Esercizio - Volume di un cilindroide con arcotangente su un settore di corona (appello 31 gennaio 2023)

Teoria: Cambiamento di variabili negli integrali doppi, integrali generalizzati e gaussianaCambiando coordinate (x,y) = T(u,v), con T diffeomorfismo C¹ tra D' e D, ∬D f(x,y)dxdy = ∬{D'} f(T(u,v)) |det DT(u,v)| dudv: il fattore |det DT| è la dilatazione locale delle aree (per le trasformazioni lineari è |det M|, dimostrato col prodotto vettoriale). Polari: x = x₀ + ρcosθ, y = y₀ + ρsinθ, dxdy = ρ dρdθ; area di un settore di corona ½(R₂² − R₁²)Δθ; disco x² + y² ≤ 2ax: ρ ≤ 2a cosθ. Coordinate ellittiche x = aρcosθ, y = bρsinθ, dxdy = abρ dρdθ (area dell'ellisse πab). Simmetrie: D simmetrico rispetto all'asse y, f dispari in x ⇒ ∬ = 0 (D), f pari ⇒ ∬ = 2∬_{x≥0}. Integrali generalizzati di f ≥ 0 continua su R²: limite su una successione invadente, indipendente dalla successione; gaussiana (D): ∬ e^{−(x²+y²)/2} = 2π, quindi ∫_R e^{−x²/2}dx = √(2π).Cambiamento di variabili negli integrali doppi, integrali generalizzati e gaussiana → (coordinate polari). Fonte: corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD, primo appello 2023 (la parte sul flusso è omessa).

Testo

Sia $D = \{(x,y) : x\ge0,\ y\le0,\ 1\le x^2+y^2\le4\}$, un settore di corona circolare nel quarto quadrante, e sia $$\Omega = \left\{(x,y,z) : (x,y)\in D,\ 0\le z\le g(x,y)\right\},\qquad g(x,y) = \frac{-\arctan(y/x)}{\sqrt{1+x^2+y^2}}.$$

• (a) Calcolare il volume di $\Omega$.
• (b) Calcolare la quota $z_B$ del baricentro di $\Omega$ (solido omogeneo).

Soluzione

Il dominio e la quota

In $D$ si ha $x\ge0$ e $y\le0$; la funzione $g$ è definita per $x>0$ (sull'asse $y$, $x=0$, che ha area nulla, non conta). Poiché $\frac yx\le0$ e l'arcotangente è crescente con $\arctan0=0$, vale $\arctan\frac yx\le0$ e quindi $g\ge0$: la quota superiore è effettivamente sopra il piano $z=0$.

(a) Volume

Integrando prima rispetto a $z$ (per fili), $|\Omega| = \iint_D\left(\int_0^{g}dz\right)dx\,dy = \iint_Dg\,dx\,dy$. Il dominio è un settore di corona e $g$ contiene $\arctan\frac yx$ e $x^2+y^2$: conviene passare a coordinate polari $x=\rho\cos\theta$, $y=\rho\sin\theta$, $dx\,dy = \rho\,d\rho\,d\theta$.

• $\frac yx = \tan\theta$, e per $\theta\in\left(-\frac\pi2,0\right)$ si ha $\arctan(\tan\theta) = \theta$. (Se si descrivesse il quarto quadrante con $\theta\in\left[\frac{3\pi}2,2\pi\right]$ bisognerebbe usare $\arctan(\tan\theta)=\theta-2\pi$: meglio scegliere l'intervallo $\left[-\frac\pi2,0\right]$.)
• $D' = \{1\le\rho\le2,\ -\frac\pi2\le\theta\le0\}$, un rettangolo.
• $g = \dfrac{-\theta}{\sqrt{1+\rho^2}}$.

L'integrale si fattorizza (funzione di $\theta$ per funzione di $\rho$, su un rettangolo): $$|\Omega| = \int_{-\pi/2}^0(-\theta)\,d\theta\cdot\int_1^2\frac{\rho}{\sqrt{1+\rho^2}}\,d\rho.$$

• $\displaystyle\int_{-\pi/2}^0(-\theta)\,d\theta = \left[-\frac{\theta^2}2\right]_{-\pi/2}^0 = \frac{\pi^2}8$.
• $\displaystyle\int_1^2\frac{\rho}{\sqrt{1+\rho^2}}d\rho = \Big[\sqrt{1+\rho^2}\Big]_1^2 = \sqrt5-\sqrt2$ (la derivata di $\sqrt{1+\rho^2}$ è $\frac{\rho}{\sqrt{1+\rho^2}}$).

$$|\Omega| = \frac{\pi^2}8\left(\sqrt5-\sqrt2\right)\approx1{,}014.$$

(b) Quota del baricentro

$z_B = \frac{1}{|\Omega|}\iiint_\Omega z\,dx\,dy\,dz$. Integrando in $z$ da $0$ a $g$: $\int_0^gz\,dz = \frac{g^2}2$, quindi $$\iiint_\Omega z = \frac12\iint_Dg^2 = \frac12\iint_D\frac{\theta^2}{1+\rho^2}\rho\,d\rho\,d\theta = \frac12\int_{-\pi/2}^0\theta^2d\theta\int_1^2\frac{\rho}{1+\rho^2}d\rho.$$

• $\int_{-\pi/2}^0\theta^2d\theta = \frac13\cdot\frac{\pi^3}8 = \frac{\pi^3}{24}$.
• $\int_1^2\frac{\rho}{1+\rho^2}d\rho = \frac12\ln(1+\rho^2)\Big|_1^2 = \frac12\ln\frac52$.

Quindi $\iiint_\Omega z = \frac12\cdot\frac{\pi^3}{24}\cdot\frac12\ln\frac52 = \frac{\pi^3}{96}\ln\frac52\approx0{,}296$ e $$z_B = \frac{\frac{\pi^3}{96}\ln\frac52}{\frac{\pi^2}8(\sqrt5-\sqrt2)} = \frac{\pi}{12}\,\frac{\ln(5/2)}{\sqrt5-\sqrt2}\approx0{,}292.$$ (Il valore è plausibile: la quota massima di $g$ è $\frac{\pi/2}{\sqrt2}\approx1{,}11$ nel punto $(0,-1)$, e la maggior parte del volume sta a quote basse.)

Errori tipici

• Scrivere $\arctan(y/x)=\theta$ senza controllare l'intervallo in cui varia $\theta$.
• Dimenticare il fattore $\rho$ dell'elemento d'area.
• In (b), integrare $z$ invece di $z\cdot1$ in $\int_0^g$: serve $\frac{g^2}2$.