Esercizio - Estremi su un'ellisse piena con parametrizzazione (appello 31 gennaio 2023)

Teoria: Estremi vincolati - metodo diretto e moltiplicatori di LagrangeEstremi vincolati = estremi di f ristretta a una curva g(x,y) = b o a un insieme chiuso K. Metodo diretto: si parametrizza il vincolo, r(t) = (x(t), y(t)), e si studia φ(t) = f(r(t)) con l'Analisi 1 (non dimenticare gli estremi dell'intervallo). Moltiplicatori di Lagrange (D): se P è estremo locale di f|Γ e ∇g(P) ≠ 0 allora ∇f(P) = λ∇g(P); equivale a ∇L = 0 per L = f + λ(b − g). Procedura: punti singolari del vincolo (∇g = 0), punti critici vincolati, confronto dei valori (Weierstrass se Γ è compatto). Estremi assoluti su un insieme chiuso K: interno (∇f = 0), frontiera (Lagrange o parametrizzazione, più i vertici), confronto; se K è illimitato si usa la coercività della funzione all'infinito.Estremi vincolati - metodo diretto e moltiplicatori di Lagrange → (metodo diretto per la frontiera). Fonte: corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD, primo appello 2023.

Testo

Trovare massimo e minimo assoluti di $f(x,y) = x^2 - 2y^2 - 3y$ sul dominio ellittico $$D = \left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : \frac{x^2}{4} + y^2 \le 1\right\}.$$

Soluzione

$D$ è compatto (ellisse piena di semiassi $2$ e $1$) e $f$ è continua: esistono massimo e minimo (Weierstrass). Si cercano nei punti critici interni e sulla frontiera.

Interno

$\nabla f = (2x,\ -4y - 3) = \mathbf{0}$ dà $x = 0$, $y = -\frac34$. È interno: $0 + \frac9{16} < 1$. Valore: $$f\left(0, -\tfrac34\right) = -2\cdot\tfrac9{16} + \tfrac94 = -\tfrac98 + \tfrac{18}8 = \tfrac98.$$

Frontiera: metodo diretto

La frontiera è l'ellisse $\frac{x^2}4 + y^2 = 1$, parametrizzabile con $x = 2\cos t$, $y = \sin t$, $t \in [0, 2\pi]$. Si ha $x^2 = 4\cos^2 t = 4(1 - \sin^2 t)$, quindi, ponendo $s = \sin t$, $$\varphi(t) = 4 - 4s^2 - 2s^2 - 3s = 4 - 6s^2 - 3s =: \psi(s), \qquad s \in [-1, 1].$$ Poiché $s = \sin t$ assume tutti i valori di $[-1,1]$, estremizzare $\varphi$ su $t$ equivale a estremizzare la parabola $\psi$ su $[-1,1]$. Il vertice è in $s = -\frac14$ (da $\psi'(s) = -12s - 3 = 0$):

• $\psi\left(-\frac14\right) = 4 - \frac6{16} + \frac34 = \frac{35}8$ (massimo della parabola, concava);
• agli estremi: $\psi(1) = 4 - 6 - 3 = -5$ e $\psi(-1) = 4 - 6 + 3 = 1$.

I punti corrispondenti:

• $s = \sin t = -\frac14$: $\cos t = \pm\frac{\sqrt{15}}4$, quindi $x = \pm\frac{\sqrt{15}}2$, $y = -\frac14$ (due punti);
• $s = 1$: $(0, 1)$; $s = -1$: $(0, -1)$.

Confronto

I valori dei candidati sono $\frac98$ (interno), $\frac{35}8$ (in $\left(\pm\frac{\sqrt{15}}2, -\frac14\right)$), $-5$ (in $(0,1)$), $1$ (in $(0,-1)$). Quindi $$\max_D f = \frac{35}8 \ \text{ in } \left(\pm\frac{\sqrt{15}}2,\ -\frac14\right), \qquad \min_D f = -5 \ \text{ in } (0, 1).$$

Errori tipici

• Dimenticare il punto critico interno (sarebbe il candidato $\frac98$, che non vince ma va controllato).
• Dopo la sostituzione $s = \sin t$, dimenticare che $s$ varia in $[-1,1]$ e non su tutto $\mathbb{R}$: il vertice della parabola va confrontato con gli estremi $s = \pm1$.