Integrali curvilinei di prima specie, baricentri e momenti d'inerzia

Prerequisiti: Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettorialiUna curva è una funzione continua r : [a,b] → R^m; il sostegno è la sua immagine. Limiti, continuità e derivate si fanno componente per componente. La curva è regolare se r è C^1 e r'(t) ≠ 0 ovunque: allora r'(t) è il vettore tangente e la retta tangente è r(t0) + λ r'(t0). Esempi: circonferenza, segmento, grafico (t, f(t)), curve polari (f(θ)cosθ, f(θ)sinθ) regolari se f' ≠ 0 dove f = 0, elica, cuspide (t²,t³). L'integrale di r si fa per componenti; vale ∫ r' = r(b) − r(a) e ‖∫ r‖ ≤ ∫ ‖r‖.Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettoriali →, Lunghezza di una curva e ascissa curvilineaLa lunghezza di una curva è l'estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte. Se r è C^1 la curva è rettificabile e ℓ = ∫|r'(t)|dt (grafici: ∫√(1+f'^2); polari: ∫√(f²+f'^2)). La lunghezza non cambia riparametrizzando, anche invertendo il verso. L'ascissa curvilinea s(t)=∫|r'| dà la parametrizzazione a velocità 1: T = dr/ds. Con essa si definiscono curvatura κ=|dT/ds| e normale N; l'accelerazione è a = v' T + κ v² N.Lunghezza di una curva e ascissa curvilinea →, Integrazione per sostituzioneSe nell'integranda c'è g(f(x))·f'(x), la sostituzione y = f(x), dy = f'(x)dx trasforma l'integrale in ∫g(y)dy = G(y) + k, poi si torna a x: G(f(x)) + k. Negli integrali definiti cambiano anche gli estremi (da c, d a f(c), f(d)). Si può usare anche al contrario, con x = f⁻¹(y). È il primo metodo a cui pensare; dà la tabella degli integrali "immediati per sostituzione".Integrazione per sostituzione →.

1. Il problema: la massa di un filo

Un filo omogeneo di densità linearemassa per unità di lunghezza del filo $\mu$ (massa per unità di lunghezza) e lunghezza $\ell$ ha massa $\mu\ell$. Se la densità cambia da punto a punto, $\mu = \mu(\underline x)$, si spezza il filo in tratti piccolissimi: il tratto tra $\underline r(t)$ e $\underline r(t + dt)$ ha lunghezza $ds = |\underline r'(t)|\,dt$ e massa $\mu(\underline r(t))\,ds$. Sommando (integrando) tutti i contributi si ottiene la massa. È la definizione che segue.

Definizione (integrale di prima specie). Sia $\underline r : [a,b] \to \mathbb{R}^m$ una curva $C^1$ con sostegno $\gamma$ e sia $f : \gamma \to \mathbb{R}$ continua. Si pone $$\int_\gamma f\,ds = \int_a^b f(\underline r(t))\,|\underline r'(t)|\,dt .$$ $ds = |\underline r'(t)|\,dt$ è l'elemento d'arco.

Se la curva è solo $C^1$ a tratti, l'integrale è la somma degli integrali sui tratti (additività rispetto al dominio). Le altre proprietà seguono da quelle dell'integrale in una variabile: linearità ($\int(\alpha f + \beta g)\,ds = \alpha\int f\,ds + \beta\int g\,ds$) e monotonia ($f \ge g \Rightarrow \int f\,ds \ge \int g\,ds$).

Casi notevoli.

• $f \equiv 1$: $\int_\gamma 1\,ds = \int_a^b|\underline r'|\,dt = \ell(\gamma)$, la lunghezza.
• $f \equiv c$: $\int_\gamma c\,ds = c\,\ell(\gamma)$.
• Curva piana e $f(x,y) \ge 0$: $\int_\gamma f\,ds$ è l'area della parete (una "staccionata") che sta sopra la curva ed è alta $f$ in ogni punto. Per altezza costante $h$ l'area è $h\cdot\ell(\gamma)$.
• $f = \mu$ densità: $\int_\gamma\mu\,ds = M$ massa.

Esempio (la parete sotto un piano). $\gamma$: semicirconferenza $\underline r(t) = (\cos t, \sin t)$, $t\in[\pi, 2\pi]$ (la metà inferiore, dove $y \le 0$), $f(x,y) = -y \ge 0$. Qui $|\underline r'| = 1$ e $f(\underline r(t)) = -\sin t$: $$\int_\gamma(-y)\,ds = \int_\pi^{2\pi}(-\sin t)\,dt = [\cos t]_\pi^{2\pi} = 1 - (-1) = 2 .$$ È l'area della parete alta $1$ al centro e $0$ agli estremi, che si appoggia sulla semicirconferenza.

Come si calcola. (1) parametrizzare $\gamma$; (2) calcolare $|\underline r'(t)|$; (3) scrivere $f(\underline r(t))$; (4) integrare il prodotto $f(\underline r(t))\,|\underline r'(t)|$ in $t$. Se la curva è un grafico $y = g(x)$: $ds = \sqrt{1+g'^2}\,dx$; se è polare $\rho = f(\vartheta)$: $ds = \sqrt{f^2+f'^2}\,d\vartheta$.

Esempio (elica). $f(x,y,z) = xyz$ su $\underline r(t) = (\cos t,\sin t,t)$, $t\in[0,2\pi]$: $|\underline r'| = \sqrt2$, $f(\underline r(t)) = t\sin t\cos t = \frac12t\sin2t$. Integrando per parti (Integrazione per parti∫ f·g' dx = f·g − ∫ f'·g dx (regola del prodotto letta al contrario). Si usa per log x, arcsin x, arctan x (scritti come "funzione per 1"), per sin²x, cos²x, sinh²x, cosh²x (integrale circolare: l'integrale di partenza ricompare e si porta a sinistra) e per prodotti come x^n·e^(αx), x^n·sin(βx), e^(αx)·sin(βx).Integrazione per parti →): $$\int_\gamma xyz\,ds = \frac{\sqrt2}{2}\int_0^{2\pi}t\sin2t\,dt = \frac{\sqrt2}{2}\Big[-\frac t2\cos2t + \frac14\sin2t\Big]_0^{2\pi} = \frac{\sqrt2}{2}(-\pi) = -\frac{\sqrt2\,\pi}{2}.$$

2. Indipendenza dalla parametrizzazione

Il numero $\int_\gamma f\,ds$ deve dipendere solo dal filo (il sostegno) e non da come lo percorriamo. Altrimenti non sarebbe una massa.

Teorema (D). Sia $\tilde{\underline r}(u) = \underline r(\varphi(u))$, $u\in[c,d]$, una riparametrizzazione di $\underline r : [a,b]\to\mathbb{R}^m$ ($\varphi$ biiettiva e $C^1$), sia con $\varphi' > 0$ sia con $\varphi' < 0$ (verso opposto). Allora per ogni $f$ continua $$\int_{\tilde\gamma}f\,ds = \int_\gamma f\,ds .$$

Dimostrazione. Caso $\varphi' < 0$ (cambio di verso; il caso $\varphi' > 0$ è identico, più semplice). Allora $\varphi(c) = b$, $\varphi(d) = a$. Nell'integrale con il parametro $t$ si pone $t = \varphi(u)$, $dt = \varphi'(u)\,du$. Gli estremi $t = a, b$ diventano $u = d, c$: $$\int_a^b f(\underline r(t))|\underline r'(t)|\,dt = \int_d^c f(\underline r(\varphi(u)))\,|\underline r'(\varphi(u))|\,\varphi'(u)\,du = \int_c^d f(\underline r(\varphi(u)))\,|\underline r'(\varphi(u))|\,\big(-\varphi'(u)\big)\,du ,$$ perché invertire gli estremi cambia il segno. Ora $-\varphi' = |\varphi'|$ e, per la regola della catena, $\tilde{\underline r}'(u) = \underline r'(\varphi(u))\,\varphi'(u)$, quindi $|\underline r'(\varphi(u))|\,|\varphi'(u)| = |\tilde{\underline r}'(u)|$. Rimane $$\int_c^d f(\tilde{\underline r}(u))\,|\tilde{\underline r}'(u)|\,du = \int_{\tilde\gamma}f\,ds . \ \blacksquare$$

Conseguenze. (1) Con $f = 1$ la lunghezza non dipende dalla parametrizzazione. (2) In un integrale di prima specie si può scegliere la parametrizzazione più comoda e percorrere la curva in un verso qualsiasi. (Questo non vale per l'integrale di seconda specie di un campo, che cambia segno invertendo il verso: vedi Campi vettoriali, lavoro e forme differenzialiUn campo vettoriale assegna un vettore a ogni punto; la forma differenziale ω = F₁dx + F₂dy + F₃dz è lo stesso oggetto scritto come "covettore". Il lavoro (integrale curvilineo di seconda specie) è ∫ F(r(t))·r'(t) dt: è lineare, additivo sul cammino, cambia segno se si inverte il verso e non cambia se si riparametrizza con lo stesso verso. Si lega all'integrale di prima specie con ∫ F·T ds.Campi vettoriali, lavoro e forme differenziali →.)

3. Baricentro

Per punti materiali $\underline x_1,\dots,\underline x_N$ di masse $\mu_1,\dots,\mu_N$ il baricentropunto medio delle posizioni pesato con le masse è la media pesata $\underline x_b = \frac1M\sum\mu_i\underline x_i$, con $M = \sum\mu_i$. Per un filo la somma diventa un integrale di prima specie.

Definizione (massa e baricentro). Per una curva $\gamma$ con densità $\mu \ge 0$: $$M = \int_\gamma\mu\,ds,\qquad x_b = \frac1M\int_\gamma x\,\mu\,ds,\quad y_b = \frac1M\int_\gamma y\,\mu\,ds,\quad z_b = \frac1M\int_\gamma z\,\mu\,ds .$$ Se il filo è omogeneo ($\mu\equiv1$) si ha $M = \ell(\gamma)$ e si parla di baricentro geometrico (o centroide).

Consigli pratici: se la curva ha un asse o un centro di simmetria (e la densità è simmetrica), il baricentro sta sull'asse o nel centro, e si risparmiano degli integrali.

Esempio (quarto di circonferenza). $\underline r(t) = (R\cos t, R\sin t)$, $t\in[0,\frac\pi2]$, $\mu = 1$: $|\underline r'| = R$, $M = \frac{\pi R}{2}$, $$x_b = \frac{2}{\pi R}\int_0^{\pi/2}R\cos t\cdot R\,dt = \frac{2R}{\pi}\big[\sin t\big]_0^{\pi/2} = \frac{2R}{\pi},\qquad y_b = \frac{2R}{\pi}$$ (per la simmetria rispetto alla bisettrice $y = x$ le due coordinate coincidono). Poiché $2/\pi\approx0.637$, il baricentro $\big(\frac{2R}\pi,\frac{2R}\pi\big)$ sta a distanza $\frac{2\sqrt2}{\pi}R \approx 0.90R$ dall'origine: dentro la regione racchiusa dall'arco, non sull'arco.

Esempio (arco di astroide nel primo quadrante). $\underline r(t) = (\cos^3t, \sin^3t)$, $t\in[0,\frac\pi2]$: $|\underline r'| = 3\sin t\cos t$, $\ell = \frac32$ (un quarto di $6$). Con $d(\cos t) = -\sin t\,dt$: $$x_b = \frac{2}{3}\int_0^{\pi/2}\cos^3t\cdot3\sin t\cos t\,dt = 2\int_0^{\pi/2}\cos^4t\sin t\,dt = 2\Big[-\frac{\cos^5t}{5}\Big]_0^{\pi/2} = \frac25 ,$$ e per simmetria $y_b = \frac25$.

4. Momento d'inerzia

Il momento d'inerziamisura di quanto è difficile far ruotare il filo attorno a un asse misura quanto è "difficile far ruotare" il filo attorno a un asse: le masse lontane dall'asse contano col quadrato della distanza.

Definizione. Fissato un asse, sia $\delta(x,y,z)$ la distanza del punto dall'asse. Il momento d'inerzia della curva (densità $\mu$) rispetto a quell'asse è $$I = \int_\gamma\delta^2\,\mu\,ds .$$

Distanze utili: dall'asse $z$, $\delta = \sqrt{x^2+y^2}$; dall'asse $x$ nel piano, $\delta = |y|$; dall'asse $y$, $\delta = |x|$.

Esempio. Arco di circonferenza $\underline r(t) = (R\cos t, R\sin t)$, $t\in[0,\frac\pi2]$, $\mu = 1$, rispetto all'asse $y$: $\delta = |x| = R\cos t$, $|\underline r'| = R$, $$I = \int_0^{\pi/2}(R\cos t)^2\cdot R\,dt = R^3\int_0^{\pi/2}\cos^2t\,dt = \frac{\pi R^3}{4}.$$ (Per l'integrale di $\cos^2$: per parti si ottiene $J = \int\cos^2 = [\sin t\cos t] + \int\sin^2 t = \frac\pi2 - J$, quindi $J = \frac\pi4$.) Il filo ha massa $M = \frac{\pi R}2$, quindi $I = \frac{R^2}{2}M$: come se tutta la massa stesse alla distanza $R/\sqrt2$ dall'asse.

Errori da evitare

• Dimenticare $|\underline r'(t)|$: l'integrale curvilineo non è $\int f(\underline r(t))\,dt$. Il fattore $|\underline r'|$ converte "tempo" in "lunghezza".
• Parametri con densità di lunghezza sbagliata: per una curva polare il fattore è $\sqrt{f^2+f'^2}$, non $f'$.
• Intervallo e valore assoluto: se $|\underline r'|$ contiene un valore assoluto (astroide, cardioide) si spezza l'intervallo dove il segno cambia.
• Baricentro non sulla curva: il baricentro di un arco può cadere fuori dal sostegno, è normale.

Esercizi svolti

• Esercizio - integrali di prima specie su elica e spirale (foglio 1 ed esercizi 2025-26)
• Esercizio - baricentro di una curva in coordinate polari (esercizi 2025-26)
• Esercizio - baricentro e momento d'inerzia di un arco di circonferenza e di astroide (lezioni 4 e 5)
• Esercizio - ellisse come insieme di livello e integrale curvilineo (appello 13 febbraio 2026)

Domande d'esame

1. Definire l'integrale curvilineo di prima specie e dimostrare che non dipende dalla parametrizzazione. Traccia: cambio di variabile $t = \varphi(u)$, $|\tilde{\underline r}'| = |\underline r'(\varphi)||\varphi'|$, caso $\varphi'<0$ con inversione degli estremi.
2. Definire il baricentro di una curva materiale e calcolarlo per un arco di circonferenza. Traccia: $x_b = \frac1M\int x\mu\,ds$; quarto di cerchio: $\big(\frac{2R}\pi,\frac{2R}\pi\big)$.
3. Che cosa rappresenta $\int_\gamma f\,ds$ se $f\ge0$ e $\gamma$ è piana? Traccia: l'area della parete di altezza $f$ lungo $\gamma$; per $f=1$ la lunghezza.