Esercizio - continuità sugli assi di una funzione con seno (appello 5 luglio 2023)

Teoria: Funzioni di più variabili, limiti e continuitàUna funzione scalare di n variabili f : A ⊆ R^n → R ha dominio naturale (dove la formula ha senso), grafico (superficie in R^{n+1}) e insiemi di livello {f = c}. Il limite in x0 (punto di accumulazione) si definisce con ε-δ o con le successioni (Heine); per negare l'esistenza si confrontano restrizioni a curve diverse (rette, parabole), per dimostrarla si maggiora |f − L| con g(ρ) → 0 indipendente da θ (coordinate polari) o si usano i due carabinieri. f è continua in x0 se lim = f(x0). I limiti iterati non bastano.Funzioni di più variabili, limiti e continuità →. Il seguito dell'esercizio (derivate parziali, derivata direzionale, differenziabilità) è in Esercizio - derivabilità e differenziabilità nell'origine con parametro (esercizi 2025-26) e in Esercizio - gradiente, derivata direzionale e differenziabilità di una funzione con seno (appello 5 luglio 2023).

Testo. Sia $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, $$f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{\sin(x^2y)}{xy}&\text{se }xy\ne0\\[2mm]0&\text{se }xy=0.\end{cases}$$ Studiare la continuità di $f$ in $\mathbb{R}^2$.

(Fonte: appello del 5 luglio 2023, corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD, risolto a ricevimento.)

Soluzione

Fuori dagli assi ($xy\ne0$) $f$ è quoziente di funzioni continue con denominatore non nullo: continua.

Sugli assi il valore assegnato è $0$ e bisogna confrontarlo con il limite. L'idea: vicino all'asse $x^2y\to0$, quindi $\sin(x^2y)\sim x^2y$ (Limiti notevoli di funzioniI limiti notevoli per le forme 0/0 (log(1+x)/x, (e^x − 1)/x, ((1+x)^α − 1)/x, sin x/x, (1 − cos x)/x², arctan x/x...) con le dimostrazioni, e la loro forma come asintoticità: log(1+f) ~ f, e^f − 1 ~ f, sin f ~ f, 1 − cos f ~ f²/2 quando f → 0.Limiti notevoli di funzioni →) e $$f(x,y)\sim\frac{x^2y}{xy}=x\qquad(xy\ne0).$$ Questa è la chiave: sulla frazione "semplificata" $f\approx x$, che non dipende da dove ci si avvicina all'asse, ma dipende dal valore di $x$.

• Punti $(0,y_0)$ dell'asse $y$, con $y_0\ne0$: quando $(x,y)\to(0,y_0)$, $x^2y\to0\cdot y_0=0$ e $f\sim x\to0=f(0,y_0)$. Continua. (Per $y_0\ne0$ si semplifica $y$, che tende a $y_0\ne0$.)
• Punti $(x_0,0)$ con $x_0\ne0$: $x^2y\to0$ e $f\sim x\to x_0$. Ma $f(x_0,0)=0\ne x_0$. Discontinua (discontinuità eliminabile: bastava definire $f(x_0,0)=x_0$).
• Origine: $f\sim x\to0=f(0,0)$. Continua. Rigorosamente: $|\sin t|\le|t|$ dà $|f|\le\frac{x^2|y|}{|x||y|}=|x|\to0$ per $xy\ne0$, e $f=0$ sugli assi.

Conclusione. $f$ è continua su tutto l'asse $y$ (origine inclusa) e fuori dagli assi, ed è discontinua nei punti $(x_0,0)$, $x_0\ne0$ dell'asse $x$: $$\{\text{punti di continuità}\}=\mathbb{R}^2\setminus\{(x,0):x\ne0\} .$$

Errori tipici. Dire "è continua perché è il quoziente di funzioni continue" ignorando che il denominatore si annulla sugli assi; confondere i due assi (l'asse $x$ è il problema: lì $y\to0$ ma $x$ rimane diverso da zero).