Esercizio - lavoro lungo un arco di parabola e area della superficie di rotazione (appello 9 febbraio 2026)

Teoria: Campi vettoriali, lavoro e forme differenzialiUn campo vettoriale assegna un vettore a ogni punto; la forma differenziale ω = F₁dx + F₂dy + F₃dz è lo stesso oggetto scritto come "covettore". Il lavoro (integrale curvilineo di seconda specie) è ∫ F(r(t))·r'(t) dt: è lineare, additivo sul cammino, cambia segno se si inverte il verso e non cambia se si riparametrizza con lo stesso verso. Si lega all'integrale di prima specie con ∫ F·T ds.Campi vettoriali, lavoro e forme differenziali → (punto c), Superfici parametriche regolari, area e integrali di superficieUna superficie regolare è l'immagine di r(u,v) di classe C¹ iniettiva con r_u ∧ r_v ≠ 0; r_u, r_v sono i vettori tangenti alle linee coordinate, N = r_u ∧ r_v la normale, e il piano tangente è N·(x − x₀) = 0. Area = ∬ ‖r_u ∧ r_v‖ du dv; integrale di superficie ∬ f dσ = ∬ f(r)‖r_u ∧ r_v‖ du dv. Per il grafico z = f(x,y): dσ = √(1+‖∇f‖²) dx dy. Baricentro con la densità; teorema di Pappo-Guldino: area di rotazione = 2π ∫ x ds (D).Superfici parametriche regolari, area e integrali di superficie → (teorema di Pappo-Guldino per le superfici di rotazione, punto b), Integrali curvilinei di prima specie, baricentri e momenti d'inerziaL'integrale curvilineo di prima specie di f lungo una curva C^1 è ∫_γ f ds = ∫_a^b f(r(t)) |r'(t)| dt, dove ds = |r'(t)|dt è l'elemento d'arco. Con f = 1 dà la lunghezza; con f ≥ 0 l'area di una parete verticale alta f lungo la curva; con f = densità la massa. Non dipende dalla parametrizzazione né dal verso di percorrenza (D). Baricentro x_b = (1/M)∫ x μ ds; momento d'inerzia I = ∫ δ² μ ds con δ distanza dall'asse.Integrali curvilinei di prima specie, baricentri e momenti d'inerzia → (punto a).

Testo

Sia $\gamma$ la curva parametrizzata da $$\mathbf{r}(t)=\left(\frac{3t^2}{2}+1,\ t\right),\qquad t\in\left[0,\frac1{\sqrt3}\right].$$ (a) Calcolare $\displaystyle\int_\gamma3y\,ds$. (b) Calcolare l'area della superficie generata dalla rotazione completa di $\gamma$ attorno all'asse $x$. (c) Calcolare $\displaystyle\int_\gamma\sin y\,dx+\sqrt3\,x\,dy$.

Soluzione

La curva è un arco di parabola $x=\tfrac32y^2+1$ che va da $(1,0)$ a $\left(\tfrac32,\tfrac1{\sqrt3}\right)$. Il vettore velocità è $\mathbf{r}'(t)=(3t,\ 1)$, mai nullo: la curva è regolare.

(a) Integrale di prima specie

L'elemento d'arco è $ds=\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt=\sqrt{9t^2+1}\,dt$. Con $y=t$: $$\int_\gamma3y\,ds=\int_0^{1/\sqrt3}3t\sqrt{9t^2+1}\,dt .$$ Si pone $u=9t^2+1$, $du=18t\,dt$, cioè $3t\,dt=\tfrac16du$. Gli estremi: $t=0\Rightarrow u=1$; $t=\tfrac1{\sqrt3}\Rightarrow u=9\cdot\tfrac13+1=4$. Allora $$\frac16\int_1^4\sqrt u\,du=\frac16\cdot\frac23\bigl[u^{3/2}\bigr]_1^4=\frac19(8-1)=\frac79 .$$

(b) Area della superficie di rotazione

Per una curva nel semipiano $y\ge0$ ruotata di $2\pi$ attorno all'asse $x$, il teorema di Pappo-Guldino dà $\text{Area}=2\pi\int_\gamma y\,ds$: la lunghezza della circonferenza percorsa dal punto $(x,y)$ è $2\pi y$, e va "pesata" con $ds$. Qui $y=t\ge0$. Dal punto (a), $$\int_\gamma y\,ds=\frac13\int_\gamma3y\,ds=\frac13\cdot\frac79=\frac7{27},\qquad\text{Area}=2\pi\cdot\frac7{27}=\frac{14\pi}{27}.$$

(c) Lavoro di una forma differenziale

Si sostituisce $x=\tfrac32t^2+1$, $y=t$, $dx=3t\,dt$, $dy=dt$ (Campi vettoriali, lavoro e forme differenzialiUn campo vettoriale assegna un vettore a ogni punto; la forma differenziale ω = F₁dx + F₂dy + F₃dz è lo stesso oggetto scritto come "covettore". Il lavoro (integrale curvilineo di seconda specie) è ∫ F(r(t))·r'(t) dt: è lineare, additivo sul cammino, cambia segno se si inverte il verso e non cambia se si riparametrizza con lo stesso verso. Si lega all'integrale di prima specie con ∫ F·T ds.Campi vettoriali, lavoro e forme differenziali →): $$\int_0^{1/\sqrt3}\Bigl(3t\sin t+\sqrt3\bigl(\tfrac32t^2+1\bigr)\Bigr)dt .$$

• Primo pezzo, per parti: $\displaystyle\int3t\sin t\,dt=-3t\cos t+3\sin t$ (derivata: $-3\cos t+3t\sin t+3\cos t=3t\sin t$). Valutato in $\tfrac1{\sqrt3}$ e in $0$: $-\sqrt3\cos\tfrac1{\sqrt3}+3\sin\tfrac1{\sqrt3}$.
• Secondo pezzo: $\displaystyle\int\Bigl(\tfrac{3\sqrt3}2t^2+\sqrt3\Bigr)dt=\tfrac{\sqrt3}2t^3+\sqrt3\,t$. In $t=\tfrac1{\sqrt3}$: $\tfrac{\sqrt3}2\cdot\tfrac1{3\sqrt3}+1=\tfrac16+1=\tfrac76$.

Somma: $$\int_\gamma\sin y\,dx+\sqrt3\,x\,dy=3\sin\frac1{\sqrt3}-\sqrt3\cos\frac1{\sqrt3}+\frac76\approx1{,}3528 .$$

Controlli. I tre valori ($0{,}7778$, $\tfrac{14\pi}{27}$, $1{,}35278$) coincidono con il calcolo simbolico e numerico.