Esercizio - flusso attraverso una calotta paraboloidica e il solido chiuso (foglio 6, esercizio 2)

Teoria: Flusso, teorema della divergenza e teorema del rotoreIl flusso di F attraverso una superficie orientata è ∬ F·n dσ = ∬ F(r)·(r_u ∧ r_v) du dv (grafico: ∬ F·(−f_x,−f_y,1) dx dy). Teorema della divergenza: per un solido Ω il flusso uscente da ∂Ω è ∭ div F; nel piano ∬ div F = ∮ F·n ds. Teorema del rotore (Stokes): ∬ rot F·n dσ = ∮ F·T ds sul bordo orientato; su una superficie chiusa il flusso del rotore è 0. Da div rot F = 0 vengono i campi solenoidali e il potenziale vettore.Flusso, teorema della divergenza e teorema del rotore →.

Testo

Calcolare il flusso del campo $\mathbf{F}(x,y,z)=(xy,\,xy,\,z)$ attraverso il grafico $S_1$ di $z=1-x^2-y^2$ nel semispazio $z\ge0$ (normale verso l'alto). Si può usare direttamente il teorema della divergenza? Calcolare poi il flusso uscente dalla superficie che delimita la regione compresa fra $z=1-x^2-y^2$ e il piano $z=0$, anche col teorema della divergenza.

Soluzione

Il flusso attraverso la calotta $S_1$

$S_1$ è il grafico di $f=1-x^2-y^2$ sul disco $D=\{x^2+y^2\le1\}$. La normale verso l'alto è $\mathbf{N}=(2x,2y,1)$. Il campo sulla superficie è $(xy,xy,1-x^2-y^2)$ e $$\mathbf{F}\cdot\mathbf{N}=2x^2y+2xy^2+1-x^2-y^2 .$$ I primi due termini sono dispari rispettivamente in $y$ e in $x$ e il disco è simmetrico: integrale nullo. Rimane $$\Phi_{S_1}=\iint_D(1-x^2-y^2)\,dx\,dy=2\pi\int_0^1(1-\rho^2)\rho\,d\rho=2\pi\left(\tfrac12-\tfrac14\right)=\frac\pi2 .$$

Si può usare Gauss su $S_1$?

No, non direttamente: $S_1$ non è una superficie chiusa (ha come bordo la circonferenza $x^2+y^2=1$, $z=0$), quindi non racchiude un volume.

Il flusso uscente dal solido

Sia $V=\{x^2+y^2\le1,\ 0\le z\le1-x^2-y^2\}$, con $\partial V=S_1\cup B$, $B$ il disco di base nel piano $z=0$. Su $B$ la normale uscente è $-\mathbf{e}_3$, e il campo vale $(xy,xy,0)$, per cui $\mathbf{F}\cdot(-\mathbf{e}_3)=0$ e $\Phi_B=0$. Il flusso uscente da $\partial V$ è quindi $\Phi_{S_1}+\Phi_B=\dfrac\pi2$.

Con il teorema della divergenza. $\operatorname{div}\mathbf{F}=y+x+1$. Il solido è simmetrico per $x\to-x$ e $y\to-y$, quindi $\iiint_Vx=\iiint_Vy=0$ e $$\Phi=\iiint_V1\,dV=\iint_D(1-x^2-y^2)\,dx\,dy=\frac\pi2 .$$ Il valore coincide, e il calcolo è molto più rapido perché i termini lineari si annullano per simmetria.

Osservazione. Poiché il flusso attraverso la base è nullo, il flusso uscente dal solido coincide con quello attraverso la sola calotta: è il trucco "chiudo la superficie e sottraggo il flusso del pezzo aggiunto".