Esercizio - Limite, punto stazionario e minimo di una funzione implicita (esercizi 14, 15 e 16)

Teoria: Funzioni implicite e teorema di Dini nel pianoUna curva di livello f(x,y) = 0 è localmente il grafico di una funzione y = g(x) se f ∈ C¹, f(x₀,y₀) = 0 e f_y(x₀,y₀) ≠ 0 (teorema di Dini): g è unica, di classe C¹ e g'(x) = −f_x/f_y (D). Se invece f_x ≠ 0 si esplicita x = h(y), con h' = −f_y/f_x: il teorema si applica in tutti i punti non critici dell'insieme di livello. Retta tangente alla curva in (x₀,y₀): f_x(x₀,y₀)(x−x₀) + f_y(x₀,y₀)(y−y₀) = 0. Se f ∈ C², g''(x₀) = −(f_xx + 2f_xy g' + f_yy g'²)/f_y. Dove f_y = 0 la curva può avere tangente verticale, incroci (x² − y²) o cuspidi (x² − y³).Funzioni implicite e teorema di Dini nel piano →. Fonte: raccolta di esercizi di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD 2025-26, esercizi 14, 15 e 16.

Testo

Esercizio 14. Sia $f(x,y) = xy^2 + y + \sin(xy) + 3(e^x - 1)$.

• (i) Verificare che in un intorno di $(0,0)$ l'equazione $f(x,y) = 0$ definisce implicitamente una funzione $y = g(x)$.
• (ii) Calcolare, giustificando, $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{g(x) + 3x}{x}$.

Esercizio 15. Sia $f(x,y) = \log y + xy - \log x$ nel quadrante $Q = \{x > 0,\ y > 0\}$ e $L$ l'insieme degli zeri di $f$ in $Q$ (si accetti $L \ne \emptyset$). Verificare che per ogni $(x_0,y_0) \in L$ l'insieme $L$ coincide localmente con il grafico di una funzione della sola $x$; trovare i punti di $L$ per i quali tale funzione ha derivata prima nulla.

Esercizio 16. Verificare che l'equazione $F(x,y) = e^{x-y} + x^2 - y^2 - e(x+1) + 1 = 0$ definisce implicitamente, vicino a $x = 0$, una funzione $y = y(x)$ con $y(0) = -1$, e dimostrare che $x = 0$ è punto di minimo per $y(x)$.

Soluzione dell'esercizio 14

(i) $f$ è $C^\infty$ e $f(0,0) = 0 + 0 + 0 + 3(1 - 1) = 0$. Derivando in $y$: $$f_y = 2xy + 1 + x\cos(xy), \qquad f_y(0,0) = 1 \ne 0.$$ Dini si applica: esiste un'unica $y = g(x)$ vicino a $0$ con $g(0) = 0$.

(ii) $f_x = y^2 + y\cos(xy) + 3e^x$, quindi $f_x(0,0) = 3$ e $$g'(0) = -\frac{f_x(0,0)}{f_y(0,0)} = -3.$$ Poiché $g(0) = 0$, il limite richiesto è un rapporto incrementale: $$\lim_{x\to0}\frac{g(x) + 3x}{x} = \lim_{x\to0}\frac{g(x) - g(0)}{x} + 3 = g'(0) + 3 = -3 + 3 = 0.$$

Soluzione dell'esercizio 15

$f$ è $C^1$ in $Q$ (aperto). Le derivate parziali sono $$f_y = \frac1y + x, \qquad f_x = y - \frac1x.$$ In $Q$ si ha $x > 0$ e $y > 0$, quindi $f_y = \frac1y + x > 0$: mai nulla. Dini si applica in ogni punto di $L$, e vicino a ciascuno $L$ è il grafico di una $y = g(x)$ di classe $C^1$.

Derivata nulla. $g'(x_0) = -\frac{f_x}{f_y} = 0$ se e solo se $f_x = 0$, cioè $y_0 = \frac1{x_0}$. Il punto deve stare su $L$: sostituendo, $$\log\frac1{x_0} + x_0\cdot\frac1{x_0} - \log x_0 = -2\log x_0 + 1 = 0 \iff x_0 = e^{1/2}.$$ L'unico punto è $\left(e^{1/2},\ e^{-1/2}\right)$.

Soluzione dell'esercizio 16

Verifica di Dini. $F(0,-1) = e^{1} + 0 - 1 - e + 1 = 0$ ✓. Le derivate: $$F_x = e^{x-y} + 2x - e, \qquad F_y = -e^{x-y} - 2y.$$ In $(0,-1)$: $F_x = e - e = 0$ e $F_y = -e + 2 \approx -0{,}718 \ne 0$. Dini si applica: $y(x)$ esiste, è $C^1$ (anzi $C^2$ perché $F$ è $C^\infty$) e $y(0) = -1$.

Punto stazionario. $y'(0) = -\frac{F_x}{F_y} = 0$: $x = 0$ è un punto stazionario di $y(x)$.

Natura. Con $y'(0) = 0$ la formula della derivata seconda si riduce a $y''(0) = -\frac{F_{xx}}{F_y}$. Qui $F_{xx} = e^{x-y} + 2$, che in $(0,-1)$ vale $e + 2$. Quindi $$y''(0) = -\frac{e + 2}{2 - e} = \frac{e + 2}{e - 2} > 0,$$ (perché $e > 2$). Con $y'(0) = 0$ e $y''(0) > 0$ (condizione sufficiente di Analisi 1), $x = 0$ è un punto di minimo relativo per $y(x)$.

Errori tipici

• Nell'esercizio 14, calcolare $g'(0)$ con il segno sbagliato: si otterrebbe $g'(0) = +3$ e un limite uguale a $6$ invece di $0$.
• Nell'esercizio 15, concludere che la derivata è nulla anche in punti fuori da $L$: va imposta anche la condizione $f = 0$.
• Nell'esercizio 16, attenzione al segno: $F_y < 0$ rovescia il segno di $-F_{xx}/F_y$.