Esercizio - forme quadratiche in tre variabili con Sylvester e autovalori (lezione 12)

Teoria: Forme quadratiche e criteri di definitezzaUna forma quadratica q(h) = h^T M h (M simmetrica) è definita positiva se q>0 per h ≠ 0, semidefinita positiva se q ≥ 0, definita/semidefinita negativa con segni opposti, indefinita se cambia segno. In due variabili, con M = [[a,b],[b,c]]: definita positiva ⇔ det M > 0 e a > 0, definita negativa ⇔ det M > 0 e a < 0, indefinita ⇔ det M < 0 (D, completando il quadrato). In generale: segno degli autovalori di M (D, teorema spettrale): tutti > 0 definita positiva, tutti < 0 definita negativa, di segno diverso indefinita; inoltre q(h) ≥ λ_min |h|². Per n = 3 si usano i minori principali di Sylvester. È lo strumento per classificare i punti critici.Forme quadratiche e criteri di definitezza →, Autovalori e autovettoriUn autovettore è un vettore non nullo che una funzione lineare manda in un suo multiplo; si trovano gli autovalori come radici del polinomio caratteristico det(A − λI) e gli autovettori come nucleo di A − λI. Matrici simili hanno gli stessi autovalori.Autovalori e autovettori →.

Testo.

1. Al variare di $t\in\mathbb{R}$, studiare il segno della forma quadratica di matrice $M_t=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&t&1\\0&1&1\end{pmatrix}$.
2. Studiare il segno di $q(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$.
3. Studiare il segno di $q(x,y,z)=3x^2+3y^2+3z^2+2xy+2xz+2yz$.

(Fonte: esercizi sul criterio di Sylvester in tre variabili della lezione 12 del corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD; testi costruiti per queste note.)

Soluzione della parte 1

Minori di nord-ovest. $D_1=1>0$, $D_2=\det\begin{pmatrix}1&1\\1&t\end{pmatrix}=t-1$, $D_3=\det M_t$. Sviluppando secondo la prima riga: $$D_3=1\cdot(t\cdot1-1\cdot1)-1\cdot(1\cdot1-1\cdot0)+0=(t-1)-1=t-2 .$$

• Definita positiva $\iff D_1>0$, $D_2>0$, $D_3>0\iff t>1$ e $t>2\iff t>2$.
• Caso $t<2$. Allora $\det M_t=t-2<0$: il prodotto degli autovalori è negativo, quindi almeno un autovalore è negativo. D'altra parte $q(1,0,0)=D_1=1>0$, quindi la forma assume anche valori positivi: indefinita.
• Caso $t=2$. $\det=0$ e Sylvester non decide tra definita e semidefinita. Si guardano gli autovalori. Il polinomio caratteristico si scompone: $\det(M_t-\lambda I)=-(\lambda-1)\big(\lambda^2-(t+1)\lambda+(t-2)\big)$. Per $t=2$ il fattore quadratico è $\lambda^2-3\lambda=\lambda(\lambda-3)$, quindi gli autovalori sono $0,1,3$: tutti $\ge0$, uno nullo: semidefinita positiva, non definita. Si annulla sull'autovettore del $0$, $(1,-1,1)$: infatti $q=x^2+2y^2+z^2+2xy+2yz=(x+y)^2+(y+z)^2$, che è $0$ per $x=z=-y$.

Riassunto: $t>2$ definita positiva; $t=2$ semidefinita positiva; $t<2$ indefinita.

Soluzione della parte 2

$M=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$. Si riconosce $q=(x+y+z)^2\ge0$. Semidefinita positiva, non definita: si annulla sul piano $x+y+z=0$. Sylvester non serve (e non decide): $D_1=1$, $D_2=0$, $D_3=0$. Autovalori: $3$ (autovettore $(1,1,1)$) e $0$ (doppio, il piano $x+y+z=0$): coerente.

Soluzione della parte 3

$M=\begin{pmatrix}3&1&1\\1&3&1\\1&1&3\end{pmatrix}=2I+J$, con $J$ la matrice di tutti $1$ (autovalori $3,0,0$). Minori: $D_1=3$, $D_2=9-1=8$, $D_3=\det M=3(9-1)-1(3-1)+1(1-3)=24-2-2=20>0$. Tutti positivi: definita positiva. Gli autovalori sono $2+3=5$ (autovettore $(1,1,1)$) e $2$ (doppio), tutti positivi: coerente. Ne segue anche $q(\underline h)\ge2|\underline h|^2$.

Errori tipici. Concludere "indefinita" da $D_2=0$ senza guardare gli autovalori; in 1 usare $D_3>0$ da solo (serve anche $D_2>0$; per $t\in(1,2)$ vale $D_2>0$ ma $D_3<0$); non riconoscere un quadrato come in 2.