Esercizio - Trasformazione quadratica, determinante jacobiano e inversa (lezione 19)

Teoria: Funzioni a valori vettoriali, matrice jacobiana e trasformazioni di coordinateUna funzione f : A ⊆ Rⁿ → Rᵐ ha m componenti scalari f₁,…,f_m; il limite si fa componente per componente. È differenziabile in x₀ se f(x₀+h) − f(x₀) = Df(x₀)h + o(‖h‖), dove la matrice jacobiana Df(x₀) (m righe, n colonne) ha elemento (i,j) = ∂f_i/∂x_j: le righe sono i gradienti delle componenti. Se le componenti sono C¹ la f è differenziabile. Casi particolari: m = 1 (riga = gradiente), n = 1 (colonna = vettore tangente), f affine (Df = A). Regola della catena: D(g∘f)(x₀) = Dg(f(x₀))·Df(x₀). Trasformazioni di coordinate: polari (det = ρ), cilindriche (det = ρ), sferiche (det = ρ² sin φ); |det Df| è il fattore di variazione di aree o volumi.Funzioni a valori vettoriali, matrice jacobiana e trasformazioni di coordinate → e Cambiamento di variabili negli integrali doppi, integrali generalizzati e gaussianaCambiando coordinate (x,y) = T(u,v), con T diffeomorfismo C¹ tra D' e D, ∬D f(x,y)dxdy = ∬{D'} f(T(u,v)) |det DT(u,v)| dudv: il fattore |det DT| è la dilatazione locale delle aree (per le trasformazioni lineari è |det M|, dimostrato col prodotto vettoriale). Polari: x = x₀ + ρcosθ, y = y₀ + ρsinθ, dxdy = ρ dρdθ; area di un settore di corona ½(R₂² − R₁²)Δθ; disco x² + y² ≤ 2ax: ρ ≤ 2a cosθ. Coordinate ellittiche x = aρcosθ, y = bρsinθ, dxdy = abρ dρdθ (area dell'ellisse πab). Simmetrie: D simmetrico rispetto all'asse y, f dispari in x ⇒ ∬ = 0 (D), f pari ⇒ ∬ = 2∬_{x≥0}. Integrali generalizzati di f ≥ 0 continua su R²: limite su una successione invadente, indipendente dalla successione; gaussiana (D): ∬ e^{−(x²+y²)/2} = 2π, quindi ∫_R e^{−x²/2}dx = √(2π).Cambiamento di variabili negli integrali doppi, integrali generalizzati e gaussiana →. Fonte: esercizio nello stile delle lezioni 17 e 19 di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD.

Testo

Sia $\mathbf{T}(u,v) = (u^2 - v^2,\ 2uv)$, da $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$.

• (a) Calcolare $D\mathbf{T}$ e $\det D\mathbf{T}$; dire dove $\det D\mathbf{T} = 0$.
• (b) Calcolare il fattore di dilatazione delle aree in $(1,0)$ e in $(0,1)$.
• (c) Mostrare che $\mathbf{T}$ non è iniettiva su $\mathbb{R}^2$ ma lo è sul semipiano $\{v > 0\}$.
• (d) Calcolare l'area di $\mathbf{T}(E)$, dove $E = \{u^2 + v^2 \le 1,\ v > 0\}$.
• (e) Calcolare $\det D\mathbf{T}^{-1}$ nel punto $(x,y) = \mathbf{T}(u,v)$ con $v > 0$.

Soluzione

(a) Jacobiana

$$D\mathbf{T}(u,v) = \begin{pmatrix} 2u & -2v \\ 2v & 2u\end{pmatrix}, \qquad \det D\mathbf{T} = 4u^2 + 4v^2 = 4(u^2 + v^2).$$ Il determinante si annulla solo in $(0,0)$.

(b) Fattore di dilatazione delle aree

È $|\det D\mathbf{T}|$: in $(1,0)$ vale $4$ e in $(0,1)$ vale $4$. Un quadratino di lato piccolo $\varepsilon$ vicino a $(1,0)$ viene trasformato in un quadratino di area circa $4\varepsilon^2$ (infatti $D\mathbf{T}(1,0) = 2I$ è una dilatazione di fattore $2$ nelle due direzioni, con area moltiplicata per $4$).

(c) Iniettività

Si osserva che, con $z = u + iv$, $\mathbf{T}$ è il quadrato complesso $z^2 = (u^2 - v^2) + i\,2uv$. Se $\mathbf{T}(u,v) = \mathbf{T}(u',v')$ allora $z^2 = z'^2$, cioè $(z - z')(z + z') = 0$: $z' = z$ oppure $z' = -z$. Quindi $\mathbf{T}(u,v) = \mathbf{T}(-u,-v)$: per esempio $\mathbf{T}(1,0) = \mathbf{T}(-1,0) = (1,0)$, e $\mathbf{T}$ non è iniettiva su $\mathbb{R}^2$. Sul semipiano $\{v > 0\}$ i due punti $(u,v)$ e $(-u,-v)$ non possono essere entrambi presenti (uno ha $v > 0$, l'altro $v < 0$): $\mathbf{T}$ è iniettiva.

(In polari $\rho = |z|$, $\theta = \arg z$, la trasformazione manda $(\rho,\theta)$ in $(\rho^2, 2\theta)$: raddoppia gli angoli, perciò un semipiano $\theta \in (0,\pi)$ viene mandato su tutto il piano meno il semiasse positivo delle $x$.)

(d) Area dell'immagine

$E$ è il semidisco superiore aperto. Per il teorema del cambiamento di variabili (con $\mathbf{T}$ iniettiva, $C^1$ e $\det D\mathbf{T} \ne 0$ su $E$) l'area di $\mathbf{T}(E)$ è $$|\mathbf{T}(E)| = \iint_E |\det D\mathbf{T}|\,du\,dv = \iint_E 4(u^2 + v^2)\,du\,dv.$$ In polari $u = \rho\cos\theta$, $v = \rho\sin\theta$ con $\rho \in (0,1)$ e $\theta \in (0,\pi)$ (qui il fattore $\rho$ del cambio di variabili si aggiunge): $$|\mathbf{T}(E)| = \int_0^\pi d\theta\int_0^1 4\rho^2\cdot\rho\,d\rho = \pi\cdot 4\cdot\frac14 = \pi.$$ È coerente con la geometria: $\mathbf{T}(E)$ è il disco unitario privato del segmento $[0,1]\times\{0\}$ (che ha area nulla), di area $\pi$.

(e) Determinante dell'inversa

Poiché $\det D\mathbf{T}^{-1}(x,y) = \frac{1}{\det D\mathbf{T}(u,v)}$ con $(x,y) = \mathbf{T}(u,v)$, bisogna esprimere $u^2 + v^2$ con $x,y$. Da $x^2 + y^2 = (u^2 - v^2)^2 + 4u^2v^2 = (u^2 + v^2)^2$ si ha $u^2 + v^2 = \sqrt{x^2 + y^2}$. Quindi $$\det D\mathbf{T}^{-1}(x,y) = \frac{1}{4\sqrt{x^2 + y^2}}.$$

Errori tipici

• Dimenticare il valore assoluto del determinante nel fattore di dilatazione delle aree (qui è comunque positivo).
• Applicare il cambio di variabili senza controllare l'iniettività: su tutto il disco $\{u^2 + v^2 \le 1\}$ l'integrale di $|\det D\mathbf{T}|$ vale $2\pi$, il doppio dell'area dell'immagine, perché ogni punto dell'immagine viene contato due volte.