Esercizio - continuità e differenziabilità nell'origine con un logaritmo (appello 13 luglio 2026)

Teoria: Derivate parziali, differenziabilità e piano tangenteLa derivata parziale f_{x_i}(x0) è la derivata di t ↦ f(x0 + t e_i); il gradiente ∇f raccoglie le derivate parziali. In più variabili l'esistenza delle derivate parziali NON implica la continuità. f è differenziabile in x0 se f(x0 + h) = f(x0) + a·h + o(|h|); allora f è continua, ha gradiente e a = ∇f(x0) (D). Il grafico ha piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) e normale (−f_x, −f_y, 1). Teorema del differenziale totale: se le derivate parziali esistono vicino a x0 e sono continue in x0, f è differenziabile; C^1 ⇒ differenziabile ⇒ derivabile e continua, ma i viceversa sono falsi. Regole: Leibniz, catena (f∘r)' = ∇f(r)·r'.Derivate parziali, differenziabilità e piano tangente →, Funzioni di più variabili, limiti e continuitàUna funzione scalare di n variabili f : A ⊆ R^n → R ha dominio naturale (dove la formula ha senso), grafico (superficie in R^{n+1}) e insiemi di livello {f = c}. Il limite in x0 (punto di accumulazione) si definisce con ε-δ o con le successioni (Heine); per negare l'esistenza si confrontano restrizioni a curve diverse (rette, parabole), per dimostrarla si maggiora |f − L| con g(ρ) → 0 indipendente da θ (coordinate polari) o si usano i due carabinieri. f è continua in x0 se lim = f(x0). I limiti iterati non bastano.Funzioni di più variabili, limiti e continuità →.

Testo. Sia $$f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x\,\log\!\big(1+(x^2+y^2)^{3/4}\big)}{\sqrt{x^2+y^2}}&(x,y)\ne(0,0)\\0&(x,y)=(0,0).\end{cases}$$ (a) Trovare i punti di continuità. (b) Calcolare le derivate parziali in $(0,0)$. (c) Dire se $f$ è differenziabile in $(0,0)$.

(Fonte: appello del 13 luglio 2026, corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD.)

Soluzione

Semplificazione in polari. Con $x=\rho\cos\theta$, $y=\rho\sin\theta$ si ha $(x^2+y^2)^{3/4}=\rho^{3/2}$ e $\sqrt{x^2+y^2}=\rho$: $$f=\frac{\rho\cos\theta\,\log(1+\rho^{3/2})}{\rho}=\cos\theta\,\log\big(1+\rho^{3/2}\big).$$

(a) Continuità. Fuori dall'origine $f$ è composta di funzioni continue (denominatore $\rho>0$). Nell'origine $$|f-0|=|\cos\theta|\log(1+\rho^{3/2})\le\log(1+\rho^{3/2})\xrightarrow{\rho\to0}\log1=0,$$ con maggiorante indipendente da $\theta$: $\lim f=0=f(0,0)$. $f$ è continua su tutto $\mathbb{R}^2$.

(b) Derivate parziali (rapporto incrementale: nell'origine le formule non valgono). Su $x=0$: $f(0,y)=0$, quindi $f_y(0,0)=0$. Su $y=0$: $f(h,0)=\frac{h\log(1+|h|^{3/2})}{|h|}$ e $$\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{\log(1+|h|^{3/2})}{|h|}\sim\frac{|h|^{3/2}}{|h|}=\sqrt{|h|}\xrightarrow{h\to0}0$$ (con $\log(1+t)\sim t$ per $t\to0$, $t=|h|^{3/2}$). Quindi $f_x(0,0)=0$ e $\nabla f(0,0)=(0,0)$.

(c) Differenziabilità. Con $\nabla f(0,0)=\underline0$ l'errore relativo è $$E=\frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=\frac{\cos\theta\,\log(1+\rho^{3/2})}{\rho},\qquad|E|\le\frac{\log(1+\rho^{3/2})}{\rho}\sim\rho^{1/2}\xrightarrow{\rho\to0}0$$ (maggiorante indipendente da $\theta$). Il limite dell'errore relativo è $0$: $f$ è differenziabile in $(0,0)$. Il piano tangente nell'origine è $z=0$.

Errori tipici. Lasciare $\sqrt{x^2+y^2}$ al denominatore senza passare in polari; dimenticare che $\log(1+t)\sim t$ vale solo per $t\to0$ (qui $t=\rho^{3/2}\to0$); confondere il limite dell'errore relativo con quello di $f$.