Teoria: Superfici parametriche regolari, area e integrali di superficieUna superficie regolare è l'immagine di r(u,v) di classe C¹ iniettiva con r_u ∧ r_v ≠ 0; r_u, r_v sono i vettori tangenti alle linee coordinate, N = r_u ∧ r_v la normale, e il piano tangente è N·(x − x₀) = 0. Area = ∬ ‖r_u ∧ r_v‖ du dv; integrale di superficie ∬ f dσ = ∬ f(r)‖r_u ∧ r_v‖ du dv. Per il grafico z = f(x,y): dσ = √(1+‖∇f‖²) dx dy. Baricentro con la densità; teorema di Pappo-Guldino: area di rotazione = 2π ∫ x ds (D).Superfici parametriche regolari, area e integrali di superficie → . Il secondo quesito dello stesso esercizio (il flusso) è nell'esercizio Esercizio - flusso attraverso un grafico su un semidisco (appello 30 gennaio 2024) .
Testo
Sia S S S f ( x , y ) = x y f(x,y)=xy f ( x , y ) = x y D = { ( x , y ) ∈ R 2 : y ≥ 0 , x 2 + y 2 ≤ 3 } . D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ y\ge0,\ x^2+y^2\le3\}. D = {( x , y ) ∈ R 2 : y ≥ 0 , x 2 + y 2 ≤ 3 } . S S S
Soluzione
Impostazione. Per un grafico A ( S ) = ∬ D 1 + f x 2 + f y 2 d x d y A(S)=\iint_D\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dx\,dy A ( S ) = ∬ D 1 + f x 2 + f y 2 d x d y f x = y f_x=y f x = y f y = x f_y=x f y = x 1 + x 2 + y 2 \sqrt{1+x^2+y^2} 1 + x 2 + y 2 A ( S ) = ∬ D 1 + x 2 + y 2 d x d y . A(S)=\iint_D\sqrt{1+x^2+y^2}\,dx\,dy . A ( S ) = ∬ D 1 + x 2 + y 2 d x d y .
Il dominio. D D D 3 \sqrt3 3 y ≥ 0 y\ge0 y ≥ 0 3 \sqrt3 3
Coordinate polari. x = ρ cos θ x=\rho\cos\theta x = ρ cos θ y = ρ sin θ y=\rho\sin\theta y = ρ sin θ θ ∈ [ 0 , π ] \theta\in[0,\pi] θ ∈ [ 0 , π ] y ≥ 0 y\ge0 y ≥ 0 ρ ∈ [ 0 , 3 ] \rho\in[0,\sqrt3] ρ ∈ [ 0 , 3 ] d x d y = ρ d ρ d θ dx\,dy=\rho\,d\rho\,d\theta d x d y = ρ d ρ d θ ρ \rho ρ A = ∫ 0 π d θ ∫ 0 3 1 + ρ 2 ρ d ρ = π [ 1 3 ( 1 + ρ 2 ) 3 / 2 ] 0 3 = π 3 ( 4 3 / 2 − 1 ) = π 3 ( 8 − 1 ) = 7 π 3 . A=\int_0^\pi d\theta\int_0^{\sqrt3}\sqrt{1+\rho^2}\,\rho\,d\rho=\pi\left[\tfrac13(1+\rho^2)^{3/2}\right]_0^{\sqrt3}=\frac\pi3\left(4^{3/2}-1\right)=\frac\pi3(8-1)=\frac{7\pi}3 . A = ∫ 0 π d θ ∫ 0 3 1 + ρ 2 ρ d ρ = π [ 3 1 ( 1 + ρ 2 ) 3/2 ] 0 3 = 3 π ( 4 3/2 − 1 ) = 3 π ( 8 − 1 ) = 3 7 π . d d ρ 1 3 ( 1 + ρ 2 ) 3 / 2 = ρ 1 + ρ 2 \frac d{d\rho}\tfrac13(1+\rho^2)^{3/2}=\rho\sqrt{1+\rho^2} d ρ d 3 1 ( 1 + ρ 2 ) 3/2 = ρ 1 + ρ 2
Risultato. A ( S ) = 7 π 3 ≈ 7 , 33 A(S)=\dfrac{7\pi}3\approx7{,}33 A ( S ) = 3 7 π ≈ 7 , 33 3 π 2 ≈ 4 , 71 \tfrac{3\pi}2\approx4{,}71 2 3 π ≈ 4 , 71 D D D
Versione ripasso
Testo. Area del grafico di f = x y f=xy f = x y D = { y ≥ 0 , x 2 + y 2 ≤ 3 } D=\{y\ge0,\ x^2+y^2\le3\} D = { y ≥ 0 , x 2 + y 2 ≤ 3 }
Passaggi (Superfici parametriche regolari, area e integrali di superficieUna superficie regolare è l'immagine di r(u,v) di classe C¹ iniettiva con r_u ∧ r_v ≠ 0; r_u, r_v sono i vettori tangenti alle linee coordinate, N = r_u ∧ r_v la normale, e il piano tangente è N·(x − x₀) = 0. Area = ∬ ‖r_u ∧ r_v‖ du dv; integrale di superficie ∬ f dσ = ∬ f(r)‖r_u ∧ r_v‖ du dv. Per il grafico z = f(x,y): dσ = √(1+‖∇f‖²) dx dy. Baricentro con la densità; teorema di Pappo-Guldino: area di rotazione = 2π ∫ x ds (D).Superfici parametriche regolari, area e integrali di superficie → ).
f x = y f_x=y f x = y f y = x f_y=x f y = x A = ∬ D 1 + x 2 + y 2 d x d y A=\iint_D\sqrt{1+x^2+y^2}\,dx\,dy A = ∬ D 1 + x 2 + y 2 d x d y Polari: θ ∈ [ 0 , π ] \theta\in[0,\pi] θ ∈ [ 0 , π ] ρ ∈ [ 0 , 3 ] \rho\in[0,\sqrt3] ρ ∈ [ 0 , 3 ] A = π ∫ 0 3 ρ 1 + ρ 2 d ρ = π 3 ( 4 3 / 2 − 1 ) = 7 π 3 A=\pi\int_0^{\sqrt3}\rho\sqrt{1+\rho^2}\,d\rho=\frac\pi3(4^{3/2}-1)=\frac{7\pi}3 A = π ∫ 0 3 ρ 1 + ρ 2 d ρ = 3 π ( 4 3/2 − 1 ) = 3 7 π
Errori tipici. Intervallo θ ∈ [ 0 , 2 π ] \theta\in[0,2\pi] θ ∈ [ 0 , 2 π ] ρ \rho ρ