Lunghezza di una curva e ascissa curvilinea

Prerequisiti: Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettorialiUna curva è una funzione continua r : [a,b] → R^m; il sostegno è la sua immagine. Limiti, continuità e derivate si fanno componente per componente. La curva è regolare se r è C^1 e r'(t) ≠ 0 ovunque: allora r'(t) è il vettore tangente e la retta tangente è r(t0) + λ r'(t0). Esempi: circonferenza, segmento, grafico (t, f(t)), curve polari (f(θ)cosθ, f(θ)sinθ) regolari se f' ≠ 0 dove f = 0, elica, cuspide (t²,t³). L'integrale di r si fa per componenti; vale ∫ r' = r(b) − r(a) e ‖∫ r‖ ≤ ∫ ‖r‖.Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettoriali →, Integrale definito di RiemannL'integrale definito di f limitata su [a,b] è il limite delle somme di Cauchy-Riemann (somme di aree di rettangoli), se esiste finito e uguale per ogni scelta dei punti; equivale a sup delle somme inferiori = inf delle somme superiori. Se f ≥ 0 è l'area del trapezoide, in generale area sopra l'asse meno area sotto. Sono integrabili le funzioni continue, monotone, continue a tratti; la funzione di Dirichlet no.Integrale definito di Riemann →, Estremo superiore (sup)Maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo superiore (il più piccolo dei maggioranti) e inferiore, con la caratterizzazione con epsilon.Estremo superiore (sup) →.

1. Come si definisce la lunghezza

Per misurare una curva si fa quello che farebbe un ingegnere con un filo: si sceglie una sequenza di punti sulla curva e si congiungono con segmenti.

Definizione (poligonale inscritta, lunghezza). Sia $\underline r : [a,b] \to \mathbb{R}^m$ una curva. Per una partizione $\mathcal P = \{a = t_0 < t_1 < \dots < t_N = b\}$ la poligonale inscritta è quella che congiunge $\underline r(t_0), \underline r(t_1), \dots, \underline r(t_N)$, e la sua lunghezza è $$\ell(\mathcal P) = \sum_{i=1}^N |\underline r(t_i) - \underline r(t_{i-1})| .$$ La curva è rettificabiledotata di lunghezza finita se $\{\ell(\mathcal P)\}$ è limitato superiormente; la lunghezza è $\ell(\gamma) = \sup_{\mathcal P}\ell(\mathcal P)$.

Per la disuguaglianza triangolare ogni segmento è più corto dell'arco che sottende, quindi ogni poligonale approssima per difetto, e raffinando la partizione la lunghezza non diminuisce.

Esempio. Semicirconferenza di raggio $1$, $\underline r(t) = (\cos t, \sin t)$, $t\in[0,\pi]$, con $N = 2$ intervalli uguali: i punti sono $(1,0)$, $(0,1)$, $(-1,0)$ e la poligonale vale $\sqrt2 + \sqrt2 = 2.83$, contro la lunghezza vera $\pi = 3.14$. Con $N = 6$ si ottiene $6\cdot 2\sin(\pi/12) = 3.106$: si avvicina a $\pi$ dal basso.

Non tutte le curve continue sono rettificabili. Il grafico di $f(x) = x\sin(1/x)$ (con $f(0)=0$) su $[0,1]$ oscilla infinite volte vicino a $0$ e le poligonali inscritte hanno lunghezza che diverge. Per le curve $C^1$ questo non accade:

Teorema (lunghezza delle curve $C^1$) (D). Se $\underline r \in C^1([a,b], \mathbb{R}^m)$, allora $\gamma$ è rettificabile e $$\ell(\gamma) = \int_a^b |\underline r'(t)|\,dt .$$

Interpretazione: la lunghezza è l'integrale della velocità scalare (spazio = velocità $\times$ tempo).

Dimostrazione. Passo 1: $\ell(\mathcal P) \le \int_a^b |\underline r'|$ per ogni $\mathcal P$. Per il teorema fondamentale del calcolo vettoriale, $\underline r(t_i) - \underline r(t_{i-1}) = \int_{t_{i-1}}^{t_i}\underline r'(t)\,dt$. Per la disuguaglianza sulla norma dell'integrale, $$|\underline r(t_i) - \underline r(t_{i-1})| \le \int_{t_{i-1}}^{t_i}|\underline r'(t)|\,dt .$$ Sommando su $i$ e usando l'additività dell'integrale, $\ell(\mathcal P) \le \int_a^b|\underline r'|$. Il secondo membro è un numero finito ($|\underline r'|$ è continua su un compatto), quindi la curva è rettificabile e $\ell(\gamma) \le \int_a^b|\underline r'|$.

Passo 2: la disuguaglianza opposta. Sia $\varepsilon > 0$. Poiché $\underline r'$ è continua su $[a,b]$ compatto, è uniformemente continua: esiste $\delta > 0$ con $|\underline r'(t) - \underline r'(s)| < \varepsilon$ se $|t - s| < \delta$. Prendiamo una partizione con $t_i - t_{i-1} < \delta$. Su ogni intervallino, con $\Delta_i = t_i - t_{i-1}$: $$|\underline r(t_i) - \underline r(t_{i-1})| = \Big|\int_{t_{i-1}}^{t_i}\underline r'(t)\,dt\Big| \ge \Big|\int_{t_{i-1}}^{t_i}\underline r'(t_i)\,dt\Big| - \int_{t_{i-1}}^{t_i}|\underline r'(t) - \underline r'(t_i)|\,dt \ge |\underline r'(t_i)|\Delta_i - \varepsilon\Delta_i$$ (si è scritto $\underline r' = \underline r'(t_i) + (\underline r' - \underline r'(t_i))$ e usato $|\underline u + \underline w| \ge |\underline u| - |\underline w|$). Inoltre, per $t \in [t_{i-1},t_i]$, $\big||\underline r'(t)| - |\underline r'(t_i)|\big| \le |\underline r'(t) - \underline r'(t_i)| < \varepsilon$, quindi $\int_{t_{i-1}}^{t_i}|\underline r'| \le |\underline r'(t_i)|\Delta_i + \varepsilon\Delta_i$. Mettendo insieme, $|\underline r(t_i) - \underline r(t_{i-1})| \ge \int_{t_{i-1}}^{t_i}|\underline r'| - 2\varepsilon\Delta_i$. Sommando: $$\ell(\gamma) \ge \ell(\mathcal P) \ge \int_a^b|\underline r'| - 2\varepsilon(b-a) .$$ Per l'arbitrarietà di $\varepsilon$, $\ell(\gamma) \ge \int_a^b|\underline r'|$. $\blacksquare$

Se la curva è solo $C^1$ a tratti, la lunghezza è la somma delle lunghezze dei tratti.

2. Formule per il calcolo

Le ultime due sono casi particolari della prima: per il grafico $\underline r = (t, f(t))$ e $|\underline r'| = \sqrt{1+f'^2}$; per la polare $|\underline r'|^2 = f^2 + f'^2$ (calcolo nella nota sulle curveUna curva è una funzione continua r : [a,b] → R^m; il sostegno è la sua immagine. Limiti, continuità e derivate si fanno componente per componente. La curva è regolare se r è C^1 e r'(t) ≠ 0 ovunque: allora r'(t) è il vettore tangente e la retta tangente è r(t0) + λ r'(t0). Esempi: circonferenza, segmento, grafico (t, f(t)), curve polari (f(θ)cosθ, f(θ)sinθ) regolari se f' ≠ 0 dove f = 0, elica, cuspide (t²,t³). L'integrale di r si fa per componenti; vale ∫ r' = r(b) − r(a) e ‖∫ r‖ ≤ ∫ ‖r‖.Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettoriali →).

Esempi.

• Arco di circonferenza $\underline r(t) = (x_0 + R\cos t,\ y_0 + R\sin t)$, $t\in[\vartheta_1,\vartheta_2]$: $|\underline r'| = R$, quindi $\ell = R(\vartheta_2 - \vartheta_1)$.
• Elica $(R\cos t, R\sin t, kt)$, $t\in[0,2\pi]$: $|\underline r'| = \sqrt{R^2 + k^2}$, $\ell = 2\pi\sqrt{R^2+k^2}$.
• Catenaria $f(x) = \cosh x$: $f' = \sinh x$, $1 + \sinh^2 x = \cosh^2 x$ (Funzioni iperbolicheSeno, coseno e tangente iperbolici costruiti con e^x ed e^(-x), la relazione cosh^2 - sinh^2 = 1 e le loro inverse con formula esplicita.Funzioni iperboliche →), $\ell = \int_a^b\cosh x\,dx = \sinh b - \sinh a$.
• Parabola $y = x^2$, $x\in[-1,1]$: $\ell = \int_{-1}^1\sqrt{1+4x^2}\,dx$. Con $s = 2x$ diventa $\frac12\int_{-2}^2\sqrt{1+s^2}\,ds$. Una primitiva si trova con $s = \sinh u$: $\int\sqrt{1+s^2}\,ds = \frac12\big(s\sqrt{1+s^2} + \log(s + \sqrt{1+s^2})\big)$, e quindi $$\ell = \frac14\Big[s\sqrt{1+s^2} + \log\big(s+\sqrt{1+s^2}\big)\Big]_{-2}^{2} = \sqrt5 + \frac12\log(2+\sqrt5) \approx 2.958 .$$ (Si è usato $\log(\sqrt5-2) = -\log(\sqrt5+2)$ perché $(\sqrt5-2)(\sqrt5+2) = 1$.)
• Spirale di Archimede $\rho = a\vartheta$, $\vartheta\in[0,2\pi]$: $\sqrt{f^2+f'^2} = a\sqrt{1+\vartheta^2}$, quindi $\ell = a\big[\pi\sqrt{1+4\pi^2} + \tfrac12\log(2\pi + \sqrt{1+4\pi^2})\big]$.
• Cardioide $\rho = r(1+\cos\vartheta)$, $\vartheta\in[0,2\pi]$: $f'=-r\sin\vartheta$, $f^2+f'^2 = r^2(2+2\cos\vartheta) = 4r^2\cos^2(\vartheta/2)$ per la formula di bisezione. Quindi $\ell = 2r\int_0^{2\pi}|\cos(\vartheta/2)|\,d\vartheta = 4r\int_0^{\pi}|\cos u|\,du = 4r\cdot 2 = 8r$.
• Astroide $(\cos^3t,\sin^3t)$: $|\underline r'| = 3|\sin t\cos t|$ (la curva ha quattro cuspidi, dove $\underline r'=\underline 0$), $\ell = 4\int_0^{\pi/2}3\sin t\cos t\,dt = 4\cdot\frac32 = 6$.

3. Riparametrizzazioni

Definizione. Se $\underline r : [a,b] \to \mathbb{R}^m$ è regolare e $\varphi : [c,d] \to [a,b]$ è biiettiva e $C^1$, la curva $\tilde{\underline r}(u) = \underline r(\varphi(u))$ è una riparametrizzazione. Ha lo stesso sostegno. Se $\varphi' > 0$ (crescente) le due curve sono equivalenti: stesso punto iniziale e finale, stesso verso. Se $\varphi' < 0$ (decrescente) $\tilde{\underline r}$ cambia orientazione: percorre il sostegno al contrario.

Esempio. $\underline r(t) = (R\cos t, R\sin t)$, $t\in[0,2\pi]$. Con $t = \varphi(u) = u/R$, $u\in[0,2\pi R]$, si ottiene $\tilde{\underline r}(u) = (R\cos(u/R), R\sin(u/R))$ equivalente, con velocità $|\tilde{\underline r}'| = 1$ (mentre $|\underline r'| = R$). Con $t = -u$, $u\in[-2\pi,0]$, si ottiene la circonferenza percorsa in senso orario.

Proposizione (la lunghezza non dipende dalla parametrizzazione). Se $\tilde{\underline r}$ è una riparametrizzazione di $\underline r$ ($\varphi' > 0$ oppure $\varphi' < 0$), allora $\ell(\tilde{\underline r}) = \ell(\underline r)$.

Dimostrazione. Da $\tilde{\underline r}'(u) = \underline r'(\varphi(u))\,\varphi'(u)$ segue $|\tilde{\underline r}'(u)| = |\underline r'(\varphi(u))|\,|\varphi'(u)|$. Con il cambio di variabile $t = \varphi(u)$, $dt = \varphi'(u)\,du$:

• se $\varphi' > 0$: $\int_a^b |\underline r'(t)|\,dt = \int_c^d |\underline r'(\varphi(u))|\,\varphi'(u)\,du = \int_c^d |\tilde{\underline r}'(u)|\,du$;
• se $\varphi' < 0$, $\varphi(c) = b$ e $\varphi(d) = a$: $\int_a^b|\underline r'(t)|\,dt = \int_d^c|\underline r'(\varphi(u))|\,\varphi'(u)\,du = \int_c^d|\underline r'(\varphi(u))|\,(-\varphi'(u))\,du = \int_c^d|\underline r'(\varphi(u))|\,|\varphi'(u)|\,du$

(scambiare gli estremi cambia segno all'integrale, e $-\varphi' = |\varphi'|$). In entrambi i casi il secondo membro è $\int_c^d|\tilde{\underline r}'|$. $\blacksquare$

Il caso generale, con una funzione $f$ nell'integrale, è la dimostrazione di Integrali curvilinei di prima specie, baricentri e momenti d'inerziaL'integrale curvilineo di prima specie di f lungo una curva C^1 è ∫_γ f ds = ∫_a^b f(r(t)) |r'(t)| dt, dove ds = |r'(t)|dt è l'elemento d'arco. Con f = 1 dà la lunghezza; con f ≥ 0 l'area di una parete verticale alta f lungo la curva; con f = densità la massa. Non dipende dalla parametrizzazione né dal verso di percorrenza (D). Baricentro x_b = (1/M)∫ x μ ds; momento d'inerzia I = ∫ δ² μ ds con δ distanza dall'asse.Integrali curvilinei di prima specie, baricentri e momenti d'inerzia →.

4. Ascissa curvilinea

L'idea: usare come parametro la lunghezza percorsa. Così la velocità vale sempre $1$ e la geometria della curva (tangente, curvatura) si legge direttamente.

Definizione. Sia $\underline r : [a,b]\to\mathbb{R}^m$ regolare. L'ascissa curvilinea è $$s(t) = \int_a^t |\underline r'(\tau)|\,d\tau , \qquad s : [a,b]\to[0,\ell(\gamma)] ,$$ la lunghezza dell'arco tra $\underline r(a)$ e $\underline r(t)$.

Per il teorema fondamentale del calcolo $s'(t) = |\underline r'(t)| > 0$ (la curva è regolare): $s$ è strettamente crescente e $C^1$, quindi invertibile; sia $t(s)$ l'inversa.

Teorema (parametrizzazione ad arco) (D). La curva $\tilde{\underline r}(s) = \underline r(t(s))$, $s\in[0,\ell(\gamma)]$, è una riparametrizzazione equivalente di $\underline r$ e $|\tilde{\underline r}'(s)| = 1$ per ogni $s$.

Dimostrazione. Per la regola della derivata dell'inversa, $t'(s) = 1/s'(t(s)) = 1/|\underline r'(t(s))| > 0$: $t(s)$ è $C^1$ e crescente, quindi $\tilde{\underline r}$ è una riparametrizzazione equivalente. Per la velocità: da $\underline r(t) = \tilde{\underline r}(s(t))$, derivando con la regola della catena, $$\underline r'(t) = \tilde{\underline r}'(s(t))\,s'(t) = \tilde{\underline r}'(s(t))\,|\underline r'(t)| .$$ Prendendo le norme: $|\underline r'(t)| = |\tilde{\underline r}'(s(t))|\,|\underline r'(t)|$, e dividendo per $|\underline r'(t)|\ne0$ si ha $|\tilde{\underline r}'| = 1$. $\blacksquare$

Con questo parametro il versore tangente è semplicemente $\underline T(s) = \tilde{\underline r}'(s)$.

Come si calcola. (1) si calcola $|\underline r'(t)|$; (2) si integra: $s(t) = \int_a^t|\underline r'|$; (3) si inverte $s \mapsto t(s)$; (4) si sostituisce in $\underline r$. L'inversione è fattibile solo in pochi casi, ma la teoria funziona sempre.

Esempio (circonferenza). $|\underline r'| = R$, $s = Rt$, $t = s/R$: $\tilde{\underline r}(s) = (R\cos\frac sR, R\sin\frac sR)$, $s\in[0,2\pi R]$.

Esempio (elica). $\underline r(t) = (R\cos t, R\sin t, kt)$: $|\underline r'| = \sqrt{R^2+k^2}$, $s = t\sqrt{R^2+k^2}$, quindi $t = s/\sqrt{R^2+k^2}$ e $$\tilde{\underline r}(s) = \Big(R\cos\frac{s}{\sqrt{R^2+k^2}},\ R\sin\frac{s}{\sqrt{R^2+k^2}},\ \frac{ks}{\sqrt{R^2+k^2}}\Big),\quad s\in\big[0, 2\pi\sqrt{R^2+k^2}\big].$$

5. Curvatura, versore normale e accelerazione

Sia $\underline r$ regolare, $v(t) = |\underline r'(t)|$ la velocità scalare e $\underline T = \underline r'/v$.

Fatto chiave. Poiché $|\underline T| = 1$ è costante, $\underline T \perp \underline T'$ (si è visto che un vettore a norma costante è ortogonale alla sua derivata). In particolare, in parametrizzazione ad arco, $\tilde{\underline r}'' \perp \tilde{\underline r}'$: l'accelerazione è perpendicolare alla velocità, perché $\tilde{\underline r}'$ ha norma $1$. (Dimostrazione: $0 = \frac{d}{ds}(\tilde{\underline r}'\cdot\tilde{\underline r}') = 2\,\tilde{\underline r}''\cdot\tilde{\underline r}'$.)

Definizione. La curvaturamisura di quanto ruota la tangente per ogni unità di lunghezza percorsa è $\kappa = \Big|\dfrac{d\underline T}{ds}\Big|$ e, dove $\kappa\ne0$, il versore normale principale è $\underline N = \dfrac{1}{\kappa}\dfrac{d\underline T}{ds}$. Il raggio di curvatura è $1/\kappa$.

La curvatura misura quanto la tangente ruota per unità di lunghezza percorsa. Per una retta $\kappa = 0$; per una circonferenza di raggio $R$, $\kappa = 1/R$ (in parametrizzazione ad arco $\underline T = (-\sin\frac sR, \cos\frac sR)$ e $\frac{d\underline T}{ds} = -\frac1R(\cos\frac sR, \sin\frac sR)$, di norma $1/R$).

Per una parametrizzazione qualsiasi $t$, dato che $\frac{d}{dt} = v\frac{d}{ds}$, vale $\underline T' = v\,\kappa\,\underline N$. Derivando $\underline r' = v\underline T$: $$\underline r'' = v'\,\underline T + v\,\underline T' = \underbrace{v'}_{a_T}\underline T + \underbrace{\kappa v^2}_{a_N}\underline N .$$

Formula (decomposizione dell'accelerazione). $\underline a = a_T\,\underline T + a_N\,\underline N$, con $$a_T = v' = \frac{\underline r'\cdot\underline r''}{|\underline r'|},\qquad a_N = \kappa v^2 = \frac{|\underline r'\times\underline r''|}{|\underline r'|},\qquad |\underline a|^2 = a_T^2 + a_N^2 .$$ La curvatura si calcola con $$\kappa = \frac{|\underline r'\times\underline r''|}{|\underline r'|^3}\ (\mathbb{R}^3),\qquad \kappa = \frac{|x'y'' - x''y'|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}\ (\mathbb{R}^2),\qquad \kappa = \frac{|f''|}{(1+f'^2)^{3/2}}\ (\text{grafico}).$$

Perché: $\underline r'\times\underline r'' = v\underline T \times (v'\underline T + \kappa v^2\underline N) = \kappa v^3\,\underline T\times\underline N$, e $|\underline T\times\underline N| = 1$ perché sono ortogonali e unitari. $a_T$ è la derivata del modulo della velocità: se si accelera lungo il percorso cambia la rapidità; $a_N$ è l'accelerazione centripeta, presente anche a velocità costante se la curva gira.

Esempi. Elica $(R\cos t, R\sin t, t)$: $\kappa = \frac{R}{R^2+1}$ (per $R=1$ vale $1/2$), $v$ costante, $a_T = 0$, $a_N = \kappa v^2 = R$. Ellisse $(2\cos t, 3\sin t)$: $x'y'' - x''y' = 6$ e $\kappa = \dfrac{6}{(4\sin^2t+9\cos^2t)^{3/2}}$. Curve con $\kappa \equiv 0$: sono tutte e sole le rette (in ascissa curvilinea $\tilde{\underline r}'' = \underline 0$ si integra due volte: $\tilde{\underline r}(s) = \underline p + s\underline v$).

Errori da evitare

• Usare $\underline r'$ al posto di $|\underline r'|$ nell'integrale: la lunghezza integra la velocità scalare.
• Radice di un quadrato: $\sqrt{\sin^2 t} = |\sin t|$, non $\sin t$. Nell'astroide e nella cardioide bisogna controllare il segno su ogni intervallo, altrimenti i tratti si cancellano.
• Lunghezza e parametro: la stessa circonferenza percorsa due volte ha lunghezza doppia; la lunghezza è del cammino, non solo del sostegno.
• Curvatura $= |\underline r''|$ vale solo se $|\underline r'| = 1$.

Esercizi svolti

• Esercizio - lunghezza di astroide e cicloide, curvatura (foglio 1)
• Esercizio - lunghezza della cardioide e del grafico del logaritmo (esercizi 2025-26)
• Esercizio - spirale di Archimede, curvatura e componenti dell'accelerazione (foglio 1)
• Esercizio - ascissa curvilinea di una spirale conica

Domande d'esame

1. Definire la lunghezza di una curva e dimostrare che per una curva $C^1$ vale $\ell = \int|\underline r'|$. Traccia: poligonali, sup; $\ell(\mathcal P)\le\int|\underline r'|$ con TFC vettoriale e disuguaglianza della norma; l'altro verso con la continuità uniforme di $\underline r'$.
2. Definire l'ascissa curvilinea e provare che la curva riparametrizzata ha velocità $1$. Traccia: $s' = |\underline r'| >0$, inversa, regola della catena su $\underline r(t) = \tilde{\underline r}(s(t))$.
3. Provare che in parametrizzazione ad arco l'accelerazione è ortogonale alla velocità. Traccia: $|\tilde{\underline r}'|^2 = 1$, derivare.