Esercizio - area e momenti di una regione sotto la cicloide con Gauss-Green (lezione 25 e dispensa)

Teoria: Formule di Gauss-Green e teorema di Stokes nel pianoPer un dominio D del piano con bordo orientato positivamente (D "a sinistra"), ∬ f_y = −∮ f dx e ∬ f_x = ∮ f dy. Se ne ricavano: l'area come ∮ x dy = −∮ y dx = ½∮(x dy − y dx); la formula di Stokes nel piano ∬ (F₂ₓ − F₁ᵧ) dxdy = ∮ F₁dx + F₂dy (flusso del rotore = circuitazione); l'invarianza della circuitazione di un campo irrotazionale tra curve che circondano lo stesso buco.Formule di Gauss-Green e teorema di Stokes nel piano →.

Testo

La cicloide è la curva $\mathbf{r}(t)=(t-\sin t,\ 1-\cos t)$, $t\in[0,2\pi]$ (traiettoria del punto di una ruota di raggio $1$ che rotola senza strisciare). Sia $D$ la regione compresa fra questo arco di cicloide e l'asse $x$. (a) Calcolare l'area di $D$. (b) Calcolare $\displaystyle\iint_D2y\,dx\,dy$ usando la prima formula di Gauss-Green con $f(x,y)=y^2$. (c) Calcolare $\displaystyle\iint_Dx\,dx\,dy$ e dedurne le coordinate del baricentro (centroide) di $D$.

Soluzione

Il bordo orientato positivamente. $D$ è limitata in basso dall'asse $x$, per $x\in[0,2\pi]$, e in alto dalla cicloide. Il bordo positivo lascia $D$ a sinistra: si percorre l'asse $x$ da $(0,0)$ a $(2\pi,0)$ e poi la cicloide all'indietro, da $(2\pi,0)$ a $(0,0)$, cioè con $t$ da $2\pi$ a $0$. Ogni integrale sulla cicloide si calcola quindi come meno l'integrale con $t$ da $0$ a $2\pi$.

Derivate utili: $x'(t)=1-\cos t$, $y'(t)=\sin t$.

(a) Area

Si usa $|D|=-\oint_{\partial^+D}y\,dx$. Sull'asse $x$ si ha $y=0$, contributo nullo. Sulla cicloide, con il verso invertito, $$|D|=-\left(-\int_0^{2\pi}y(t)\,x'(t)\,dt\right)=\int_0^{2\pi}(1-\cos t)(1-\cos t)\,dt=\int_0^{2\pi}(1-2\cos t+\cos^2t)\,dt .$$ Gli integrali su un periodo valgono $\int1=2\pi$, $\int\cos t=0$, $\int\cos^2t=\pi$. Quindi $|D|=2\pi+\pi=3\pi$.

(b) $\iint_D2y\,dx\,dy$

La prima formula dà $\iint_D\partial_y(y^2)\,dx\,dy=-\oint_{\partial^+D}y^2\,dx$. Come in (a) l'asse non contribuisce e sulla cicloide si inverte il verso: $$\iint_D2y\,dx\,dy=-\left(-\int_0^{2\pi}y^2x'\,dt\right)=\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^3\,dt .$$ Sviluppando $(1-\cos t)^3=1-3\cos t+3\cos^2t-\cos^3t$ e usando $\int_0^{2\pi}\cos^3t\,dt=0$: $$\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^3dt=2\pi+3\pi=5\pi .$$ Dunque $\iint_Dy\,dx\,dy=\tfrac{5\pi}2$.

(c) $\iint_Dx\,dx\,dy$ e baricentro

La seconda formula con $f=\tfrac{x^2}2$ (così $\partial_xf=x$) dà $\iint_Dx\,dx\,dy=\oint_{\partial^+D}\tfrac{x^2}2\,dy$. Sull'asse $dy=0$, nessun contributo. Sulla cicloide con verso invertito: $$\iint_Dx\,dx\,dy=-\int_0^{2\pi}\tfrac12(t-\sin t)^2\sin t\,dt=3\pi^2 .$$ (L'integrale si calcola per parti ripetute; il valore $3\pi^2$ è confermato dal calcolo simbolico.)

Baricentro. $x_B=\dfrac{1}{|D|}\iint_Dx=\dfrac{3\pi^2}{3\pi}=\pi$, che coincide con quanto dice la simmetria di $D$ rispetto alla retta $x=\pi$ (la cicloide è simmetrica rispetto a quella retta). $y_B=\dfrac1{|D|}\iint_Dy=\dfrac{5\pi/2}{3\pi}=\dfrac56$. Il baricentro è $\left(\pi,\tfrac56\right)$.