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Note per Studenti Esercizio - stabilità e problema di Cauchy al variare di un parametro (ricevimento, appello 8 luglio 2025)

Esercizio - stabilità e problema di Cauchy al variare di un parametro (ricevimento, appello 8 luglio 2025)

Esame

Teoria: Stabilità degli equilibri dei sistemi autonomi 2x2In un sistema autonomo y' = f(y) le soluzioni sono invarianti per traslazioni nel tempo (D) e le orbite nel piano delle fasi non si intersecano (D). Un equilibrio (f(P) = 0) è stabile se le soluzioni vicine restano vicine, asintoticamente stabile se inoltre convergono a P, instabile altrimenti. Per y' = Ay (2×2, det A ≠ 0) l'origine è asintoticamente stabile se e solo se entrambi gli autovalori hanno parte reale negativa, cioè tr A < 0 e det A > 0; i tipi sono nodo, sella, fuoco, centro.Stabilità degli equilibri dei sistemi autonomi 2x2 →, Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costantiUn sistema lineare y' = A(t)y + g(t) con coefficienti continui ha, per ogni dato iniziale, una e una sola soluzione, definita su tutto l'intervallo (D). Le soluzioni del sistema omogeneo formano uno spazio vettoriale di dimensione n (D); quelle del sistema completo sono una soluzione particolare più l'integrale omogeneo (D). Per y'' + by' + cy = 0 si cercano e^(λt): tre casi (D). Un sistema 2×2 a coefficienti costanti si riduce a u'' − (tr A)u' + (det A)u = g, risolta con il metodo di somiglianza.Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti →.

Testo

Sia α∈R\alpha\in\mathbb{R} e {x′=−2x+αyy′=3x+y.\begin{cases}x'=-2x+\alpha y\\ y'=3x+y.\end{cases} (a) Trovare i punti di equilibrio e dire per quali α\alpha l'origine è asintoticamente stabile. (b) Per α=−23\alpha=-\tfrac23 risolvere il problema di Cauchy con (i) x(0)=−13x(0)=-\tfrac13 (e y(0)y(0) tale da stare sulla retta di equilibri); (ii) x(0)=y(0)=1x(0)=y(0)=1.

Soluzione

La matrice è A=(−2α31)A=\begin{pmatrix}-2&\alpha\\3&1\end{pmatrix} con τ=−1\tau=-1 e d=−2−3αd=-2-3\alpha.

(a) Equilibri e stabilità

Il determinante d=−2−3αd=-2-3\alpha si annulla per α=−23\alpha=-\tfrac23.

  • Se α≠−23\alpha\ne-\tfrac23: unico equilibrio, l'origine.
  • Se α=−23\alpha=-\tfrac23: le equazioni sono −2x−23y=0-2x-\tfrac23y=0 e 3x+y=03x+y=0, proporzionali (la prima è −23-\tfrac23 volte la seconda); gli equilibri formano la retta y=−3xy=-3x, cioè {(−13y,y)}\{(-\tfrac13y,y)\}. Poiché ci sono equilibri non nulli arbitrariamente vicini all'origine, che restano fermi, l'origine non è asintoticamente stabile.

Per α≠−23\alpha\ne-\tfrac23: τ=−1<0\tau=-1<0 sempre; l'origine è asintoticamente stabile se e solo se d>0d>0, cioè −2−3α>0-2-3\alpha>0, α<−23\alpha<-\tfrac23. Verifica con gli autovalori. Δ=1−4d=1+8+12α=9+12α\Delta=1-4d=1+8+12\alpha=9+12\alpha.

  • Δ≤0\Delta\le0 (α≤−34\alpha\le-\tfrac34): Re⁡λ=−12<0\operatorname{Re}\lambda=-\tfrac12<0 (complessi, o reali coincidenti −12-\tfrac12): asintoticamente stabile.
  • Δ>0\Delta>0 (α>−34\alpha>-\tfrac34): λ=−1±9+12α2\lambda=\frac{-1\pm\sqrt{9+12\alpha}}2; il minore è negativo, il maggiore è negativo se 9+12α<1\sqrt{9+12\alpha}<1, cioè α<−23\alpha<-\tfrac23.

Unendo: asintoticamente stabile se e solo se α<−23\alpha<-\tfrac23. (Per α>−23\alpha>-\tfrac23, d<0d<0: sella, instabile.)

(b) α=−23\alpha=-\tfrac23

Il sistema è x′=−2x−23yx'=-2x-\tfrac23y, y′=3x+yy'=3x+y.

(i) Dato x(0)=−13x(0)=-\tfrac13 su una retta di equilibri. Il dato iniziale completo deve stare sulla retta di equilibri: da 3x+y=03x+y=0, y(0)=1y(0)=1. Poiché (−13,1)(-\tfrac13,1) è un equilibrio, la soluzione è costante: (x(t),y(t))=(−13,1)(x(t),y(t))=(-\tfrac13,1) per ogni tt.

(ii) Dato x(0)=y(0)=1x(0)=y(0)=1. Si pone w=x′=−2x−23yw=x'=-2x-\tfrac23y, da cui y=−3x−32wy=-3x-\tfrac32w. Derivando ww e usando y′=3x+yy'=3x+y: w′=−2w−23(3x+y)=−2w−2x−23y=−2w+w=−w,w'=-2w-\tfrac23(3x+y)=-2w-2x-\tfrac23y=-2w+w=-w, perché −2x−23y=w-2x-\tfrac23y=w. Quindi w′=−ww'=-w, w=w0e−tw=w_0e^{-t}, con w0=w(0)=−2−23=−83w_0=w(0)=-2-\tfrac23=-\tfrac83. Ora x′=wx'=w dà, integrando da 00 a tt, x(t)=x(0)+∫0tw(s) ds=1+∫0t(−83e−s)ds=1+83(e−t−1)x(t)=x(0)+\int_0^tw(s)\,ds=1+\int_0^t\left(-\tfrac83e^{-s}\right)ds=1+\tfrac83(e^{-t}-1): x(t)=−53+83e−t.x(t)=-\tfrac53+\tfrac83e^{-t}. Allora y=−3x−32w=5−8e−t+4e−t=5−4e−ty=-3x-\tfrac32w=5-8e^{-t}+4e^{-t}=5-4e^{-t}. Controlli: y(0)=1y(0)=1 ✓; y′=4e−t=3x+y=−5+8e−t+5−4e−ty'=4e^{-t}=3x+y=-5+8e^{-t}+5-4e^{-t} ✓. x(t)=−53+83e−t,y(t)=5−4e−t\boxed{x(t)=-\tfrac53+\tfrac83e^{-t},\qquad y(t)=5-4e^{-t}} Per t→+∞t\to+\infty la soluzione tende a (−53,5)\left(-\tfrac53,5\right), che soddisfa 3x+y=03x+y=0: è un equilibrio sulla retta (coerente con la proprietà che i limiti sono equilibri). L'orbita è il segmento che va da (1,1)(1,1) a (−53,5)\left(-\tfrac53,5\right).

Grafico interattivo: α = −2/3: la retta di equilibri y = −3x e l'orbita da (1,1) che vi converge in (−5/3, 5)

Versione ripasso

Testo. x′=−2x+αyx'=-2x+\alpha y, y′=3x+yy'=3x+y: (a) equilibri e stabilità asintotica; (b) α=−23\alpha=-\frac23: Cauchy con x(0)=−13x(0)=-\frac13 (equilibrio) e con x(0)=y(0)=1x(0)=y(0)=1.

Passaggi (Stabilità degli equilibri dei sistemi autonomi 2x2In un sistema autonomo y' = f(y) le soluzioni sono invarianti per traslazioni nel tempo (D) e le orbite nel piano delle fasi non si intersecano (D). Un equilibrio (f(P) = 0) è stabile se le soluzioni vicine restano vicine, asintoticamente stabile se inoltre convergono a P, instabile altrimenti. Per y' = Ay (2×2, det A ≠ 0) l'origine è asintoticamente stabile se e solo se entrambi gli autovalori hanno parte reale negativa, cioè tr A < 0 e det A > 0; i tipi sono nodo, sella, fuoco, centro.Stabilità degli equilibri dei sistemi autonomi 2x2 →).

  • (a) τ=−1\tau=-1, d=−2−3αd=-2-3\alpha; α=−23\alpha=-\frac23: retta di equilibri y=−3xy=-3x, non as. stabile. as. stabile   ⟺  d>0  ⟺  α<−23\iff d>0\iff\alpha<-\frac23 (controllo con Δ=9+12α\Delta=9+12\alpha).
  • (b i) (x(0),y(0))=(−13,1)(x(0),y(0))=(-\frac13,1) è un equilibrio: soluzione costante.
  • (b ii) w=x′w=x', y=−3x−32wy=-3x-\frac32w, w′=−ww'=-w, w(0)=−83w(0)=-\frac83: x=−53+83e−tx=-\frac53+\frac83e^{-t}, y=5−4e−ty=5-4e^{-t}; limite (−53,5)(-\frac53,5) equilibrio.

Errori tipici. Studiare la stabilità senza escludere d=0d=0; dimenticare che un dato su una retta di equilibri dà una soluzione costante.

Teoria collegata