Esercizio - Distanza minima da una curva con punto singolare (esercizio 19)

Teoria: Estremi vincolati - metodo diretto e moltiplicatori di LagrangeEstremi vincolati = estremi di f ristretta a una curva g(x,y) = b o a un insieme chiuso K. Metodo diretto: si parametrizza il vincolo, r(t) = (x(t), y(t)), e si studia φ(t) = f(r(t)) con l'Analisi 1 (non dimenticare gli estremi dell'intervallo). Moltiplicatori di Lagrange (D): se P è estremo locale di f|Γ e ∇g(P) ≠ 0 allora ∇f(P) = λ∇g(P); equivale a ∇L = 0 per L = f + λ(b − g). Procedura: punti singolari del vincolo (∇g = 0), punti critici vincolati, confronto dei valori (Weierstrass se Γ è compatto). Estremi assoluti su un insieme chiuso K: interno (∇f = 0), frontiera (Lagrange o parametrizzazione, più i vertici), confronto; se K è illimitato si usa la coercività della funzione all'infinito.Estremi vincolati - metodo diretto e moltiplicatori di Lagrange → (punti singolari del vincolo). Fonte: raccolta di esercizi di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD 2025-26, esercizio 19.

Testo

Trovare la minima distanza del punto $(0,0)$ dall'insieme $$\Gamma = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : (x-1)^3 - y^2 = 0\}.$$

Soluzione

Impostazione. Minimizzare la distanza $\sqrt{x^2 + y^2}$ equivale a minimizzare il suo quadrato $$f(x,y) = x^2 + y^2$$ sotto il vincolo $g(x,y) = (x-1)^3 - y^2 = 0$. Da $y^2 = (x-1)^3 \ge 0$ segue $x \ge 1$: $\Gamma$ è una curva che parte da $(1,0)$ e si apre verso destra (la curva $y = \pm(x-1)^{3/2}$, una cuspide in $(1,0)$).

Esistenza del minimo. $\Gamma$ è chiuso (zero di una funzione continua) ma illimitato. Su $\Gamma$ si ha $\|(x,y)\| \to \infty$ solo se $x \to +\infty$, e allora $f = x^2 + y^2 \ge x^2 \to +\infty$: $f$ è coerciva su $\Gamma$ e il minimo esiste (Weierstrass generalizzato).

Punti singolari del vincolo. $\nabla g = \big(3(x-1)^2,\ -2y\big)$ si annulla se $x = 1$ e $y = 0$. Il punto $(1,0)$ appartiene a $\Gamma$ ($g(1,0) = 0$): è l'unico punto singolare e il teorema dei moltiplicatori non si applica lì. Va messo fra i candidati con $f(1,0) = 1$.

Punti critici vincolati (con $\nabla g \ne \mathbf{0}$). Parallelismo di $\nabla f = (2x, 2y)$ e $\nabla g$: $$f_x g_y - f_y g_x = 2x(-2y) - 2y\cdot 3(x-1)^2 = -2y\,\big[2x + 3(x-1)^2\big] = 0.$$

• $y = 0$: dal vincolo $(x-1)^3 = 0$, cioè $x = 1$: è proprio il punto singolare, da escludere dai punti regolari.
• $2x + 3(x-1)^2 = 0$, cioè $3x^2 - 4x + 3 = 0$: discriminante $16 - 36 < 0$, nessuna soluzione reale.

Non ci sono punti critici vincolati regolari. L'unico candidato è il punto singolare, e per l'esistenza del minimo è lui: $$\min_\Gamma f = f(1,0) = 1 \quad \Longrightarrow \quad \text{distanza minima} = 1.$$

Verifica diretta (metodo diretto). Su $\Gamma$, $y^2 = (x-1)^3$, quindi $f = x^2 + (x-1)^3 =: h(x)$ con $x \ge 1$. La derivata è $h'(x) = 2x + 3(x-1)^2 > 0$ per $x \ge 1$: $h$ è strettamente crescente e il minimo è in $x = 1$, $h(1) = 1$ ✓. Non esiste massimo (la distanza cresce senza limite).

Errori tipici

• Applicare soltanto Lagrange: il sistema non ha soluzioni (o ne dà una errata) e si conclude "non esiste minimo", mentre il minimo c'è ed è nel punto singolare.
• Scartare il punto $(1,0)$ perché "ha gradiente nullo": per $g$ il gradiente nullo è la ragione per cui va inserito a mano nell'elenco.