La sfera: ρ2<2aρcos⁡φ\rho^2<2a\rho\cos\varphi, cioè ρ<2acos⁡φ\rho<2a\cos\varphi. Con il fattore ρ2sin⁡φ\rho^2\sin\varphi: V=∫02πdθ∫0π/4sin⁡φ(∫02acos⁡φρ2dρ)dφ=2π⋅8a33∫0π/4cos⁡3φsin⁡φ dφ.V = \int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\pi/4}\sin\varphi\left(\int_0^{2a\cos\varphi}\rho^2d\rho\right)d\varphi = 2\pi\cdot\frac{8a^3}3\int_0^{\pi/4}\cos^3\varphi\sin\varphi\,d\varphi. Con ∫cos⁡3φsin⁡φ dφ=−cos⁡4φ4\int\cos^3\varphi\sin\varphi\,d\varphi = -\frac{\cos^4\varphi}4: il valore fra 00 e π4\frac\pi4 è 1−(22)44=1−144=316\frac{1-(\frac{\sqrt2}2)^4}4 = \frac{1-\frac14}4 = \frac3{16}. Quindi V=16πa33⋅316=πa3.V = \frac{16\pi a^3}3\cdot\frac3{16} = \pi a^3.

Metodo 2: coordinate cilindriche

Con x=ρcos⁡θx=\rho\cos\theta, y=ρsin⁡θy=\rho\sin\theta: cono z>ρz>\rho; sfera a−a2−ρ2<z<a+a2−ρ2a-\sqrt{a^2-\rho^2}<z<a+\sqrt{a^2-\rho^2} con ρ<a\rho<a. Il limite inferiore è la quota più alta fra ρ\rho (cono) e a−a2−ρ2a-\sqrt{a^2-\rho^2} (calotta inferiore della sfera): per ρ∈[0,a]\rho\in[0,a] si ha a−a2−ρ2≤ρa-\sqrt{a^2-\rho^2}\le\rho (per ρ=a\rho=a sono uguali; per ρ\rho piccolo il primo è ≈ρ22a<ρ\approx\frac{\rho^2}{2a}<\rho). Quindi ρ≤z≤a+a2−ρ2\rho\le z\le a+\sqrt{a^2-\rho^2}: V=2π∫0aρ(a+a2−ρ2−ρ)dρ=2π[a32+a33−a33]=πa3,V = 2\pi\int_0^a\rho\left(a+\sqrt{a^2-\rho^2}-\rho\right)d\rho = 2\pi\left[\frac{a^3}2+\frac{a^3}3-\frac{a^3}3\right] = \pi a^3, usando ∫0aρa2−ρ2dρ=a33\int_0^a\rho\sqrt{a^2-\rho^2}d\rho = \frac{a^3}3 e ∫0aρ2dρ=a33\int_0^a\rho^2d\rho=\frac{a^3}3.

Metodo 3: per strati orizzontali

A quota zz la sezione è un disco, di raggio il minore fra quello del cono e quello della sfera:

  • 0≤z≤a0\le z\le a: il cono è più stretto (ρ<z\rho<z), area πz2\pi z^2;
  • a≤z≤2aa\le z\le2a: la sfera è più stretta (ρ2<2az−z2\rho^2<2az-z^2), area π(2az−z2)\pi(2az-z^2). V=π∫0az2dz+π∫a2a(2az−z2)dz=πa33+π[az2−z33]a2a=πa33+π⋅2a33=πa3.V = \pi\int_0^az^2dz+\pi\int_a^{2a}(2az-z^2)dz = \frac{\pi a^3}3+\pi\left[az^2-\frac{z^3}3\right]_a^{2a} = \frac{\pi a^3}3+\pi\cdot\frac{2a^3}3 = \pi a^3.

Metodo 4: Pappo-Guldino

Il solido si ottiene ruotando di 2π2\pi attorno all'asse zz la regione piana (nel semipiano ρ≥0\rho\ge0) A={(ρ,z):ρ≤z, ρ2+z2≤2az}.A = \{(\rho,z) : \rho\le z,\ \rho^2+z^2\le2az\}. V=2π∬Aρ dρ dzV = 2\pi\iint_A\rho\,d\rho\,dz (cioè 2πρB∣A∣2\pi\rho_B|A|). Si ha ∬Aρ dρ dz=∫0aρ(a+a2−ρ2−ρ)dρ=a32\iint_A\rho\,d\rho\,dz = \int_0^a\rho(a+\sqrt{a^2-\rho^2}-\rho)d\rho = \frac{a^3}2, quindi V=2πa32=πa3V = 2\pi\frac{a^3}2 = \pi a^3 ✓. Inoltre l'area di AA è (π+2)a24\frac{(\pi+2)a^2}4 (semicerchio meno un segmento circolare) e ρB=a3/2(π+2)a2/4=2aπ+2\rho_B = \frac{a^3/2}{(\pi+2)a^2/4} = \frac{2a}{\pi+2}.

Risultato: V=πa3V=\pi a^3 con tutti e quattro i metodi.

Errori tipici

  • Nelle sferiche, scrivere ρ<2acos⁡φ\rho<2a\cos\varphi senza limitare φ\varphi: per φ>π2\varphi>\frac\pi2 è negativo.
  • Nei strati, dimenticare che oltre z=az=a il disco è quello della sfera, non del cono.

Versione ripasso

Testo. Volume di {x2+y2<z2}∩{x2+y2+z2<2az}\{x^2+y^2<z^2\}\cap\{x^2+y^2+z^2<2az\}.

Soluzione. Cono z>ρz>\rho (semi-apertura π4\frac\pi4), sfera di centro (0,0,a)(0,0,a), raggio aa; si incontrano in ρ=z=a\rho = z = a.

  • Sferiche: 0≤φ≤π40\le\varphi\le\frac\pi4, ρ≤2acos⁡φ\rho\le2a\cos\varphi: V=2π⋅8a33∫0π/4cos⁡3φsin⁡φ=16πa33⋅316=πa3V = 2\pi\cdot\frac{8a^3}3\int_0^{\pi/4}\cos^3\varphi\sin\varphi = \frac{16\pi a^3}3\cdot\frac3{16} = \pi a^3.
  • Cilindriche: ρ≤z≤a+a2−ρ2\rho\le z\le a+\sqrt{a^2-\rho^2}: 2π∫0aρ(a+a2−ρ2−ρ)dρ=2π⋅a322\pi\int_0^a\rho(a+\sqrt{a^2-\rho^2}-\rho)d\rho = 2\pi\cdot\frac{a^3}2.
  • Strati: z∈[0,a]z\in[0,a] area πz2\pi z^2; z∈[a,2a]z\in[a,2a] area π(2az−z2)\pi(2az-z^2): πa33+2πa33\frac{\pi a^3}3+\frac{2\pi a^3}3.
  • Guldino: V=2π∬Aρ=2π⋅a32V = 2\pi\iint_A\rho = 2\pi\cdot\frac{a^3}2; ∣A∣=(π+2)a24|A| = \frac{(\pi+2)a^2}4, ρB=2aπ+2\rho_B = \frac{2a}{\pi+2}.

Errori: ρ<2acos⁡φ\rho<2a\cos\varphi con φ\varphi non limitato; strati: raggio del cono oltre z=az = a.

Passaggi. Intersezione: ρ=z=a\rho = z = a. ∫0π/4cos⁡3φsin⁡φ dφ=1−cos⁡4(π/4)4=316\int_0^{\pi/4}\cos^3\varphi\sin\varphi\,d\varphi = \frac{1 - \cos^4(\pi/4)}4 = \frac3{16}. In cilindriche ∫0aρa2−ρ2dρ=a33\int_0^a\rho\sqrt{a^2 - \rho^2}d\rho = \frac{a^3}3, ∫0aρ2dρ=a33\int_0^a\rho^2d\rho = \frac{a^3}3. Strati: ∫0aπz2dz=πa33\int_0^a\pi z^2dz = \frac{\pi a^3}3 e π[az2−z33]a2a=2πa33\pi[az^2 - \frac{z^3}3]_a^{2a} = \frac{2\pi a^3}3.

Teoria collegata