Esercizio - derivate miste diverse e teorema di Schwarz (lezione 11)

Teoria: Derivate seconde, teorema di Schwarz e formula di Taylor del secondo ordineLe derivate seconde f_{x_i x_j} = (f_{x_i}){x_j} formano la matrice hessiana H_f; se f è C² l'hessiana è simmetrica (teorema di Schwarz: le derivate miste, continue, non dipendono dall'ordine). Il differenziale secondo d²f(x0)(h) = h^T H_f(x0) h = Σ f{x_i x_j} h_i h_j è una forma quadratica. Formula di Taylor del secondo ordine con resto di Peano (D): f(x0 + h) = f(x0) + ∇f(x0)·h + ½ h^T H_f(x0) h + o(|h|²) per f ∈ C². Serve per i punti critici e per calcolare limiti.Derivate seconde, teorema di Schwarz e formula di Taylor del secondo ordine →.

Testo.

1. Sia $f(x,y)=\dfrac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}$ per $(x,y)\ne(0,0)$, $f(0,0)=0$. Calcolare $f_{xy}(0,0)$ e $f_{yx}(0,0)$ (con la convenzione $f_{xy}=(f_x)_y$). Che cosa dice il teorema di Schwarz?
2. Verificare il teorema di Schwarz per $g(x,y)=x^3y^2+\sin(xy)$.

(Fonte: controesempio classico al teorema di Schwarz, citato nella lezione 11 del corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD.)

Soluzione della parte 1

Derivate prime sugli assi. Si calcolano con il rapporto incrementale. Per $y$ fissato: $\dfrac{f(h,y)-f(0,y)}{h}=\dfrac{hy(h^2-y^2)}{h\,(h^2+y^2)}=\dfrac{y(h^2-y^2)}{h^2+y^2}$ (qui $f(0,y)=0$, anche per $y=0$). Per $h\to0$ tende a $\dfrac{y(-y^2)}{y^2}=-y$ (per $y\ne0$; per $y=0$ vale $0=-y$). Quindi $f_x(0,y)=-y$ per ogni $y$. Per $x$ fissato: $\dfrac{f(x,k)-f(x,0)}{k}=\dfrac{xk(x^2-k^2)}{k\,(x^2+k^2)}=\dfrac{x(x^2-k^2)}{x^2+k^2}\xrightarrow{k\to0}x$. Quindi $f_y(x,0)=x$ per ogni $x$.

Derivate miste nell'origine. $$f_{xy}(0,0)=\frac{\partial}{\partial y}f_x(0,y)\Big|_{y=0}=\frac{d}{dy}(-y)=-1,\qquad f_{yx}(0,0)=\frac{\partial}{\partial x}f_y(x,0)\Big|_{x=0}=\frac{d}{dx}(x)=+1 .$$ Le due derivate miste esistono ma sono diverse: $-1\ne+1$.

Commento. Il teorema di Schwarz richiede la continuità delle derivate miste in un intorno del punto, qui assente: per $(x,y)\ne(0,0)$ si trova $f_{xy}=f_{yx}=\dfrac{x^6+9x^4y^2-9x^2y^4-y^6}{(x^2+y^2)^3}$, che lungo l'asse $x$ vale $1$ e lungo l'asse $y$ vale $-1$: non ha limite nell'origine (non è continua). Quindi $f\notin C^2$ nell'origine e l'hessiana lì non è simmetrica. (È una funzione $C^1$ con derivate prime continue, come si verifica con una stima in polari, ma non $C^2$.)

Soluzione della parte 2

$g=x^3y^2+\sin(xy)$. Derivate prime: $g_x=3x^2y^2+y\cos(xy)$, $g_y=2x^3y+x\cos(xy)$. Seconde miste: $$g_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}g_x=6x^2y+\cos(xy)-xy\sin(xy),\qquad g_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}g_y=6x^2y+\cos(xy)-xy\sin(xy).$$ Sono uguali, come previsto: $g\in C^\infty(\mathbb{R}^2)$, quindi in particolare $C^2$, e per Schwarz l'hessiana è simmetrica. Le pure: $g_{xx}=6xy^2-y^2\sin(xy)$, $g_{yy}=2x^3-x^2\sin(xy)$.

Errori tipici. Scambiare le derivate miste "perché tanto sono uguali" senza controllare la continuità; calcolare le derivate prime sugli assi con le formule per $(x,y)\ne\underline0$ invece che con il rapporto incrementale (le formule per $(x,y)\ne\underline0$ non valgono sugli assi nel punto singolare).