Esercizio - Integrale doppio su un dominio fra due curve (esercizio 31)

Teoria: Integrali doppi, domini semplici e formule di riduzioneL'integrale doppio ∬_R f su un rettangolo è il limite delle somme di Cauchy-Riemann Σ |I_hk| f(P_hk); per f ≥ 0 è il volume del cilindroide. Le funzioni continue sono integrabili. Formule di riduzione (Fubini): su R = [a,b]×[c,d] ∬ = ∫_c^d(∫_a^b f dx)dy = ∫_a^b(∫_c^d f dy)dx; per f = g(x)h(y) il prodotto di due integrali. Su un dominio y-semplice {a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)} (D): ∬ = ∫a^b(∫{g₁}^{g₂} f dy)dx, simmetricamente per i domini x-semplici; domini regolari = unioni finite di semplici, f continua è integrabile. Area |Ω| = ∬ 1; insiemi di area nulla (punti, segmenti, grafici di funzioni continue); f limitata con discontinuità su area nulla è integrabile. Proprietà: linearità, monotonia, additività; teorema della media integrale (D). Baricentro e momenti d'inerzia di una lamina.Integrali doppi, domini semplici e formule di riduzione →. Fonte: raccolta di esercizi di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD 2025-26, esercizio 31.

Testo

Calcolare $$\iint_I\frac{1}{(3-y)^2}\,dx\,dy,$$ dove $I$ è l'insieme limitato del piano $(x,y)$ compreso fra le curve di equazioni $|x| = y^3$ e $y = 2 - x^2$.

Soluzione

1. Il dominio

Le curve sono:

• $|x| = y^3$, cioè $y = |x|^{1/3}$ (con $y \ge 0$): due rami simmetrici rispetto all'asse $y$, che partono dall'origine con tangente verticale;
• $y = 2 - x^2$: parabola con vertice $(0,2)$ rivolta verso il basso.

Intersezioni. Per $x\ge0$ si risolve $x^{1/3} = 2 - x^2$. Il punto $(1,1)$ è una soluzione: $1^{1/3} = 1 = 2 - 1$. È l'unica con $x>0$: la funzione $x^{1/3}$ è crescente e $2 - x^2$ è decrescente per $x>0$, quindi si incontrano una sola volta. Per simmetria l'altra intersezione è $(-1,1)$.

Regione limitata compresa fra le curve. Nella fascia $-1\le x\le 1$ la regione sta sopra la curva $y = |x|^{1/3}$ e sotto la parabola: $$I = \{-1\le x\le 1,\ |x|^{1/3}\le y\le 2-x^2\}.$$ Controllo: in $x=0$ si va da $y=0$ a $y=2$; in $x=\pm1$ da $y=1$ a $y=1$ (la regione si chiude).

2. Riduzione

L'integranda $\frac{1}{(3-y)^2}$ è continua dove $y\ne3$: in $I$ si ha $y\le2$, nessun problema. Il dominio è $y$-semplice (dalla funzione $|x|^{1/3}$, continua, alla parabola): conviene integrare prima in $y$, perché l'integranda dipende solo da $y$ e ha primitiva immediata. $$\int_{|x|^{1/3}}^{2-x^2}\frac{dy}{(3-y)^2} = \left[\frac{1}{3-y}\right]_{y=|x|^{1/3}}^{y=2-x^2} = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{3-|x|^{1/3}}.$$ (La primitiva di $(3-y)^{-2}$ è $\frac{1}{3-y}$, perché la derivata di $\frac1{3-y}$ è $\frac{1}{(3-y)^2}$; in $y=2-x^2$ si ha $3-y = 1+x^2$.)

Integrando in $x$: l'integranda risultante è pari (dipende da $x^2$ e da $|x|$) e l'intervallo è simmetrico, quindi $$\iint_I = 2\int_0^1\left[\frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{3-x^{1/3}}\right]dx.$$

• $\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{1+x^2} = \arctan1 = \frac\pi4$.
• $\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{3-x^{1/3}}$: la sostituzione $x = s^3$ ($dx = 3s^2ds$, $s$ da $0$ a $1$) dà $\int_0^1\frac{3s^2}{3-s}ds$. Si divide: $s^2 = (3-s)(-s-3)+9$, quindi $\frac{3s^2}{3-s} = -3s-9+\frac{27}{3-s}$ e $$\int_0^1\left(-3s-9+\frac{27}{3-s}\right)ds = -\frac32-9+27\Big[-\ln(3-s)\Big]_0^1 = -\frac{21}2+27\ln\frac32.$$

Mettendo insieme: $$\iint_I = 2\left[\frac\pi4+\frac{21}2-27\ln\frac32\right] = \frac\pi2+21-54\ln\frac32 = \frac\pi2+21+54\ln\frac23\approx0{,}676.$$ (Verificato numericamente con un'integrazione doppia indipendente.)

Errori tipici

• Ordinare male i bordi: sopra la curva $|x|^{1/3}$ e sotto la parabola (verificare con un punto, per esempio $(0,1)$ è interno).
• Dimenticare la simmetria e integrare solo su $[0,1]$ senza raddoppiare.
• Sostituire $x^{1/3}$ senza ricalcolare il differenziale: $dx = 3s^2ds$.