Esercizio - ascissa curvilinea di una spirale conica

Teoria: Lunghezza di una curva e ascissa curvilineaLa lunghezza di una curva è l'estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte. Se r è C^1 la curva è rettificabile e ℓ = ∫|r'(t)|dt (grafici: ∫√(1+f'^2); polari: ∫√(f²+f'^2)). La lunghezza non cambia riparametrizzando, anche invertendo il verso. L'ascissa curvilinea s(t)=∫|r'| dà la parametrizzazione a velocità 1: T = dr/ds. Con essa si definiscono curvatura κ=|dT/ds| e normale N; l'accelerazione è a = v' T + κ v² N.Lunghezza di una curva e ascissa curvilinea →.

Testo. Sia $\gamma : [0, 1] \to \mathbb{R}^3$, $\gamma(t) = (e^t\cos t,\ e^t\sin t,\ e^t)$ (una spirale che si avvolge sul cono $z^2 = x^2 + y^2$).

1. Mostrare che è regolare e calcolarne la lunghezza.
2. Scrivere la parametrizzazione ad arco $\tilde\gamma(s)$ e verificare che $|\tilde\gamma'(s)| = 1$.
3. Dimostrare che l'angolo tra $\gamma'$ e l'asse $z$ è costante.

(Esercizio costruito per queste note sul modello dell'esercizio sull'ascissa curvilinea del corso.)

Soluzione

1. Velocità e lunghezza. Derivando con la regola del prodotto: $$\gamma'(t) = \big(e^t(\cos t - \sin t),\ e^t(\sin t + \cos t),\ e^t\big).$$ Il quadrato della norma: $$|\gamma'|^2 = e^{2t}\big[(\cos t - \sin t)^2 + (\sin t + \cos t)^2 + 1\big] = e^{2t}\,[\,2 + 1\,] = 3e^{2t}$$ perché $(\cos t - \sin t)^2 + (\sin t + \cos t)^2 = 2(\cos^2 t + \sin^2 t) = 2$ (i doppi prodotti si elidono). Dunque $v(t) = \sqrt3\,e^t > 0$: regolare (anche per la terza componente $e^t\ne0$). La lunghezza: $$L = \int_0^1\sqrt3\,e^t\,dt = \sqrt3\,(e - 1) .$$

2. Ascissa curvilinea. $s(t) = \int_0^t\sqrt3\,e^\tau d\tau = \sqrt3\,(e^t - 1)$, con $s\in[0, \sqrt3(e-1)]$. Si inverte: $e^t = 1 + \frac{s}{\sqrt3}$, cioè $t(s) = \ln\!\big(1 + \frac{s}{\sqrt3}\big)$. Sostituendo in $\gamma$ (con $w = 1 + s/\sqrt3$ per brevità, $e^{t} = w$): $$\tilde\gamma(s) = \big(w\cos\ln w,\ w\sin\ln w,\ w\big),\qquad w = 1 + \frac{s}{\sqrt3} .$$ Verifica. $\frac{dw}{ds} = \frac1{\sqrt3}$ e, per la regola della catena, $\tilde\gamma'(s) = \gamma'(t(s))\cdot t'(s)$ con $t'(s) = \frac{1}{\sqrt3\,w}$. Quindi $|\tilde\gamma'| = |\gamma'|\cdot t' = \sqrt3\,w\cdot\frac{1}{\sqrt3\,w} = 1$ ✓ (qui $|\gamma'(t(s))| = \sqrt3 e^{t(s)} = \sqrt3\,w$).

3. Angolo con l'asse $z$. Il versore dell'asse è $\underline k = (0,0,1)$ e $$\cos\alpha = \frac{\gamma'\cdot\underline k}{|\gamma'|} = \frac{e^t}{\sqrt3\,e^t} = \frac1{\sqrt3}$$ non dipende da $t$: la curva taglia sempre le "generatrici verticali" con lo stesso angolo ($\alpha\approx 54.7^\circ$), come l'elica sul cilindro.

Errori tipici. Dimenticare che $\gamma$ è parametrizzata da $t$ mentre $s$ è la lunghezza: nell'inversione si ottiene $t = \ln(1 + s/\sqrt3)$, non $t = s/\sqrt3$; sbagliare l'estremo finale $s_{\max} = \sqrt3(e-1)$ (che coincide con $L$).