Esercizio - lunghezza della cardioide e del grafico del logaritmo (esercizi 2025-26)

Teoria: Lunghezza di una curva e ascissa curvilineaLa lunghezza di una curva è l'estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte. Se r è C^1 la curva è rettificabile e ℓ = ∫|r'(t)|dt (grafici: ∫√(1+f'^2); polari: ∫√(f²+f'^2)). La lunghezza non cambia riparametrizzando, anche invertendo il verso. L'ascissa curvilinea s(t)=∫|r'| dà la parametrizzazione a velocità 1: T = dr/ds. Con essa si definiscono curvatura κ=|dT/ds| e normale N; l'accelerazione è a = v' T + κ v² N.Lunghezza di una curva e ascissa curvilinea →.

Testo.

1. Calcolare la lunghezza della cardioide $\rho = 2a(1 + \cos\theta)$, $-\pi \le \theta \le \pi$, con $a > 0$.
2. Calcolare la lunghezza del grafico di $y = \ln x$ per $x \in [1, 2]$.

(Fonte: esercizio 3 della raccolta del corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD, 2025-26 (risultato $16a$); esercizio 11 del foglio 1.)

Soluzione della parte 1

Per una curva polare $\rho = f(\theta)$ la lunghezza è $\int\sqrt{f^2 + f'^2}\,d\theta$. Qui $f = 2a(1+\cos\theta)$, $f' = -2a\sin\theta$: $$f^2 + f'^2 = 4a^2\big[(1+\cos\theta)^2 + \sin^2\theta\big] = 4a^2\,(2 + 2\cos\theta) = 8a^2(1+\cos\theta).$$ Per la formula di bisezione $1 + \cos\theta = 2\cos^2\frac\theta2$, quindi $$\sqrt{f^2+f'^2} = \sqrt{16a^2\cos^2\tfrac\theta2} = 4a\,\Big|\cos\frac\theta2\Big| .$$ Per $\theta\in[-\pi,\pi]$ l'angolo $\theta/2$ sta in $[-\pi/2,\pi/2]$, dove il coseno è $\ge 0$: il valore assoluto si toglie. $$L = \int_{-\pi}^{\pi}4a\cos\frac\theta2\,d\theta = 4a\Big[2\sin\frac\theta2\Big]_{-\pi}^{\pi} = 4a\,(2 + 2) = \boxed{16a}.$$ La curva è regolare tranne in $\theta = \pm\pi$ (origine, dove $f = f' = 0$: cuspide), ma un punto non cambia l'integrale.

Soluzione della parte 2

$f(x) = \ln x$, $f' = 1/x$: $$L = \int_1^2\sqrt{1 + \frac1{x^2}}\,dx = \int_1^2\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\,dx .$$ Sostituzione $u = \sqrt{x^2+1}$: $u^2 = x^2 + 1$, quindi $2u\,du = 2x\,dx$, cioè $dx = \frac{u}{x}du$, e $x^2 = u^2 - 1$: $$\int\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}dx = \int\frac{u}{x}\cdot\frac ux\,du = \int\frac{u^2}{u^2-1}\,du = \int\Big(1 + \frac{1}{u^2-1}\Big)du .$$ Fratti semplici: $\frac1{u^2-1} = \frac12\big(\frac1{u-1} - \frac1{u+1}\big)$, quindi una primitiva è $u + \frac12\ln\frac{u-1}{u+1}$ (per $u>1$). Gli estremi: $x = 1\mapsto u = \sqrt2$, $x = 2\mapsto u = \sqrt5$. $$L = \Big[u + \tfrac12\ln\tfrac{u-1}{u+1}\Big]_{\sqrt2}^{\sqrt5} = \sqrt5 - \sqrt2 + \tfrac12\ln\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1} - \tfrac12\ln\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}.$$ Razionalizzando, $\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1} = \frac{(\sqrt5-1)^2}{4}$ e $\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1} = (\sqrt2-1)^2$, quindi $$L = \sqrt5 - \sqrt2 + \ln\frac{\sqrt5-1}{2} - \ln(\sqrt2-1) = \sqrt5-\sqrt2+\ln\frac{(\sqrt5-1)(\sqrt2+1)}{2},$$ (si usa $\frac1{\sqrt2-1} = \sqrt2+1$). Numericamente $L \approx 1.2220$: poco più della corda tra $(1,0)$ e $(2,\ln2)$, che misura $\sqrt{1+\ln^22} = 1.2162$ ✓.

Errori tipici. Parte 1: non togliere il valore assoluto $|\cos\frac\theta2|$ e integrare su $[0,2\pi]$ dove il coseno cambia segno; parte 2: dimenticare il fattore $dx = \frac ux du$ nella sostituzione.