Funzioni di più variabili, limiti e continuità

Prerequisiti: Limiti di funzioni - definizioneIntorni, punti di accumulazione e la definizione di limite di una funzione con gli intorni, tradotta con ε, δ, N, M in tutti i casi; limite destro e sinistro, per eccesso e per difetto, "definitivamente".Limiti di funzioni - definizione →, Funzioni continuef è continua in x0 (punto del dominio) se il limite in x0 esiste ed è f(x0); somme, prodotti e quozienti di funzioni continue sono continue, e tutte le funzioni elementari sono continue nel loro dominio.Funzioni continue →, Teorema ponte tra limiti di funzioni e successionilim f(x) = ℓ per x → x0 se e solo se f(x_n) → ℓ per ogni successione x_n del dominio, diversa da x0, che tende a x0. Permette di trasportare i teoremi sulle successioni alle funzioni e di dimostrare che un limite non esiste.Teorema ponte tra limiti di funzioni e successioni →, Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettorialiUna curva è una funzione continua r : [a,b] → R^m; il sostegno è la sua immagine. Limiti, continuità e derivate si fanno componente per componente. La curva è regolare se r è C^1 e r'(t) ≠ 0 ovunque: allora r'(t) è il vettore tangente e la retta tangente è r(t0) + λ r'(t0). Esempi: circonferenza, segmento, grafico (t, f(t)), curve polari (f(θ)cosθ, f(θ)sinθ) regolari se f' ≠ 0 dove f = 0, elica, cuspide (t²,t³). L'integrale di r si fa per componenti; vale ∫ r' = r(b) − r(a) e ‖∫ r‖ ≤ ∫ ‖r‖.Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettoriali → (per le coordinate polari e le restrizioni lungo curve).

1. Funzioni scalari di più variabili

Una funzione scalare di $n$ variabili è $f : A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, $\underline x = (x_1,\dots,x_n) \mapsto f(\underline x)$. Compare ovunque la grandezza dipende da più parametri: la temperatura $T(x,y)$ di una lamina, $T(x,y,t)$ se cambia nel tempo, $T(x,y,z,t)$ in atmosfera.

Definizione (dominio naturale). Se $f$ è data da una formula, il dominio naturaleil più grande insieme su cui la formula ha senso è il più grande insieme dove la formula ha senso: radici di indice pari con radicando $\ge 0$, logaritmi con argomento $>0$, denominatori $\ne 0$, $\arcsin$ e $\arccos$ con argomento in $[-1,1]$.

Esempio. $f(x,y) = \sqrt{xy}\,\log(x+y-1)$ richiede $xy \ge 0$ e $x+y-1>0$. La prima condizione descrive il primo e il terzo quadrante, bordi inclusi; la seconda il semipiano aperto sopra la retta $y = 1-x$. Nel terzo quadrante $x+y\le0$, quindi la seconda non vale mai: resta $$\operatorname{dom}f = \{x\ge0,\ y\ge0,\ x+y>1\}.$$ Gli assi non sono esclusi del tutto: per esempio $(2,0)$ è nel dominio ($xy=0\ge0$ e $2-1>0$). Invece il segmento da $(1,0)$ a $(0,1)$ è escluso, perché lì $x+y-1=0$ e il logaritmo vuole un argomento strettamente positivo.

Definizione (grafico, insiemi di livello). Il grafico è $\operatorname{graf}f = \{(\underline x, f(\underline x)) : \underline x\in A\}\subseteq\mathbb{R}^{n+1}$; per $n=2$ è una superficie $z = f(x,y)$. L'insieme di livello $c$ è $L_c = \{\underline x\in A : f(\underline x) = c\}$.

$L_c$ si ottiene tagliando il grafico con il piano orizzontale $z = c$ e proiettando sul piano $xy$ (le "isobare" e le "isoipse" delle carte geografiche).

Esempio 1. $f(x,y) = \sqrt{1-x^2-y^2}$ ha dominio il disco $x^2+y^2\le1$ e valori in $[0,1]$. Per $c<0$ o $c>1$, $L_c = \emptyset$; per $c = 1$, $L_1 = \{(0,0)\}$; per $0\le c<1$ si eleva al quadrato (lecito, entrambi i membri $\ge0$): $x^2+y^2 = 1-c^2$, circonferenza di raggio $\sqrt{1-c^2}$ (per $c=\frac12$, raggio $\frac{\sqrt3}2$). Il grafico è $z^2 = 1-x^2-y^2$, $z\ge0$: la semisfera superiore.

Esempio 2. $f(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2}$ su $\mathbb{R}^2\setminus\{\underline 0\}$: $L_c$ ($c>0$) è la circonferenza di raggio $1/\sqrt c$; il grafico è una "tromba" che sale a $+\infty$ verso l'asse $z$.

2. Intorni, successioni e punti di accumulazione

Si usa la distanza euclidea. L'intorno sferico (palla aperta) di centro $\underline x_0$ e raggio $r>0$ è $B_r(\underline x_0) = \{\underline x : |\underline x - \underline x_0| < r\}$: in $\mathbb{R}^2$ un disco aperto, in $\mathbb{R}^3$ una sfera piena aperta.

Una successione in $\mathbb{R}^n$ è $k\mapsto\underline x_k$; $\underline x_k\to\underline x_0$ se $|\underline x_k - \underline x_0|\to0$. Poiché $$|(\underline x_k - \underline x_0)_i| \le |\underline x_k - \underline x_0| \le \sum_{j=1}^n|(\underline x_k - \underline x_0)_j| ,$$ la successione converge se e solo se convergono tutte le componenti (confronto/carabinieri). Per esempio $\big(\frac1k,\frac1{k^2}\big)\to(0,0)$.

Definizione (punto di accumulazionepunto vicino al quale cadono infiniti punti dell'insieme). $\underline x_0\in\mathbb{R}^n$ è di accumulazione per $E\subseteq\mathbb{R}^n$ se ogni intorno di $\underline x_0$ contiene un punto di $E$ diverso da $\underline x_0$. Non è detto che $\underline x_0\in E$.

Un punto isolato di $E$ non è di accumulazione. Nel dominio $\{x \ne 0\}$ l'asse $y$ (che non fa parte del dominio) è fatto di punti di accumulazione.

3. Il limite

Sia $f : X\subseteq\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$, $\underline x_0$ di accumulazione per $X$, $L\in\mathbb{R}^* = \mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$.

Definizione (limite, tre forme equivalenti).

• Per successioni (Heine). $\lim_{\underline x\to\underline x_0}f = L$ se per ogni successione $\underline x_k\in X$, $\underline x_k\ne\underline x_0$, $\underline x_k\to\underline x_0$ si ha $f(\underline x_k)\to L$.
• Diretta, $L$ finito. $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ \underline x\in X,\ 0<|\underline x - \underline x_0|<\delta\Rightarrow|f(\underline x) - L|<\varepsilon$.
• Diretta, $L = +\infty$. $\forall K>0\ \exists\delta>0:\ 0<|\underline x - \underline x_0|<\delta\Rightarrow f(\underline x)>K$ (e simile per $-\infty$).

L'equivalenza è la stessa di Analisi 1 (Teorema ponte tra limiti di funzioni e successionilim f(x) = ℓ per x → x0 se e solo se f(x_n) → ℓ per ogni successione x_n del dominio, diversa da x0, che tende a x0. Permette di trasportare i teoremi sulle successioni alle funzioni e di dimostrare che un limite non esiste.Teorema ponte tra limiti di funzioni e successioni →). Geometricamente: sopra il disco forato di raggio $\delta$ il grafico sta nella fascia $L-\varepsilon<z<L+\varepsilon$.

Esempio ($\varepsilon$-$\delta$). $\lim_{\underline x\to\underline 0}|\underline x| = 0$: dato $\varepsilon$, basta $\delta=\varepsilon$ perché $|\,|\underline x|-0\,| = |\underline x|<\delta=\varepsilon$.

Esempio. $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac1{x^2+y^2}=+\infty$: dato $K>0$, $\frac{1}{x^2+y^2}>K\iff x^2+y^2<\frac1K\iff|\underline x|<\frac1{\sqrt K}$; si prende $\delta = 1/\sqrt K$.

Proprietà. Valgono come in una variabile: unicità del limite, limite di somma, prodotto, quoziente (con le forme indeterminate $\infty-\infty$, $0\cdot\infty$, $\frac00$, $\frac\infty\infty$), confronto (se $f\le g$ allora $\lim f\le\lim g$ quando i limiti esistono) e carabinieri: se $f\le g\le h$ vicino a $\underline x_0$ e $f,h\to L$, allora $g\to L$.

Teorema (permanenza del segno). Se $\lim_{\underline x\to\underline x_0}f = L>0$ (anche $+\infty$), allora esiste un intorno forato di $\underline x_0$ in cui $f>0$.

Dimostrazione. Per $L$ finito, si prende $\varepsilon = L/2$: esiste $\delta$ tale che $|\underline x - \underline x_0|<\delta$, $\underline x\ne\underline x_0$ implica $|f - L|<L/2$, cioè $f>L - L/2 = L/2>0$. Per $L=+\infty$ si prende $K = 1$. $\blacksquare$

4. Continuità

Definizione. Sia $\underline x_0\in X$ di accumulazione per $X$. $f$ è continua in $\underline x_0$ se $\lim_{\underline x\to\underline x_0}f(\underline x) = f(\underline x_0)$. In un punto isolato $f$ è continua per definizione. $C(X)$ è l'insieme delle funzioni continue in ogni punto di $X$.

Somma, prodotto e quoziente (con denominatore $\ne0$) di funzioni continue sono continue; lo è la composizione di continue (sia $\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$, sia $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\to\mathbb{R}$). Due fatti di base:

• le proiezioni $P_i(\underline x) = x_i$ sono continue (perché $|x_i - x_{0,i}|\le|\underline x - \underline x_0|$, basta $\delta=\varepsilon$); quindi i polinomi sono continui su tutto $\mathbb{R}^n$;
• la norma è continua, per la disuguaglianza triangolare inversa $\big||\underline x| - |\underline y|\big|\le|\underline x - \underline y|$ (da $|\underline x|\le|\underline x - \underline y|+|\underline y|$ e viceversa scambiando i ruoli).

Esempio. $f(x,y)=\dfrac{e^{x+y}}{\cos x + 2}$ è continua su $\mathbb{R}^2$: $x+y$ è somma di proiezioni, $e^{x+y}$ è composizione con l'esponenziale; $\cos x+2\ge1>0$ non si annulla mai, quindi il quoziente è continuo ovunque.

Esempio (funzione a tratti). $f(x,y) = 1$ se $x=y$ e $0$ altrimenti. Fuori dalla bisettrice, che è un insieme chiuso, $f$ è localmente costante $=0$: continua. Su un punto $(x_0,x_0)$ della bisettrice $f=1$, ma $f\big(x_0, x_0+\frac1k\big) = 0\to0\ne1$: discontinua. Per di più il limite in $(x_0,x_0)$ non esiste (lungo la bisettrice vale $1$, lungo l'asse $0$).

5. Come si calcolano i limiti

In una variabile ci si avvicina al punto da due sole direzioni; in due variabili ci si può avvicinare da infinite direzioni e lungo curve di ogni forma. Questo rende negare l'esistenza (basta una coppia di cammini con limiti diversi) più facile di dimostrarla (serve una stima valida per tutti i cammini).

5.1 Restrizioni a curve: per negare il limite

Proposizione. Se $\lim_{\underline x\to\underline x_0}f = L$ e $\underline\gamma : I\to X$ è una curva continua con $\underline\gamma(t_0) = \underline x_0$ e $\underline\gamma(t)\ne\underline x_0$ per $t\ne t_0$, allora $\lim_{t\to t_0}f(\underline\gamma(t)) = L$.

(Se $\underline\gamma(t_k)\to\underline x_0$ lungo una successione, la definizione di Heine dà $f(\underline\gamma(t_k))\to L$.) Quindi:

• se due curve danno limiti diversi, il limite non esiste;
• se una curva dà un limite $L$, $L$ è l'unico candidato limite (ma non si è dimostrato nulla).

Esempio (fascio di rette). $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ in $(0,0)$ è del tipo $\frac00$. Sulle rette $y=mx$: $f(t,mt)=\dfrac{mt^2}{t^2(1+m^2)} = \dfrac m{1+m^2}$, che dipende da $m$ ($\frac12$ per $m=1$, $-\frac12$ per $m=-1$, $0$ per $m=0$). Il limite non esiste.

Esempio (le rette non bastano). $f(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}$ lungo $y=mx$: $f = \dfrac{mx^3}{x^4+m^2x^2} = \dfrac{mx}{x^2+m^2}\to0$ per ogni $m$ (anche $m=0$ e l'asse $y$). Ma lungo la parabola $y=x^2$: $f(x,x^2) = \dfrac{x^4}{2x^4} = \frac12$. Quindi il limite non esiste. Morale: dopo le rette bisogna provare le parabole $y=ax^2$ (o $x = ay^2$), tenendo presente la combinazione $x^2\leftrightarrow y$ che rende omogenei i termini.

Attenzione ai limiti iterati. Calcolare prima $x\to0$ poi $y\to0$ (o viceversa) non dà il limite doppio. Per la funzione che vale $1$ sulla bisettrice e $0$ altrove, entrambi i limiti iterati valgono $0$, eppure il limite doppio non esiste. Le restrizioni su cammini veri (rette, parabole) sono l'unico strumento valido; i limiti iterati sono solo restrizioni "a gradini".

5.2 Maggiorazione radiale: per dimostrare il limite

Teorema (maggiorazione con funzione radiale). Sia $L\in\mathbb{R}$ e $g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ con $\lim_{\rho\to0^+}g(\rho)=0$. Se esiste $r>0$ tale che $$|f(\underline x) - L|\le g\big(|\underline x - \underline x_0|\big)\quad\text{per ogni }\underline x\in X,\ 0<|\underline x - \underline x_0|<r,$$ allora $\lim_{\underline x\to\underline x_0}f(\underline x) = L$.

Dimostrazione. Fissato $\varepsilon>0$, poiché $g(\rho)\to0$ esiste $\delta_0>0$ con $0<\rho<\delta_0\Rightarrow g(\rho)<\varepsilon$ (e $g\ge0$ perché maggiora un modulo). Con $\delta=\min\{\delta_0,r\}$ e $\rho=|\underline x - \underline x_0|<\delta$ si ha $|f(\underline x)-L|\le g(\rho)<\varepsilon$. $\blacksquare$

In $\mathbb{R}^2$ si usano le coordinate polari centrate nel punto $x=x_0+\rho\cos\theta$, $y=y_0+\rho\sin\theta$ (Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettorialiUna curva è una funzione continua r : [a,b] → R^m; il sostegno è la sua immagine. Limiti, continuità e derivate si fanno componente per componente. La curva è regolare se r è C^1 e r'(t) ≠ 0 ovunque: allora r'(t) è il vettore tangente e la retta tangente è r(t0) + λ r'(t0). Esempi: circonferenza, segmento, grafico (t, f(t)), curve polari (f(θ)cosθ, f(θ)sinθ) regolari se f' ≠ 0 dove f = 0, elica, cuspide (t²,t³). L'integrale di r si fa per componenti; vale ∫ r' = r(b) − r(a) e ‖∫ r‖ ≤ ∫ ‖r‖.Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettoriali →), con $\rho=|\underline x-\underline x_0|$. L'algoritmo:

1. Candidato $L$: restrizioni su rette (e parabole) o intuizione.
2. Polari: si scrive $\tilde f(\rho,\theta)=f(x_0+\rho\cos\theta,y_0+\rho\sin\theta)$.
3. Maggiorazione: si cerca $g(\rho)$ con $|\tilde f(\rho,\theta)-L|\le g(\rho)$ per ogni $\theta\in[0,2\pi)$ e $g\to0$. La stima non deve contenere $\theta$: si eliminano seno e coseno con $|\sin\theta|,|\cos\theta|\le1$.

Se la maggiorazione fallisce non si può concludere che il limite non esista: la maggiorazione è condizione sufficiente.

Esempio. $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y}{|\underline x|^{1/2}}$. Sulla parabola $y=x^2$ il numeratore è $0$: candidato $L=0$. In polari $$\tilde f(\rho,\theta)=\frac{\rho^2\cos^2\theta-\rho\sin\theta}{\rho^{1/2}}=\rho^{1/2}\big(\rho\cos^2\theta-\sin\theta\big),\quad|\tilde f|\le\rho^{1/2}(\rho+1)=:g(\rho)\to0 .$$ Il limite vale $0$.

Esempio con parametro. $f_\alpha(x,y)=\dfrac{xy}{|\underline x|^{\alpha}}$ in $\underline 0$. In polari $\tilde f=\rho^{2-\alpha}\cos\theta\sin\theta$ e $|\tilde f|\le\rho^{2-\alpha}$ (anzi $\le\frac12\rho^{2-\alpha}$). Se $\alpha<2$: $g(\rho)=\rho^{2-\alpha}\to0$, il limite è $0$. Se $\alpha=2$: $\tilde f=\cos\theta\sin\theta$ non dipende da $\rho$ ma da $\theta$ ($0$ sugli assi, $\frac12$ sulla bisettrice): il limite non esiste. Se $\alpha>2$: sulla bisettrice $\tilde f=\frac12\rho^{2-\alpha}\to+\infty$ mentre sugli assi vale $0$: non esiste.

Esempio (carabinieri). $f(x,y)=(x^2+y^2)^{1/3}\cos\frac1x$ è definita per $x\ne0$. Il dominio ha come punti di accumulazione tutto $\mathbb{R}^2$. In $(0,0)$: $|f|\le(x^2+y^2)^{1/3}\to0$, quindi il limite è $0$. In $(0,a)$ con $a\ne0$: lungo $x_n=\frac1{2\pi n}$ si ha $\cos=1$ e $f\to|a|^{2/3}$; lungo $z_n=\frac1{(2n+1)\pi}$ si ha $\cos=-1$ e $f\to-|a|^{2/3}$: il limite non esiste.

5.3 Limiti all'infinito

Per $E$ illimitato, $\lim_{|\underline x|\to+\infty}f=L$ significa $\forall\varepsilon\ \exists R:\ |\underline x|>R\Rightarrow|f-L|<\varepsilon$ (in $\mathbb{R}^n$, $n\ge2$, non ha senso "$-\infty$": la norma è $\ge0$). In $\mathbb{R}^2$ si usano le polari centrate nell'origine ($\rho\to+\infty$) e una maggiorazione $g(\rho)\to0$ indipendente da $\theta$.

Esempio. $\displaystyle\lim_{|\underline x|\to\infty}\frac{\arctan x}{x^2+y^2}$: $|\arctan(\rho\cos\theta)|<\frac\pi2$, quindi $|\tilde f|\le\frac{\pi}{2\rho^2}\to0$.

Esempio. $\dfrac1{(x^2+y^2)^\alpha}=\rho^{-2\alpha}$: per $\rho\to\infty$ vale $0$ se $\alpha>0$, $1$ se $\alpha=0$, $+\infty$ se $\alpha<0$.

Errori da evitare

• Concludere il limite da poche rette. Tutte le rette concordi non bastano ($\frac{x^2y}{x^4+y^2}$).
• Maggiorazione con $\theta$ dentro: $g$ deve dipendere solo da $\rho$; "$\rho\cos\theta$" non va lasciato.
• Limiti iterati scambiati con il limite doppio.
• Dimenticare il dominio: il limite si studia nei punti di accumulazione del dominio, non solo dentro.
• $\sqrt{xy}$ e simili: per $xy\ge0$ la radice esiste anche sugli assi; non escludere i bordi senza controllare.

Esercizi svolti

• Esercizio - domini naturali di funzioni di due e tre variabili (foglio 2)
• Esercizio - limiti in due variabili con restrizioni, polari e carabinieri (foglio 2 e lezioni 7-8)
• Esercizio - continuità con parametro di funzioni definite a tratti (esercizi 2025-26)
• Esercizio - continuità sugli assi di una funzione con seno (appello 5 luglio 2023)

Domande d'esame

1. Definire il limite di una funzione di più variabili (con $\varepsilon$-$\delta$ e con le successioni) e dire come si dimostra che un limite non esiste. Traccia: restrizione a due curve con limiti diversi (proposizione sulle curve); esempio $\frac{xy}{x^2+y^2}$.
2. Enunciare e dimostrare il teorema di permanenza del segno. Traccia: $\varepsilon=L/2$.
3. Enunciare il teorema di maggiorazione radiale e usarlo per un limite in $\mathbb{R}^2$. Traccia: $|f-L|\le g(|\underline x-\underline x_0|)$ con $g\to0$; polari e stima indipendente da $\theta$.