Esercizio - zeri di funzioni continue su insiemi connessi (esercizi 2025-26)

Teoria: Topologia di Rn, teorema di Weierstrass e teorema degli zeriDato E ⊆ R^n, ogni punto è interno, esterno o di frontiera (partizione). E è aperto se E = interno, chiuso se il complementare è aperto (equivalentemente contiene la frontiera, o contiene i limiti delle sue successioni). Palle aperte e insiemi {f<c} con f continua sono aperti; {f≤c}, {f=c} chiusi. Compatto = chiuso e limitato. Weierstrass: f continua su un compatto ha massimo e minimo; vale anche su un chiuso illimitato se f→+∞ (minimo) o f→−∞ (massimo) all'infinito. Connesso per archi + f continua con segni opposti ⇒ f si annulla (teorema degli zeri).Topologia di Rn, teorema di Weierstrass e teorema degli zeri →.

Testo.

1. Sia $f\in C^0(\mathbb{R}^2)$ con $f(-2,2)=-1$ e $f(2,2)=1$. Dimostrare che (i) $f$ si annulla in almeno un punto; (ii) $f$ si annulla in un numero infinito di punti.
2. Studiare il segno di $f(x,y)=(x^2+y^2-1)(y-x^2)$.

(Fonte: esercizio 10 della raccolta del corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD, 2025-26; la parte 2 è un esercizio di tipo "studio del segno" della lezione 10.)

Soluzione della parte 1

(i) $\mathbb{R}^2$ è connesso (due punti si uniscono con il segmento), $f$ è continua e assume un valore positivo ed uno negativo: per il teorema degli zeri esiste $\underline z$ con $f(\underline z)=0$. Più concretamente: sul segmento $\underline\gamma(t)=(-2+4t,\,2)$, $t\in[0,1]$, la funzione $g(t)=f(\underline\gamma(t))$ è continua con $g(0)=-1<0<1=g(1)$, quindi si annulla in qualche $t\in(0,1)$.

(ii) Una sola curva dà almeno uno zero; per averne infiniti ne servono infinite che non si intersechino. Per $k=3,4,5,\dots$ sia $\underline\gamma_k$ la poligonale (curva continua) che va da $(-2,2)$ a $(0,k)$ e poi a $(2,2)$. Valgono:

• $f\circ\underline\gamma_k$ è continua, vale $-1$ all'inizio e $1$ alla fine: si annulla in un punto $\underline z_k$ del sostegno di $\underline\gamma_k$;
• due poligonali diverse $\underline\gamma_k,\underline\gamma_j$ ($k\ne j$) hanno in comune solo gli estremi $(-2,2)$ e $(2,2)$ (le altezze del vertice intermedio sono diverse, i segmenti non si incontrano altrove), e in quei due punti $f\ne0$. Quindi gli zeri $\underline z_k$ sono punti tutti distinti: $f$ ha infiniti zeri. (Per questo l'insieme $\{f=0\}$ deve separare il punto $(-2,2)$ da $(2,2)$: è una curva, non un punto.)

Soluzione della parte 2

Insieme degli zeri. $f=0$ se $x^2+y^2=1$ (circonferenza unitaria) oppure $y=x^2$ (parabola). Le due curve si incontrano nei punti con $y+y^2=1$, cioè $y=\frac{\sqrt5-1}{2}\approx0.618$ e $x=\pm\sqrt{0.618}\approx\pm0.786$.

Regioni. Le due curve dividono il piano in quattro regioni connesse:

1. $R_1$: dentro il cerchio e sopra la parabola ($x^2+y^2<1$, $y>x^2$);
2. $R_2$: dentro il cerchio e sotto la parabola ($x^2+y^2<1$, $y<x^2$);
3. $R_3$: fuori dal cerchio e sopra la parabola;
4. $R_4$: fuori dal cerchio e sotto la parabola.

In ciascuna $f$ non si annulla e quindi, per il teorema degli zeri, ha segno costante: basta un punto di prova per regione.

Quindi $f>0$ in $R_2\cup R_3$, $f<0$ in $R_1\cup R_4$ e $f=0$ su circonferenza e parabola. (Il segno si poteva ricavare subito dal prodotto dei segni dei due fattori; qui è utile perché mostra il metodo: zeri, regioni connesse, un punto per regione.)

Errori tipici. In (ii) fermarsi a "ne esiste uno su ogni curva" senza garantire che le curve siano disgiunte; nella parte 2 dimenticare che la circonferenza e la parabola si tagliano e quindi le regioni sono quattro, non tre.