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Note per Studenti Esercizio - Integrale di z su un solido fra paraboloide e sfera (esercizio 41)

Esercizio - Integrale di z su un solido fra paraboloide e sfera (esercizio 41)

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Teoria: Integrali tripli, coordinate cilindriche e sferiche e solidi di rotazioneL'integrale triplo ∭_E f si definisce con somme di Cauchy-Riemann su parallelepipedi; per f = 1 è il volume, per f = densità la massa; baricentro e momenti d'inerzia come in dimensione 2. Riduzione per fili (E = {(x,y) ∈ D, h₁ ≤ z ≤ h₂}: ∭ = ∬D(∫{h₁}^{h₂} f dz)dxdy) e per strati (E = {a ≤ z ≤ b, (x,y) ∈ E_z}: ∭ = ∫a^b(∬{E_z} f dxdy)dz). Cambiamento di variabili con |det DT|; coordinate cilindriche (x,y,z) = (ρcosθ, ρsinθ, z), dxdydz = ρ dρdθdz; sferiche (ρsinφcosθ, ρsinφsinθ, ρcosφ), φ ∈ [0,π] colatitudine, dxdydz = ρ²sinφ dρdφdθ; ellissoide di semiassi a,b,c ha volume (4/3)πabc. Solidi di rotazione: Pappo-Guldino (D), |R(A)| = θ̄·x_B·|A| (area di A per lunghezza dell'arco percorso dal baricentro).Integrali tripli, coordinate cilindriche e sferiche e solidi di rotazione →. Fonte: raccolta di esercizi di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD 2025-26, esercizio 41.

Testo

Si disegni l'insieme C={(x,y,z)∈R3:z≤−x2+y23, x2+y2+z2≤4}C = \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : z\le-\frac{x^2+y^2}3,\ x^2+y^2+z^2\le4\right\} e si calcoli ∭Cz dx dy dz\displaystyle\iiint_Cz\,dx\,dy\,dz.

Soluzione

Le superfici. z=−x2+y23z=-\frac{x^2+y^2}3 è un paraboloide con vertice nell'origine e apertura verso il basso; x2+y2+z2=4x^2+y^2+z^2=4 è la sfera di raggio 22 centrata nell'origine. CC è la parte di palla che sta sotto il paraboloide (cioè nel semispazio inferiore, "dentro" la coppa rovesciata).

Intersezione. Posto ρ2=x2+y2\rho^2=x^2+y^2, il paraboloide dà z=−ρ23z=-\frac{\rho^2}3; sostituito nella sfera: ρ2+ρ49=4\rho^2+\frac{\rho^4}9=4, cioè ρ4+9ρ2−36=0\rho^4+9\rho^2-36=0, (ρ2−3)(ρ2+12)=0(\rho^2-3)(\rho^2+12)=0: ρ2=3\rho^2=3 e z=−1z=-1. La circonferenza di intersezione ha raggio 3\sqrt3 e quota −1-1.

Grafico interattivo: Sezione con il piano xz: il cerchio di raggio 2 e la parabola z = −x²/3 (apertura verso il basso). Il solido C è la parte di cerchio sotto la parabola, per |x| ≤ √3; le due curve si incontrano in (±√3, −1)

Impostazione per fili in cilindriche. Per un punto del piano xyxy a distanza ρ\rho dall'asse la quota va dalla sfera inferiore z=−4−ρ2z=-\sqrt{4-\rho^2} al paraboloide z=−ρ23z=-\frac{\rho^2}3. Perché il segmento non sia vuoto serve −4−ρ2≤−ρ23-\sqrt{4-\rho^2}\le-\frac{\rho^2}3, cioè ρ23≤4−ρ2\frac{\rho^2}3\le\sqrt{4-\rho^2}, equivalente (elevando al quadrato) a ρ2≤3\rho^2\le3: C={0≤ρ≤3, −4−ρ2≤z≤−ρ23}.C = \left\{0\le\rho\le\sqrt3,\ -\sqrt{4-\rho^2}\le z\le-\tfrac{\rho^2}3\right\}. (Per ρ>3\rho>\sqrt3 il paraboloide sta sotto la sfera e non c'è solido.)

Calcolo. Con dx dy dz=ρ dρ dθ dzdx\,dy\,dz = \rho\,d\rho\,d\theta\,dz e ∫z dz=z22\int z\,dz=\frac{z^2}2: ∭Cz=∫02πdθ∫03ρ[z22]−4−ρ2−ρ2/3dρ=2π∫03ρ 12(ρ49−(4−ρ2))dρ.\iiint_Cz = \int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\sqrt3}\rho\left[\frac{z^2}2\right]_{-\sqrt{4-\rho^2}}^{-\rho^2/3}d\rho = 2\pi\int_0^{\sqrt3}\rho\,\frac12\left(\frac{\rho^4}9-(4-\rho^2)\right)d\rho. Svolgendo: 12(ρ49+ρ2−4)ρ=ρ518+ρ32−2ρ\frac12\left(\frac{\rho^4}9+\rho^2-4\right)\rho = \frac{\rho^5}{18}+\frac{\rho^3}2-2\rho e ∫03(ρ518+ρ32−2ρ)dρ=(3)6108+(3)48−(3)2=27108+98−3=14+98−3=−138.\int_0^{\sqrt3}\left(\frac{\rho^5}{18}+\frac{\rho^3}2-2\rho\right)d\rho = \frac{(\sqrt3)^6}{108}+\frac{(\sqrt3)^4}8-(\sqrt3)^2 = \frac{27}{108}+\frac98-3 = \frac14+\frac98-3 = -\frac{13}8. Quindi ∭Cz dx dy dz=2π⋅(−138)=−13π4≈−10,21.\iiint_Cz\,dx\,dy\,dz = 2\pi\cdot\left(-\frac{13}8\right) = -\frac{13\pi}4\approx-10{,}21. Il risultato è negativo, come deve essere: in tutto CC si ha z<0z<0.

Errori tipici

  • Prendere ρ\rho fino a 22 (il raggio della sfera): oltre 3\sqrt3 non c'è solido.
  • Dimenticare il segno dei limiti di zz (il solido è nel semispazio inferiore): zmin⁡=−4−ρ2z_{\min}=-\sqrt{4-\rho^2}, zmax⁡=−ρ23z_{\max}=-\frac{\rho^2}3.
  • Dimenticare il fattore ρ\rho.

Versione ripasso

Testo. C={z≤−x2+y23, x2+y2+z2≤4}C = \{z\le-\frac{x^2+y^2}3,\ x^2+y^2+z^2\le4\}: ∭Cz\iiint_Cz.

Soluzione.

  • Intersezione: ρ4+9ρ2−36=0\rho^4+9\rho^2-36=0, ρ2=3\rho^2=3, z=−1z=-1.
  • Cilindriche: 0≤ρ≤30\le\rho\le\sqrt3, −4−ρ2≤z≤−ρ23-\sqrt{4-\rho^2}\le z\le-\frac{\rho^2}3.
  • ∭z=2π∫03ρ⋅12(ρ49−(4−ρ2))dρ=2π(14+98−3)=2π(−138)=−13π4\iiint z = 2\pi\int_0^{\sqrt3}\rho\cdot\frac12\left(\frac{\rho^4}9-(4-\rho^2)\right)d\rho = 2\pi\left(\frac14+\frac98-3\right) = 2\pi\left(-\frac{13}8\right) = -\frac{13\pi}4.

Errori: ρ\rho fino a 22; segni dei limiti in zz; fattore ρ\rho.

Passaggi. ρ23≤4−ρ2  ⟺  ρ4+9ρ2−36≤0  ⟺  ρ2≤3\frac{\rho^2}3\le\sqrt{4 - \rho^2} \iff \rho^4 + 9\rho^2 - 36\le0 \iff \rho^2\le3. [z22]−4−ρ2−ρ2/3=12(ρ49−4+ρ2)\left[\frac{z^2}2\right]_{-\sqrt{4 - \rho^2}}^{-\rho^2/3} = \frac12\left(\frac{\rho^4}9 - 4 + \rho^2\right). Integrali: (3)6108=14\frac{(\sqrt3)^6}{108} = \frac14, (3)48=98\frac{(\sqrt3)^4}8 = \frac98, (3)2=3(\sqrt3)^2 = 3; somma 14+98−3=−138\frac14 + \frac98 - 3 = -\frac{13}8.

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