Esercizio - lunghezza di astroide e cicloide, curvatura (foglio 1)

Teoria: Lunghezza di una curva e ascissa curvilineaLa lunghezza di una curva è l'estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte. Se r è C^1 la curva è rettificabile e ℓ = ∫|r'(t)|dt (grafici: ∫√(1+f'^2); polari: ∫√(f²+f'^2)). La lunghezza non cambia riparametrizzando, anche invertendo il verso. L'ascissa curvilinea s(t)=∫|r'| dà la parametrizzazione a velocità 1: T = dr/ds. Con essa si definiscono curvatura κ=|dT/ds| e normale N; l'accelerazione è a = v' T + κ v² N.Lunghezza di una curva e ascissa curvilinea →, Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettorialiUna curva è una funzione continua r : [a,b] → R^m; il sostegno è la sua immagine. Limiti, continuità e derivate si fanno componente per componente. La curva è regolare se r è C^1 e r'(t) ≠ 0 ovunque: allora r'(t) è il vettore tangente e la retta tangente è r(t0) + λ r'(t0). Esempi: circonferenza, segmento, grafico (t, f(t)), curve polari (f(θ)cosθ, f(θ)sinθ) regolari se f' ≠ 0 dove f = 0, elica, cuspide (t²,t³). L'integrale di r si fa per componenti; vale ∫ r' = r(b) − r(a) e ‖∫ r‖ ≤ ∫ ‖r‖.Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettoriali →.

Testo. Calcolare lunghezza, curvatura, versore tangente e componenti dell'accelerazione (tangenziale e normale) delle curve $\gamma_{1,2} : [0, 2\pi] \to \mathbb{R}^2$: $$\gamma_1(t) = (\cos^3 t,\ \sin^3 t)\ \text{(astroide)},\qquad \gamma_2(t) = (t - \sin t,\ 1 - \cos t)\ \text{(cicloide)}.$$

(Fonte: esercizi 4 e 7 del foglio 1, corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD.)

Soluzione per l'astroide

Velocità. $x' = -3\cos^2 t\sin t$, $y' = 3\sin^2 t\cos t$. $$|\gamma_1'|^2 = 9\cos^4 t\sin^2 t + 9\sin^4 t\cos^2 t = 9\sin^2 t\cos^2 t(\cos^2 t + \sin^2 t) = 9\sin^2t\cos^2t,$$ $$v(t) = |\gamma_1'(t)| = 3|\sin t\cos t| = \tfrac32|\sin 2t| .$$ Si annulla per $t = 0, \frac\pi2, \pi, \frac{3\pi}2, 2\pi$: sono le quattro cuspidi, dove la curva non è regolare. Fuori da questi valori è regolare.

Lunghezza. Per simmetria, quattro archi uguali. Su $[0, \frac\pi2]$ seno e coseno sono $\ge 0$ e $v = 3\sin t\cos t$: $$L = 4\int_0^{\pi/2}3\sin t\cos t\,dt = 12\Big[\frac{\sin^2t}{2}\Big]_0^{\pi/2} = 6 .$$ (Senza spezzare in quadranti si avrebbe $\int_0^{2\pi}\sin t\cos t\,dt = 0$ per il segno: l'errore tipico.)

Curvatura (nei punti regolari). $x'' = 6\cos t\sin^2 t - 3\cos^3 t$, $y'' = 6\sin t\cos^2 t - 3\sin^3 t$. Allora $$x'y'' - x''y' = -9\sin^2 t\cos^2 t\,(\cos^2 t + \sin^2 t) = -9\sin^2t\cos^2t ,$$ $$\kappa = \frac{9\sin^2t\cos^2t}{(3|\sin t\cos t|)^3} = \frac{1}{3|\sin t\cos t|} = \frac{2}{3|\sin 2t|} .$$ La curvatura tende a $+\infty$ avvicinandosi alle cuspidi.

Tangente, normale, accelerazione per $t\in(0,\frac\pi2)$. $\underline T = \dfrac{(-3\cos^2t\sin t,\ 3\sin^2t\cos t)}{3\sin t\cos t} = (-\cos t,\ \sin t)$. Derivando, $\underline T' = (\sin t, \cos t)$, di norma $1$, quindi $\underline N = (\sin t,\ \cos t)$. Le componenti: $$a_T = v' = \tfrac{d}{dt}\big(\tfrac32\sin 2t\big) = 3\cos 2t,\qquad a_N = \kappa v^2 = \frac{1}{3\sin t\cos t}\cdot 9\sin^2t\cos^2t = 3\sin t\cos t = \tfrac32\sin 2t .$$

Soluzione per la cicloide

La cicloide è la curva descritta da un punto di una ruota di raggio $1$ che rotola senza strisciare.

Velocità. $x' = 1 - \cos t$, $y' = \sin t$. $$|\gamma_2'|^2 = (1-\cos t)^2 + \sin^2t = 2 - 2\cos t = 4\sin^2\tfrac t2 \quad(\text{bisezione: } 1-\cos t = 2\sin^2\tfrac t2).$$ Poiché $t/2 \in [0,\pi]$, $\sin\frac t2 \ge 0$ e $v(t) = 2\sin\frac t2$. Si annulla in $t = 0$ e $t = 2\pi$ (le cuspidi, quando il punto tocca terra).

Lunghezza. $L = \int_0^{2\pi}2\sin\frac t2\,dt = \big[-4\cos\frac t2\big]_0^{2\pi} = 4 + 4 = 8$.

Curvatura. $x'' = \sin t$, $y'' = \cos t$: $$x'y'' - x''y' = (1-\cos t)\cos t - \sin^2t = \cos t - 1 = -2\sin^2\tfrac t2,\qquad \kappa = \frac{2\sin^2\frac t2}{(2\sin\frac t2)^3} = \frac{1}{4\sin\frac t2},\ t\in(0,2\pi) .$$

Tangente, normale, accelerazione. $\underline T = \dfrac{(2\sin^2\frac t2,\ 2\sin\frac t2\cos\frac t2)}{2\sin\frac t2} = (\sin\tfrac t2,\ \cos\tfrac t2)$ (si è usato $\sin t = 2\sin\frac t2\cos\frac t2$), $\underline T' = \frac12(\cos\frac t2, -\sin\frac t2)$, di norma $\frac12$, quindi $\underline N = (\cos\tfrac t2,\ -\sin\tfrac t2)$. Inoltre $$a_T = v' = \cos\tfrac t2,\qquad a_N = \kappa v^2 = \frac{4\sin^2\frac t2}{4\sin\frac t2} = \sin\tfrac t2 .$$ Controllo: $a_T^2 + a_N^2 = 1$ e $|\gamma_2''| = |(\sin t, \cos t)| = 1$ ✓.

Errori tipici. $\sqrt{\sin^2(t/2)} = \sin(t/2)$ vale solo perché $t/2\in[0,\pi]$; $\sqrt{\sin^2 t\cos^2 t} = |\sin t\cos t|$, da spezzare per quadranti; scambiare $a_T = v'$ (derivata della velocità scalare) con $|\gamma''|$.