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Note per Studenti Esercizio - Estremi assoluti su una striscia illimitata (lezione 17)

Esercizio - Estremi assoluti su una striscia illimitata (lezione 17)

Esame
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Teoria: Estremi vincolati - metodo diretto e moltiplicatori di LagrangeEstremi vincolati = estremi di f ristretta a una curva g(x,y) = b o a un insieme chiuso K. Metodo diretto: si parametrizza il vincolo, r(t) = (x(t), y(t)), e si studia φ(t) = f(r(t)) con l'Analisi 1 (non dimenticare gli estremi dell'intervallo). Moltiplicatori di Lagrange (D): se P è estremo locale di f|Γ e ∇g(P) ≠ 0 allora ∇f(P) = λ∇g(P); equivale a ∇L = 0 per L = f + λ(b − g). Procedura: punti singolari del vincolo (∇g = 0), punti critici vincolati, confronto dei valori (Weierstrass se Γ è compatto). Estremi assoluti su un insieme chiuso K: interno (∇f = 0), frontiera (Lagrange o parametrizzazione, più i vertici), confronto; se K è illimitato si usa la coercività della funzione all'infinito.Estremi vincolati - metodo diretto e moltiplicatori di Lagrange → (insiemi illimitati) e Massimi e minimi liberi e natura dei punti criticiEstremo assoluto = vale in tutto il dominio, relativo = vale in un intorno; "libero" = il dominio è aperto. Fermat (D): in un punto interno di estremo locale dove f è derivabile, ∇f = 0 (punto critico); non basta (x³, −y³, sella x² − y²). Taylor al secondo ordine (D): con f in C² e ∇f(P) = 0, l'Hessiana definita positiva dà minimo locale stretto, definita negativa massimo locale stretto, indefinita sella; per n = 2: det H > 0 e f_xx > 0 minimo, det H > 0 e f_xx < 0 massimo, det H < 0 sella, det H = 0 non decide (x⁴ + y⁴, −x⁴ − y⁴, x⁴ − y⁴). Estremi globali: Weierstrass in un chiuso illimitato se f → +∞ (o −∞) all'infinito (D), da verificare in coordinate polari con una stima che non dipende dall'angolo.Massimi e minimi liberi e natura dei punti critici →. Fonte: tema d'esame discusso a lezione, corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD.

Testo

Determinare (1) i massimi e minimi relativi interni e (2) gli estremi assoluti della funzione f(x,y)=(x2−1)2−(y2−1)2f(x,y) = (x^2 - 1)^2 - (y^2 - 1)^2 nell'insieme S={(x,y)∈R2:−12≤x≤2}S = \left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : -\frac12 \le x \le 2\right\} (una striscia verticale).

Soluzione

1. Estremi relativi interni

L'interno di SS è S˚={−12<x<2}\mathring S = \{-\frac12 < x < 2\}. Le derivate sono fx=4x(x2−1),fy=−4y(y2−1).f_x = 4x(x^2 - 1), \qquad f_y = -4y(y^2 - 1).

  • fx=0  ⟺  x∈{0,1,−1}f_x = 0 \iff x \in \{0, 1, -1\}. Fra questi, x=−1x = -1 non sta in S˚\mathring S (è a sinistra di −12-\frac12): restano x=0x = 0 e x=1x = 1.
  • fy=0  ⟺  y∈{0,1,−1}f_y = 0 \iff y \in \{0, 1, -1\} (nessuna restrizione).

Punti critici interni: (0,0)(0,0), (0,±1)(0,\pm1), (1,0)(1,0), (1,±1)(1,\pm1) (sei punti). La hessiana è diagonale: H=(12x2−400−12y2+4).H = \begin{pmatrix} 12x^2 - 4 & 0 \\ 0 & -12y^2 + 4\end{pmatrix}.

punto autovalori 12x2−412x^2 - 4, −12y2+4-12y^2 + 4 natura ff
(0,0)(0,0) −4-4, 44 sella 00
(0,±1)(0,\pm1) −4-4, −8-8 massimi relativi 11
(1,0)(1,0) 88, 44 minimo relativo −1-1
(1,±1)(1,\pm1) 88, −8-8 selle 00

2. Estremi assoluti

SS è chiuso ma illimitato.

Minimo. Sulla retta x=1x = 1 (contenuta in SS): f(1,y)=−(y2−1)2→−∞f(1,y) = -(y^2 - 1)^2 \to -\infty per ∣y∣→∞|y| \to \infty. Quindi inf⁡Sf=−∞\inf_S f = -\infty e non esiste il minimo assoluto.

Massimo: esiste? Su SS si ha −12≤x≤2-\frac12 \le x \le 2, quindi −1≤x2−1≤3-1 \le x^2 - 1 \le 3 e (x2−1)2≤9(x^2 - 1)^2 \le 9. Allora f(x,y)≤9−(y2−1)2=:h(y)per ogni (x,y)∈S.f(x,y) \le 9 - (y^2 - 1)^2 =: h(y) \qquad \text{per ogni } (x,y) \in S. Se ∥(x,y)∥→∞\|(x,y)\| \to \infty rimanendo in SS, siccome xx è confinato in [−12,2][-\frac12, 2] deve essere ∣y∣→∞|y| \to \infty, e h(y)→−∞h(y) \to -\infty: per confronto f→−∞f \to -\infty all'infinito in SS. Per Weierstrass generalizzato esiste il massimo assoluto, e sta fra i candidati di interno e frontiera.

Candidati.

  • Interno: i massimi relativi (0,±1)(0,\pm1) con f=1f = 1.
  • Frontiera x=−12x = -\frac12: f(−12,y)=(14−1)2−(y2−1)2=916−(y2−1)2f\left(-\frac12, y\right) = \left(\frac14 - 1\right)^2 - (y^2 - 1)^2 = \frac9{16} - (y^2 - 1)^2. La derivata in yy è −4y(y2−1)-4y(y^2 - 1), nulla in y=0,±1y = 0, \pm1. Valori: y=0y = 0: 916−1=−716\frac9{16} - 1 = -\frac7{16} (minimo locale); y=±1y = \pm1: 916\frac9{16} (massimi).
  • Frontiera x=2x = 2: f(2,y)=9−(y2−1)2f(2,y) = 9 - (y^2 - 1)^2. Valori: y=0y = 0: 88; y=±1y = \pm1: 99 (massimi).

Confronto: 11, 916\frac9{16}, 99. Quindi max⁡Sf=9  in (2,1) e (2,−1),non esiste il minimo.\max_S f = 9 \ \text{ in } (2, 1) \text{ e } (2, -1), \qquad \text{non esiste il minimo.}

Grafico interattivo: La striscia S = {−1/2 ≤ x ≤ 2}, illimitata in y. I massimi locali interni (0, ±1) valgono 1; il massimo assoluto 9 è assunto sul bordo destro in (2, ±1). Il punto x = −1 (escluso) non è in S

Errori tipici

  • Includere nei punti critici interni x=−1x = -1, che è fuori da SS.
  • Applicare Weierstrass classico a SS (illimitato) senza verificare la condizione f→−∞f \to -\infty all'infinito.
  • Confrontare solo i candidati interni e dimenticare che il massimo 99 sta sulla frontiera.

Versione ripasso

Testo. f=(x2−1)2−(y2−1)2f = (x^2 - 1)^2 - (y^2 - 1)^2 su S={−12≤x≤2}S = \{-\frac12 \le x \le 2\}: estremi relativi interni e assoluti.

Soluzione.

  • fx=4x(x2−1)f_x = 4x(x^2 - 1), fy=−4y(y2−1)f_y = -4y(y^2 - 1); x∈{0,1}x \in \{0, 1\} (x=−1∉S˚x = -1 \notin \mathring S), y∈{0,±1}y \in \{0, \pm1\}. H=diag⁡(12x2−4,4−12y2)H = \operatorname{diag}(12x^2 - 4, 4 - 12y^2): (0,0)(0,0) sella; (0,±1)(0,\pm1) massimi (f=1f = 1); (1,0)(1,0) minimo (f=−1f = -1); (1,±1)(1,\pm1) selle.
  • f(1,y)→−∞f(1,y) \to -\infty: nessun minimo. f≤9−(y2−1)2→−∞f \le 9 - (y^2 - 1)^2 \to -\infty (∣y∣→∞|y| \to \infty in SS): il massimo esiste.
  • Bordo x=−12x = -\frac12: max 916\frac9{16} in y=±1y = \pm1. Bordo x=2x = 2: max 99 in y=±1y = \pm1.
  • max⁡=9\max = 9 in (2,±1)(2, \pm1).

Errori: includere x=−1x = -1; Weierstrass senza controllo all'infinito.

Passaggi. Valori: f(0,0)=0f(0,0) = 0, f(0,±1)=1f(0,\pm1) = 1, f(1,0)=−1f(1,0) = -1, f(1,±1)=0f(1,\pm1) = 0. Bordo sinistro: g(y)=916−(y2−1)2g(y) = \frac9{16} - (y^2 - 1)^2, g(0)=−716g(0) = -\frac7{16}, g(±1)=916g(\pm1) = \frac9{16}. Bordo destro: h(y)=9−(y2−1)2h(y) = 9 - (y^2 - 1)^2, h(0)=8h(0) = 8, h(±1)=9h(\pm1) = 9. Maggiorazione: −12≤x≤2⇒(x2−1)2≤9-\frac12\le x\le2 \Rightarrow (x^2 - 1)^2\le9.

Teoria collegata