Esercizio - equazione del secondo ordine con forzante trigonometrica e sistema con autovalore doppio (Esercizi 2025-26)

Teoria: Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costantiUn sistema lineare y' = A(t)y + g(t) con coefficienti continui ha, per ogni dato iniziale, una e una sola soluzione, definita su tutto l'intervallo (D). Le soluzioni del sistema omogeneo formano uno spazio vettoriale di dimensione n (D); quelle del sistema completo sono una soluzione particolare più l'integrale omogeneo (D). Per y'' + by' + cy = 0 si cercano e^(λt): tre casi (D). Un sistema 2×2 a coefficienti costanti si riduce a u'' − (tr A)u' + (det A)u = g, risolta con il metodo di somiglianza.Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti →.

Testo (due temi d'esame della raccolta)

(a) Risolvere il problema di Cauchy $y''+6y'+9y=2\sin t$, $y(0)=\alpha$, $y'(0)=\beta$. Calcolarlo per $\alpha=\beta=0$ e dire per quali $\alpha,\beta$ la soluzione è periodica. (b) Risolvere $\begin{cases}x'=8x-4y\\ y'=x+4y+9\end{cases}$ con $x(0)=0$, $y(0)=0$.

Soluzione

(a) Forzante trigonometrica

Omogenea. $\lambda^2+6\lambda+9=(\lambda+3)^2=0$: radice doppia $\lambda=-3$, $y_{\text{om}}=(c_1+c_2t)e^{-3t}$.

Particolare. La forzante $2\sin t$ ha $\gamma+i\omega=i$, che non è radice: $\tilde y=A\cos t+B\sin t$. Allora $\tilde y'=-A\sin t+B\cos t$, $\tilde y''=-A\cos t-B\sin t$ e $$\tilde y''+6\tilde y'+9\tilde y=(8A+6B)\cos t+(8B-6A)\sin t=2\sin t .$$ Quindi $8A+6B=0$ e $-6A+8B=2$: da $B=-\tfrac43A$, $-6A-\tfrac{32}3A=2$, $A=-\tfrac3{25}$, $B=\tfrac4{25}$.

Integrale generale. $y=(c_1+c_2t)e^{-3t}+\dfrac{-3\cos t+4\sin t}{25}$.

Dato iniziale generico. $y(0)=c_1-\tfrac3{25}=\alpha$ e $y'(0)=c_2-3c_1+\tfrac4{25}=\beta$, quindi $c_1=\alpha+\tfrac3{25}$, $c_2=\beta+3\alpha+\tfrac9{25}-\tfrac4{25}=\beta+3\alpha+\tfrac15$.

Per $\alpha=\beta=0$: $c_1=\tfrac3{25}$, $c_2=\tfrac15$, e $$y(t)=\frac{e^{-3t}(3+5t)-3\cos t+4\sin t}{25}.$$ Periodicità. Il termine $(c_1+c_2t)e^{-3t}\to0$ per $t\to+\infty$ e non è periodico se non è nullo: la soluzione è periodica se e solo se $c_1=c_2=0$, cioè $y=\tilde y$. Questo accade per $\alpha=\tilde y(0)=-\tfrac3{25}$ e $\beta=\tilde y'(0)=\tfrac4{25}$ (la soluzione è allora $\tfrac{-3\cos t+4\sin t}{25}$, di periodo $2\pi$).

(b) Autovalore doppio con termine noto costante

$a_{11}=8$, $a_{12}=-4$, $a_{21}=1$, $a_{22}=4$, $g_1=0$, $g_2=9$. $\operatorname{tr}A=12$, $\det A=32+4=36$. La formula (R) della teoria dà $$x''-12x'+36x=g_1'-a_{22}g_1+a_{12}g_2=-36 .$$ Omogenea. $\lambda^2-12\lambda+36=(\lambda-6)^2$: $x_{\text{om}}=(c_1+c_2t)e^{6t}$. Particolare: costante, $36\tilde x=-36$, $\tilde x=-1$. Quindi $$x=(c_1+c_2t)e^{6t}-1,\qquad y=\frac{x'-a_{11}x-g_1}{a_{12}}=\frac{8x-x'}{4}.$$ Condizioni iniziali. $x(0)=c_1-1=0\Rightarrow c_1=1$. $x'(0)=a_{11}x(0)+a_{12}y(0)+g_1(0)=0$ (dal sistema); $x'=(c_2+6c_1+6c_2t)e^{6t}$ dà $x'(0)=c_2+6=0\Rightarrow c_2=-6$. Allora $x=(1-6t)e^{6t}-1$ e $x'=-36te^{6t}$, quindi $$y=\frac{8(1-6t)e^{6t}-8+36te^{6t}}{4}=(2-3t)e^{6t}-2 .$$ Soluzione. $x(t)=(1-6t)e^{6t}-1$, $y(t)=(2-3t)e^{6t}-2$. (Controllo: $x'=-36te^{6t}$ e $8x-4y=(8-48t-8+12t)e^{6t}-8+8=-36te^{6t}$ ✓.)