Esercizio - campo con parametro sul piano bucato (appello 30 gennaio 2024)

Teoria: Campi conservativi, irrotazionali e insiemi semplicemente connessiF è conservativo se F = ∇U (U potenziale, forma ω esatta): allora il lavoro da P₁ a P₂ vale U(P₂) − U(P₁), non dipende dal cammino ed è nullo sulle curve chiuse, e queste tre proprietà sono equivalenti. Condizione necessaria: rotore nullo (campo irrotazionale, forma chiusa), che non basta (vortice nel piano bucato: circuitazione 2π). Basta se il dominio è semplicemente connesso (senza buchi). Il potenziale si costruisce integrando una componente e imponendo le altre.Campi conservativi, irrotazionali e insiemi semplicemente connessi →, Formule di Gauss-Green e teorema di Stokes nel pianoPer un dominio D del piano con bordo orientato positivamente (D "a sinistra"), ∬ f_y = −∮ f dx e ∬ f_x = ∮ f dy. Se ne ricavano: l'area come ∮ x dy = −∮ y dx = ½∮(x dy − y dx); la formula di Stokes nel piano ∬ (F₂ₓ − F₁ᵧ) dxdy = ∮ F₁dx + F₂dy (flusso del rotore = circuitazione); l'invarianza della circuitazione di un campo irrotazionale tra curve che circondano lo stesso buco.Formule di Gauss-Green e teorema di Stokes nel piano →.

Testo

Per $a\in\mathbb{R}$ si consideri il campo $\mathbf{F}:\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\to\mathbb{R}^2$, $$\mathbf{F}(x,y)=\left(\frac{x\sin\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}},\ \frac{(ax+y)\sin\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}\right).$$ (a) Calcolare $I_a=\oint_\gamma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$, con $\gamma(t)=(2\cos t,2\sin t)$, $t\in[0,2\pi]$. (b) Determinare per quali $a$ il campo è irrotazionale ed è conservativo. (c) Per tali $a$ calcolare un potenziale.

Soluzione

Posto $r=\sqrt{x^2+y^2}$ e $s(r)=\dfrac{\sin r}{r}$, il campo è $\mathbf{F}=\bigl(x\,s(r),\ (ax+y)\,s(r)\bigr)$.

(a) La circuitazione

Sulla circonferenza di raggio $2$: $r=2$, $s=\dfrac{\sin2}{2}$, $x=2\cos t$, $y=2\sin t$, $\mathbf{r}'=(-2\sin t,2\cos t)$. Il campo vale $$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\frac{\sin2}2\bigl(2\cos t,\ 2a\cos t+2\sin t\bigr)=\sin2\,\bigl(\cos t,\ a\cos t+\sin t\bigr).$$ Il prodotto scalare con $\mathbf{r}'$ è $$\sin2\,\bigl[-2\cos t\sin t+2\cos t\,(a\cos t+\sin t)\bigr]=2a\sin2\,\cos^2t,$$ perché $-2\cos t\sin t$ e $+2\sin t\cos t$ si elidono. Con $\int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt=\pi$: $$I_a=2\pi a\sin2 .$$

(b) Irrotazionalità e conservatività

Il dominio $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ non è semplicemente connesso, quindi il rotore nullo non basterà; ma prima serve una condizione necessaria.

Condizione necessaria dalla circuitazione. Se $\mathbf{F}$ è conservativo, la circuitazione sulla curva chiusa $\gamma$ è $0$: $2\pi a\sin2=0$. Poiché $\sin2\ne0$ (2 radianti non è multiplo di $\pi$), si ottiene $a=0$.

Rotore. Si usa $\partial_xr=x/r$, $\partial_yr=y/r$: $$\partial_yF_1=x\,s'(r)\frac yr,\qquad\partial_xF_2=a\,s(r)+(ax+y)\,s'(r)\frac xr .$$ La differenza $\partial_xF_2-\partial_yF_1=a\,s(r)+a\,x^2\dfrac{s'(r)}{r}=a\left[s(r)+\dfrac{x^2s'(r)}r\right]$ (i termini in $y$ si cancellano). Il fattore tra parentesi non è identicamente nullo (ad esempio sull'asse $y$, per $x=0$, vale $s(r)=\dfrac{\sin|y|}{|y|}\ne0$ per $|y|<\pi$), quindi $\operatorname{rot}\mathbf{F}\equiv0$ se e solo se $a=0$. Anche il rotore dà dunque $a=0$.

Conservatività per $a=0$. Il dominio non è semplicemente connesso, perciò si deve esibire un potenziale (punto c): se esiste una funzione $U$ a un solo valore su tutto $\mathbb{R}^2\setminus\{\mathbf{0}\}$ con $\nabla U=\mathbf{F}$, allora $\mathbf{F}$ è conservativo.

(c) Il potenziale per $a=0$

Il campo è $\mathbf{F}=\dfrac{\sin r}{r}(x,y)$, un campo centrale con $g(r)=\dfrac{\sin r}r$. Cerchiamo $U_x=\dfrac{x\sin r}{r}$ integrando in $x$ con la sostituzione $s=r$, $ds=\dfrac xr\,dx$: $$U=\int\sin r\,\frac xr\,dx=-\cos r+\varphi(y).$$ Derivando in $y$: $U_y=\sin r\cdot\dfrac yr+\varphi'(y)$, da confrontare con $F_2=\dfrac{y\sin r}r$: $\varphi'=0$. Perciò $$U(x,y)=-\cos\sqrt{x^2+y^2}+c,\qquad c\in\mathbb{R}.$$ $U$ è definita e $C^1$ in tutto $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$, a un solo valore: $\mathbf{F}$ è conservativo per $a=0$, e non per $a\ne0$. (Coerente con (a): per $a=0$, $I_0=0$.)

Risposta. $I_a=2\pi a\sin2$; irrotazionale e conservativo se e solo se $a=0$; potenziale $-\cos\sqrt{x^2+y^2}$.

Controlli. La circuitazione simbolica ($2\pi a\sin2$), la verifica $\nabla U=\mathbf{F}$ e il rotore proporzionale ad $a$ sono stati ricalcolati con sympy.