Esercizio - flusso attraverso un grafico su un semidisco (appello 30 gennaio 2024)

Teoria: Flusso, teorema della divergenza e teorema del rotoreIl flusso di F attraverso una superficie orientata è ∬ F·n dσ = ∬ F(r)·(r_u ∧ r_v) du dv (grafico: ∬ F·(−f_x,−f_y,1) dx dy). Teorema della divergenza: per un solido Ω il flusso uscente da ∂Ω è ∭ div F; nel piano ∬ div F = ∮ F·n ds. Teorema del rotore (Stokes): ∬ rot F·n dσ = ∮ F·T ds sul bordo orientato; su una superficie chiusa il flusso del rotore è 0. Da div rot F = 0 vengono i campi solenoidali e il potenziale vettore.Flusso, teorema della divergenza e teorema del rotore →, Superfici parametriche regolari, area e integrali di superficieUna superficie regolare è l'immagine di r(u,v) di classe C¹ iniettiva con r_u ∧ r_v ≠ 0; r_u, r_v sono i vettori tangenti alle linee coordinate, N = r_u ∧ r_v la normale, e il piano tangente è N·(x − x₀) = 0. Area = ∬ ‖r_u ∧ r_v‖ du dv; integrale di superficie ∬ f dσ = ∬ f(r)‖r_u ∧ r_v‖ du dv. Per il grafico z = f(x,y): dσ = √(1+‖∇f‖²) dx dy. Baricentro con la densità; teorema di Pappo-Guldino: area di rotazione = 2π ∫ x ds (D).Superfici parametriche regolari, area e integrali di superficie →. Il primo quesito (l'area) è in Esercizio - area di un grafico su un semidisco (appello 30 gennaio 2024).

Testo

Sia $S$ il grafico di $f(x,y)=xy$ sul semidisco $D=\{y\ge0,\ x^2+y^2\le3\}$. Calcolare il flusso del campo $\mathbf{F}(x,y,z)=(-y,\,-x,\,yz)$ attraverso $S$, orientata in modo che la normale abbia terza componente positiva.

Soluzione

Normale. Con $\mathbf{r}(x,y)=(x,y,xy)$ la normale verso l'alto è $\mathbf{N}=(-f_x,-f_y,1)=(-y,-x,1)$, che ha terza componente $1>0$: è l'orientazione richiesta.

Il campo sulla superficie. Sostituendo $z=xy$: $\mathbf{F}(x,y,xy)=(-y,\,-x,\,y\cdot xy)=(-y,-x,xy^2)$.

Prodotto scalare. $$\mathbf{F}\cdot\mathbf{N}=(-y)(-y)+(-x)(-x)+xy^2\cdot1=x^2+y^2+xy^2 .$$ Il flusso. $$\Phi=\iint_D(x^2+y^2+xy^2)\,dx\,dy .$$ Il termine $xy^2$ è dispari in $x$ e $D$ è simmetrico rispetto all'asse $y$ ($x\to-x$): il suo integrale è nullo. Rimane, in polari ($\theta\in[0,\pi]$, $\rho\in[0,\sqrt3]$), $$\Phi=\int_0^\pi d\theta\int_0^{\sqrt3}\rho^2\cdot\rho\,d\rho=\pi\cdot\frac{(\sqrt3)^4}4=\frac{9\pi}4 .$$

Perché la semplificazione. Il termine $xy^2$ viene dalla terza componente $yz$ del campo con $z=xy$. Non serve integrarlo: $D$ è il semidisco $\{y\ge0\}$, che è simmetrico per la riflessione $x\mapsto-x$ (cambia $x$ in $-x$ lasciando $y$ fisso), mentre $xy^2$ cambia segno. Una funzione dispari in $x$ su un dominio simmetrico in $x$ ha integrale nullo.

Controllo numerico. Con il calcolo simbolico $\iint_D(x^2+y^2+xy^2)\,dx\,dy=\frac{9\pi}4\approx7{,}069$.

Risultato. $\Phi=\dfrac{9\pi}4$.