Esercizio - sistema lineare con parametro e problema di Cauchy (appello 13 luglio 2026)

Teoria: Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costantiUn sistema lineare y' = A(t)y + g(t) con coefficienti continui ha, per ogni dato iniziale, una e una sola soluzione, definita su tutto l'intervallo (D). Le soluzioni del sistema omogeneo formano uno spazio vettoriale di dimensione n (D); quelle del sistema completo sono una soluzione particolare più l'integrale omogeneo (D). Per y'' + by' + cy = 0 si cercano e^(λt): tre casi (D). Un sistema 2×2 a coefficienti costanti si riduce a u'' − (tr A)u' + (det A)u = g, risolta con il metodo di somiglianza.Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti → (punto b), Stabilità degli equilibri dei sistemi autonomi 2x2In un sistema autonomo y' = f(y) le soluzioni sono invarianti per traslazioni nel tempo (D) e le orbite nel piano delle fasi non si intersecano (D). Un equilibrio (f(P) = 0) è stabile se le soluzioni vicine restano vicine, asintoticamente stabile se inoltre convergono a P, instabile altrimenti. Per y' = Ay (2×2, det A ≠ 0) l'origine è asintoticamente stabile se e solo se entrambi gli autovalori hanno parte reale negativa, cioè tr A < 0 e det A > 0; i tipi sono nodo, sella, fuoco, centro.Stabilità degli equilibri dei sistemi autonomi 2x2 → (punto a).

Testo

Sia $\alpha\in\mathbb{R}$ e $$\begin{cases}x'=\alpha x+3y\\ y'=-3x+\alpha y.\end{cases}$$ (a) Trovare i punti di equilibrio e studiare la stabilità dell'origine al variare di $\alpha$. (b) Risolvere il problema di Cauchy con $x(0)=0$, $y(0)=-1$.

Soluzione

La matrice è $A=\begin{pmatrix}\alpha&3\\-3&\alpha\end{pmatrix}$, con $\operatorname{tr}A=2\alpha$ e $\det A=\alpha^2+9$.

(a) Equilibri e stabilità

Gli equilibri risolvono $A\mathbf{z}=\mathbf{0}$. Poiché $\det A=\alpha^2+9>0$ per ogni $\alpha$, $A$ è sempre invertibile: l'unico equilibrio è l'origine. L'equazione caratteristica è $\lambda^2-2\alpha\lambda+(\alpha^2+9)=0$ con discriminante ridotto $\alpha^2-(\alpha^2+9)=-9<0$: gli autovalori sono sempre complessi coniugati, $$\lambda=\alpha\pm3i .$$ La parte reale è $\alpha$, quindi (v. Stabilità degli equilibri dei sistemi autonomi 2x2In un sistema autonomo y' = f(y) le soluzioni sono invarianti per traslazioni nel tempo (D) e le orbite nel piano delle fasi non si intersecano (D). Un equilibrio (f(P) = 0) è stabile se le soluzioni vicine restano vicine, asintoticamente stabile se inoltre convergono a P, instabile altrimenti. Per y' = Ay (2×2, det A ≠ 0) l'origine è asintoticamente stabile se e solo se entrambi gli autovalori hanno parte reale negativa, cioè tr A < 0 e det A > 0; i tipi sono nodo, sella, fuoco, centro.Stabilità degli equilibri dei sistemi autonomi 2x2 →): se $\alpha<0$ l'origine è asintoticamente stabile (fuoco stabile); se $\alpha=0$ è stabile ma non asintoticamente (centro); se $\alpha>0$ è instabile (fuoco instabile).

(b) Il problema di Cauchy

Qui $a_{12}=3\ne0$ e $g=0$: si usa la riduzione al secondo ordine per $x$: $$x''-2\alpha x'+(\alpha^2+9)x=0,$$ che si può anche ottenere direttamente: $w:=x'=\alpha x+3y$, quindi $y=\frac{w-\alpha x}{3}$, e $x''=\alpha x'+3y'=\alpha w+3(-3x+\alpha y)=2\alpha w-(\alpha^2+9)x$.

Radici $\lambda=\alpha\pm3i$, integrale generale $x(t)=e^{\alpha t}(c_1\cos3t+c_2\sin3t)$.

Condizioni iniziali. $x(0)=c_1=0$, quindi $x(t)=c_2e^{\alpha t}\sin3t$.

Ricavo di $y$. Da $y=\frac{x'-\alpha x}3$: $x'=c_2e^{\alpha t}(\alpha\sin3t+3\cos3t)$, quindi $x'-\alpha x=3c_2e^{\alpha t}\cos3t$ e $y(t)=c_2e^{\alpha t}\cos3t$.

Seconda condizione. $y(0)=c_2=-1$. La soluzione è $$x(t)=-e^{\alpha t}\sin3t,\qquad y(t)=-e^{\alpha t}\cos3t .$$ Controllo. $x'=-\alpha e^{\alpha t}\sin3t-3e^{\alpha t}\cos3t$ e $\alpha x+3y=-\alpha e^{\alpha t}\sin3t-3e^{\alpha t}\cos3t$: coincidono; analogamente $y'=-\alpha e^{\alpha t}\cos3t+3e^{\alpha t}\sin3t=-3x+\alpha y$. Il punto $(x,y)$ ruota (con $\|(x,y)\|=e^{\alpha t}$) in senso orario: spirale che si avvicina all'origine se $\alpha<0$, cerchio per $\alpha=0$, spirale che si allontana se $\alpha>0$.