Esercizio - tangente a una curva di livello e sentiero in discesa (lezione 11)

Teoria: Derivate direzionali, formula del gradiente e curve di livelloLa derivata direzionale D_v f(x0) = lim [f(x0 + t v) − f(x0)]/t (v versore) è la pendenza di f lungo la retta per x0 con direzione v. Se f è differenziabile in x0 vale la formula del gradiente D_v f = ∇f(x0)·v (D); l'esistenza di tutte le D_v non basta (anche a f discontinua). Quindi la massima crescita è nella direzione di ∇f, con pendenza |∇f| (D), la minima in −∇f, e D_v f = 0 per v ⊥ ∇f. Il gradiente è ortogonale alle curve di livello (D): la tangente alla curva di livello in (x0,y0) è f_x(x−x0) + f_y(y−y0) = 0, a patto che ∇f ≠ 0.Derivate direzionali, formula del gradiente e curve di livello →.

Testo.

1. Scrivere la retta tangente all'ellisse $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ in un suo punto $(x_0,y_0)$, vedendola come curva di livello di $f(x,y)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$; applicare il risultato a $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ in $\big(\sqrt2,\frac{\sqrt2}{2}\big)$.
2. Scrivere la retta tangente alla curva di livello di $f(x,y)=x^2+xy+y^2$ passante per $(1,1)$ in tale punto.
3. Una collina ha quota $h(x,y)=400-\dfrac{x^2+4y^2}{100}$ (metri, con $x,y$ in metri). Da $P=(10,5)$: (a) in quale direzione si sale più ripidamente e con quale pendenza? (b) Quali direzioni di cammino danno una discesa con pendenza esattamente $0.2$ (cioè $-0.2$ metri di quota per metro percorso)?

(Fonte: esercizio proposto per casa nella lezione 11 del corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD, per la parte 1; le parti 2 e 3 sono applicazioni costruite per queste note.)

Soluzione della parte 1

Il gradiente è $\nabla f=\big(\frac{2x}{a^2},\frac{2y}{b^2}\big)$, diverso da $\underline 0$ sull'ellisse (si annullerebbe solo nell'origine, che non sta sull'ellisse). Il gradiente è un vettore normale alla curva di livello, quindi la tangente in $(x_0,y_0)$ è $$\frac{2x_0}{a^2}(x-x_0)+\frac{2y_0}{b^2}(y-y_0)=0 .$$ Dividendo per $2$ e sviluppando: $\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$ perché $(x_0,y_0)$ sta sull'ellisse. La tangente è $$\boxed{\frac{x_0\,x}{a^2}+\frac{y_0\,y}{b^2}=1.}$$ (È la stessa retta ottenuta parametrizzando $(a\cos t,b\sin t)$: per $t=\frac\pi4$, $\frac xa+\frac yb=\sqrt2$.) Per $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ ($a^2=4$, $b^2=1$) in $\big(\sqrt2,\frac{\sqrt2}2\big)$ (appartiene all'ellisse: $\frac24+\frac12=1$ ✓): $\frac{\sqrt2\,x}{4}+\frac{\sqrt2}{2}\,y=1$, cioè moltiplicando per $\frac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2$: $x+2y=2\sqrt2$.

Soluzione della parte 2

$f(1,1)=3$, quindi la curva di livello è $x^2+xy+y^2=3$ (un'ellisse inclinata). $\nabla f=(2x+y,\,x+2y)$ vale $(3,3)$ in $(1,1)$, non nullo. Tangente: $3(x-1)+3(y-1)=0\iff x+y=2$. Verifica: il gradiente $(3,3)$ è ortogonale alla retta $x+y=2$ (direzione $(1,-1)$): $(3,3)\cdot(1,-1)=0$ ✓, come ci si aspetta per una funzione simmetrica in $x\leftrightarrow y$.

Soluzione della parte 3

$\nabla h=\big(-\frac{x}{50},-\frac{2y}{25}\big)$, in $P=(10,5)$: $\nabla h=(-0.2,-0.4)$, $|\nabla h|=\sqrt{0.2}\approx0.447$.

(a) La salita più ripida è lungo $\dfrac{\nabla h}{|\nabla h|}=\Big(-\dfrac1{\sqrt5},-\dfrac2{\sqrt5}\Big)$ (verso la cima in $(0,0)$), con pendenza $|\nabla h|\approx0.447$ (circa $24^\circ$).

(b) Si cerca $\underline v=(\cos\varphi,\sin\varphi)$ con $D_{\underline v}h=\nabla h\cdot\underline v=-0.2$: $$-0.2\cos\varphi-0.4\sin\varphi=-0.2\iff\cos\varphi+2\sin\varphi=1 .$$ Con le formule parametriche $\cos\varphi=\frac{1-\tau^2}{1+\tau^2}$, $\sin\varphi=\frac{2\tau}{1+\tau^2}$, $\tau=\tan\frac\varphi2$: $1-\tau^2+4\tau=1+\tau^2\iff2\tau^2-4\tau=0\iff\tau=0$ o $\tau=2$. Quindi

• $\tau=0$: $\varphi=0$, $\underline v=(1,0)$ (verso $x$ crescente: ci si allontana dalla cima);
• $\tau=2$: $\cos\varphi=\frac{1-4}{5}=-\frac35$, $\sin\varphi=\frac45$, $\underline v=\big(-\frac35,\frac45\big)$.

Verifica: $\nabla h\cdot(1,0)=-0.2$ ✓; $\nabla h\cdot\big(-\frac35,\frac45\big)=0.12-0.32=-0.2$ ✓. Ci sono due direzioni perché la pendenza richiesta $0.2$ è minore del massimo $0.447$ (se fosse maggiore non ce ne sarebbero; se uguale, una sola).

(Il vettore $\nabla h$ è disegnato con scala diversa per renderlo visibile.)

Errori tipici. Non normalizzare $\underline v$ (e trovare pendenze sbagliate); dimenticare che le direzioni con pendenza assegnata sono due (o una o zero); in 1 confondere il gradiente (normale) con la tangente.