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Note per Studenti Esercizio - volume e flusso uscente da un solido delimitato da due grafici (appello 26 gennaio 2026)

Esercizio - volume e flusso uscente da un solido delimitato da due grafici (appello 26 gennaio 2026)

Esame

Teoria: Flusso, teorema della divergenza e teorema del rotoreIl flusso di F attraverso una superficie orientata è ∬ F·n dσ = ∬ F(r)·(r_u ∧ r_v) du dv (grafico: ∬ F·(−f_x,−f_y,1) dx dy). Teorema della divergenza: per un solido Ω il flusso uscente da ∂Ω è ∭ div F; nel piano ∬ div F = ∮ F·n ds. Teorema del rotore (Stokes): ∬ rot F·n dσ = ∮ F·T ds sul bordo orientato; su una superficie chiusa il flusso del rotore è 0. Da div rot F = 0 vengono i campi solenoidali e il potenziale vettore.Flusso, teorema della divergenza e teorema del rotore →, Integrali tripli, coordinate cilindriche e sferiche e solidi di rotazioneL'integrale triplo ∭E f si definisce con somme di Cauchy-Riemann su parallelepipedi; per f = 1 è il volume, per f = densità la massa; baricentro e momenti d'inerzia come in dimensione 2. Riduzione per fili (E = {(x,y) ∈ D, h₁ ≤ z ≤ h₂}: ∭ = ∬D(∫{h₁}^{h₂} f dz)dxdy) e per strati (E = {a ≤ z ≤ b, (x,y) ∈ E_z}: ∭ = ∫a^b(∬{E_z} f dxdy)dz). Cambiamento di variabili con |det DT|; coordinate cilindriche (x,y,z) = (ρcosθ, ρsinθ, z), dxdydz = ρ dρdθdz; sferiche (ρsinφcosθ, ρsinφsinθ, ρcosφ), φ ∈ [0,π] colatitudine, dxdydz = ρ²sinφ dρdφdθ; ellissoide di semiassi a,b,c ha volume (4/3)πabc. Solidi di rotazione: Pappo-Guldino (D), |R(A)| = θ̄·x_B·|A| (area di A per lunghezza dell'arco percorso dal baricentro).Integrali tripli, coordinate cilindriche e sferiche e solidi di rotazione →, Cambiamento di variabili negli integrali doppi, integrali generalizzati e gaussianaCambiando coordinate (x,y) = T(u,v), con T diffeomorfismo C¹ tra D' e D, ∬D f(x,y)dxdy = ∬{D'} f(T(u,v)) |det DT(u,v)| dudv: il fattore |det DT| è la dilatazione locale delle aree (per le trasformazioni lineari è |det M|, dimostrato col prodotto vettoriale). Polari: x = x₀ + ρcosθ, y = y₀ + ρsinθ, dxdy = ρ dρdθ; area di un settore di corona ½(R₂² − R₁²)Δθ; disco x² + y² ≤ 2ax: ρ ≤ 2a cosθ. Coordinate ellittiche x = aρcosθ, y = bρsinθ, dxdy = abρ dρdθ (area dell'ellisse πab). Simmetrie: D simmetrico rispetto all'asse y, f dispari in x ⇒ ∬ = 0 (D), f pari ⇒ ∬ = 2∬{x≥0}. Integrali generalizzati di f ≥ 0 continua su R²: limite su una successione invadente, indipendente dalla successione; gaussiana (D): ∬ e^{−(x²+y²)/2} = 2π, quindi ∫_R e^{−x²/2}dx = √(2π).Cambiamento di variabili negli integrali doppi, integrali generalizzati e gaussiana →.

Testo

Siano g1(x,y)=ex2+y29x2+y29,g2(x,y)=ex2+y29,g_1(x,y)=e^{\sqrt{x^2+\frac{y^2}9}}\sqrt{x^2+\tfrac{y^2}9},\qquad g_2(x,y)=e^{\sqrt{x^2+\frac{y^2}9}}, e Ω={(x,y,z): g1(x,y)≤z≤g2(x,y)}\Omega=\{(x,y,z):\ g_1(x,y)\le z\le g_2(x,y)\}. (a) Calcolare il volume di Ω\Omega. (b) Calcolare il flusso uscente da ∂Ω\partial\Omega del campo F(x,y,z)=(cos⁡y, xz, z e−x2+y2/9)\mathbf{F}(x,y,z)=\left(\cos y,\ xz,\ z\,e^{-\sqrt{x^2+y^2/9}}\right).

Soluzione

Posto s=x2+y29s=\sqrt{x^2+\frac{y^2}9} si ha g1=s esg_1=s\,e^s e g2=esg_2=e^s.

(a) Il volume

La base. Ω\Omega è zz-semplice. Esiste dove g1≤g2g_1\le g_2, cioè ses≤esse^s\le e^s; essendo es>0e^s>0, la condizione è s≤1s\le1, ovvero D={x2+y29≤1},D=\left\{x^2+\frac{y^2}9\le1\right\}, ellisse piena di semiassi 11 (lungo xx) e 33 (lungo yy).

Riduzione per fili. ∣Ω∣=∬D(g2−g1) dx dy=∬Des(1−s) dx dy.|\Omega|=\iint_D(g_2-g_1)\,dx\,dy=\iint_De^s(1-s)\,dx\,dy . Cambio di variabili. Prima x=ux=u, y=3vy=3v (jacobiano 33) che manda DD nel disco unitario; poi polari u=ρcos⁡θu=\rho\cos\theta, v=ρsin⁡θv=\rho\sin\theta, per cui s=ρs=\rho. In totale dx dy=3ρ dρ dθdx\,dy=3\rho\,d\rho\,d\theta: ∣Ω∣=3∫02πdθ∫01eρ(1−ρ) ρ dρ=6π∫01(ρ−ρ2)eρ dρ.|\Omega|=3\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1e^\rho(1-\rho)\,\rho\,d\rho=6\pi\int_0^1(\rho-\rho^2)e^\rho\,d\rho . Per parti. ∫(ρ−ρ2)eρ dρ=(ρ−ρ2)eρ−∫(1−2ρ)eρ dρ\int(\rho-\rho^2)e^\rho\,d\rho=(\rho-\rho^2)e^\rho-\int(1-2\rho)e^\rho\,d\rho; il primo termine vale 00 fra 00 e 11. Ancora per parti, ∫01(1−2ρ)eρ dρ=[(1−2ρ)eρ]01+2∫01eρ dρ=(−e−1)+2(e−1)=e−3\int_0^1(1-2\rho)e^\rho\,d\rho=\bigl[(1-2\rho)e^\rho\bigr]_0^1+2\int_0^1e^\rho\,d\rho=(-e-1)+2(e-1)=e-3. Dunque ∫01(ρ−ρ2)eρ dρ=−(e−3)=3−e\int_0^1(\rho-\rho^2)e^\rho\,d\rho=-(e-3)=3-e e ∣Ω∣=6π(3−e)≈5,31.|\Omega|=6\pi(3-e)\approx5{,}31 .

(b) Il flusso

Ω\Omega è un dominio regolare e F∈C1\mathbf{F}\in C^1 sull'aperto dove le gig_i sono definite: si applica Gauss (il flusso diretto richiederebbe due superfici diverse). div⁡F=∂xcos⁡y+∂y(xz)+∂z(z e−s)=0+0+e−s=e−s.\operatorname{div}\mathbf{F}=\partial_x\cos y+\partial_y(xz)+\partial_z\left(z\,e^{-s}\right)=0+0+e^{-s}=e^{-s}. Si integra per fili: l'integranda non dipende da zz, Φ=∬De−s (g2−g1) dx dy=∬De−ses(1−s) dx dy=∬D(1−s) dx dy,\Phi=\iint_De^{-s}\,(g_2-g_1)\,dx\,dy=\iint_De^{-s}e^s(1-s)\,dx\,dy=\iint_D(1-s)\,dx\,dy , perché e−ses=1e^{-s}e^s=1. Con lo stesso cambio di variabili, Φ=3∫02πdθ∫01(1−ρ)ρ dρ=6π[ρ22−ρ33]01=6π⋅16=π.\Phi=3\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1(1-\rho)\rho\,d\rho=6\pi\left[\tfrac{\rho^2}2-\tfrac{\rho^3}3\right]_0^1=6\pi\cdot\tfrac16=\pi .

Risultati. ∣Ω∣=6π(3−e)|\Omega|=6\pi(3-e), Φ=π\Phi=\pi (verificati con integrazione numerica: 5,31035{,}3103 e 3,14163{,}1416).

Versione ripasso

Testo. Ω={ses≤z≤es}\Omega=\{se^s\le z\le e^s\} con s=x2+y2/9s=\sqrt{x^2+y^2/9}. (a) volume; (b) flusso uscente di (cos⁡y,xz,ze−s)(\cos y,xz,ze^{-s}).

Passaggi (Flusso, teorema della divergenza e teorema del rotoreIl flusso di F attraverso una superficie orientata è ∬ F·n dσ = ∬ F(r)·(r_u ∧ r_v) du dv (grafico: ∬ F·(−f_x,−f_y,1) dx dy). Teorema della divergenza: per un solido Ω il flusso uscente da ∂Ω è ∭ div F; nel piano ∬ div F = ∮ F·n ds. Teorema del rotore (Stokes): ∬ rot F·n dσ = ∮ F·T ds sul bordo orientato; su una superficie chiusa il flusso del rotore è 0. Da div rot F = 0 vengono i campi solenoidali e il potenziale vettore.Flusso, teorema della divergenza e teorema del rotore →).

  • Base: ses≤es⇔s≤1se^s\le e^s\Leftrightarrow s\le1, ellisse x2+y2/9≤1x^2+y^2/9\le1.
  • (a) ∣Ω∣=∬Des(1−s)|\Omega|=\iint_De^s(1-s); x=ρcos⁡θx=\rho\cos\theta, y=3ρsin⁡θy=3\rho\sin\theta (jacobiano 3ρ3\rho): 6π∫01(ρ−ρ2)eρdρ=6π(3−e)6\pi\int_0^1(\rho-\rho^2)e^\rho d\rho=6\pi(3-e).
  • (b) Gauss: div⁡=e−s\operatorname{div}=e^{-s}, Φ=∬De−s(g2−g1)=∬D(1−s)=6π∫01(ρ−ρ2)dρ=π\Phi=\iint_De^{-s}(g_2-g_1)=\iint_D(1-s)=6\pi\int_0^1(\rho-\rho^2)d\rho=\pi.

Errori tipici. Jacobiano ρ\rho invece di 3ρ3\rho; derivare male ∂z(ze−s)\partial_z(ze^{-s}) (qui ss non dipende da zz).

Teoria collegata