Derivate seconde, teorema di Schwarz e formula di Taylor del secondo ordine

Prerequisiti: Derivate parziali, differenziabilità e piano tangenteLa derivata parziale f_{x_i}(x0) è la derivata di t ↦ f(x0 + t e_i); il gradiente ∇f raccoglie le derivate parziali. In più variabili l'esistenza delle derivate parziali NON implica la continuità. f è differenziabile in x0 se f(x0 + h) = f(x0) + a·h + o(|h|); allora f è continua, ha gradiente e a = ∇f(x0) (D). Il grafico ha piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) e normale (−f_x, −f_y, 1). Teorema del differenziale totale: se le derivate parziali esistono vicino a x0 e sono continue in x0, f è differenziabile; C^1 ⇒ differenziabile ⇒ derivabile e continua, ma i viceversa sono falsi. Regole: Leibniz, catena (f∘r)' = ∇f(r)·r'.Derivate parziali, differenziabilità e piano tangente →, Formula di Taylor con resto di PeanoUna funzione derivabile n volte in x0 si scrive, vicino a x0, come un polinomio di grado al più n (il polinomio di Taylor, costruito con le derivate in x0) più un errore o((x-x0)^n); il polinomio è unico. Per x0 = 0 si chiama sviluppo di Mac-Laurin.Formula di Taylor con resto di Peano →, Formula di Taylor con resto di LagrangeSe f ha n+1 derivate continue su [a,b], l'errore tra f e il suo polinomio di Taylor si scrive esattamente come f^(n+1)(c)(x-x0)^(n+1)/(n+1)! per un c opportuno: serve a stimare l'errore su tutto un intervallo e a scegliere il grado del polinomio.Formula di Taylor con resto di Lagrange →, Teoremi di Rolle e di LagrangeRolle: f continua su [a,b], derivabile in ]a,b[, f(a) = f(b) ⇒ esiste c in ]a,b[ con f'(c) = 0. Lagrange (valor medio): stesse ipotesi senza f(a) = f(b) ⇒ esiste c con f'(c) = (f(b) − f(a))/(b − a): la tangente in c è parallela alla corda. Conseguenza: su un intervallo f è costante se e solo se f' = 0; su un insieme che non è un intervallo è solo costante a tratti (arctan x + arctan(1/x)).Teoremi di Rolle e di Lagrange →.

Come in una variabile la derivata seconda dice come cambia la pendenza, in più variabili le derivate seconde descrivono come cambia il gradiente: da lì nasce la curvatura locale del grafico, che decide se un punto critico è un massimo, un minimo o una sella (Massimi e minimi liberi e natura dei punti criticiEstremo assoluto = vale in tutto il dominio, relativo = vale in un intorno; "libero" = il dominio è aperto. Fermat (D): in un punto interno di estremo locale dove f è derivabile, ∇f = 0 (punto critico); non basta (x³, −y³, sella x² − y²). Taylor al secondo ordine (D): con f in C² e ∇f(P) = 0, l'Hessiana definita positiva dà minimo locale stretto, definita negativa massimo locale stretto, indefinita sella; per n = 2: det H > 0 e f_xx > 0 minimo, det H > 0 e f_xx < 0 massimo, det H < 0 sella, det H = 0 non decide (x⁴ + y⁴, −x⁴ − y⁴, x⁴ − y⁴). Estremi globali: Weierstrass in un chiuso illimitato se f → +∞ (o −∞) all'infinito (D), da verificare in coordinate polari con una stima che non dipende dall'angolo.Massimi e minimi liberi e natura dei punti critici →).

1. Derivate seconde e matrice hessiana

Sia $A\subseteq\mathbb{R}^n$ aperto e $f:A\to\mathbb{R}$ con derivate parziali prime. Se queste sono a loro volta derivabili, si definiscono le derivate parziali seconde $$f_{x_ix_j}=(f_{x_i})_{x_j}=\frac{\partial}{\partial x_j}\Big(\frac{\partial f}{\partial x_i}\Big)=\frac{\partial^2f}{\partial x_j\,\partial x_i}\qquad(i,j=1,\dots,n),$$ cioè si deriva prima rispetto a $x_i$ e poi rispetto a $x_j$ (nella notazione a pedice l'ordine va da sinistra a destra). Per $i=j$ sono le derivate pure, per $i\ne j$ le miste. Si raccolgono nella matrice hessianamatrice simmetrica delle derivate parziali seconde $$H_f(\underline x)=\begin{pmatrix}f_{x_1x_1}&\cdots&f_{x_1x_n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\f_{x_nx_1}&\cdots&f_{x_nx_n}\end{pmatrix},\qquad n=2:\ H_f=\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{pmatrix}.$$ $f$ è di classe $C^2(A)$ se $f$, le $f_{x_i}$ e tutte le $f_{x_ix_j}$ esistono e sono continue.

Esempio. $f(x,y)=x\arctan y$: $f_x=\arctan y$, $f_y=\frac{x}{1+y^2}$ e $$f_{xx}=0,\quad f_{xy}=\frac{1}{1+y^2},\quad f_{yx}=\frac{1}{1+y^2},\quad f_{yy}=-\frac{2xy}{(1+y^2)^2},\qquad H_f\Big(\frac12,1\Big)=\begin{pmatrix}0&\frac12\\\frac12&-\frac14\end{pmatrix}.$$ Esempio. $f=e^{x^2y}$: $f_x=2xye^{x^2y}$, $f_y=x^2e^{x^2y}$, $f_{xx}=(2y+4x^2y^2)e^{x^2y}$, $f_{xy}=(2x+2x^3y)e^{x^2y}$, $f_{yy}=x^4e^{x^2y}$, quindi $H_f(1,1)=e\begin{pmatrix}6&4\\4&1\end{pmatrix}$. Esempio (norma). $f(\underline x)=|\underline x|$ in $\mathbb{R}^n\setminus\{\underline0\}$: $f_{x_k}=\frac{x_k}{|\underline x|}$ e, con la regola del quoziente e $\frac{\partial|\underline x|}{\partial x_i}=\frac{x_i}{|\underline x|}$, $f_{x_kx_i}=\frac{\delta_{ki}}{|\underline x|}-\frac{x_kx_i}{|\underline x|^3}$ ($\delta_{ki}=1$ se $k=i$, $0$ altrimenti). In forma matriciale $H_{|\cdot|}=\frac{1}{|\underline x|}\Big(I-\frac{\underline x\,\underline x^T}{|\underline x|^2}\Big)$: simmetrica.

2. Il teorema di Schwarz

Nei due esempi le derivate miste coincidono. Non è un caso, ma neppure sempre vero.

Teorema (Schwarz). Se $f_{x_i}$, $f_{x_j}$ e le derivate miste $f_{x_ix_j}$, $f_{x_jx_i}$ esistono in un intorno di $\underline x_0$ e le due derivate miste sono continue in $\underline x_0$, allora $f_{x_ix_j}(\underline x_0)=f_{x_jx_i}(\underline x_0)$. In particolare, se $f\in C^2(A)$ la matrice hessiana è simmetrica in ogni punto.

Idea della dimostrazione ($n=2$). Si calcola l'incremento sul rettangolo di lati $h,k$ in due modi: $$\Delta=f(x+h,y+k)-f(x+h,y)-f(x,y+k)+f(x,y).$$ Con $\varphi(s)=f(s,y+k)-f(s,y)$ si ha $\Delta=\varphi(x+h)-\varphi(x)=\varphi'(\xi)\,h$ (Lagrange) $=[f_x(\xi,y+k)-f_x(\xi,y)]\,h=f_{xy}(\xi,\eta)\,hk$ (ancora Lagrange, in $y$). Con $\psi(t)=f(x+h,t)-f(x,t)$ si ha invece $\Delta=\psi(y+k)-\psi(y)=f_{yx}(\xi',\eta')\,hk$. Quindi $f_{xy}(\xi,\eta)=f_{yx}(\xi',\eta')$ con punti che tendono a $(x,y)$ per $h,k\to0$; per la continuità, $f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)$.

Senza continuità l'uguaglianza può cadere. $f(x,y)=\dfrac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}$, $f(0,0)=0$. Per $h\ne0$, $\frac{f(h,y)}{h}=\frac{y(h^2-y^2)}{h^2+y^2}\to-y$ per $h\to0$, quindi $f_x(0,y)=-y$ e $f_{xy}(0,0)=-1$. Simmetricamente $f_y(x,0)=x$ e $f_{yx}(0,0)=+1$. Le derivate miste esistono nell'origine ma sono diverse (e non sono continue lì).

3. Forme quadratiche e differenziale secondo

Una matrice simmetrica $M=(m_{ij})$ definisce la forma quadraticapolinomio omogeneo di secondo grado nelle componenti $q(\underline h)=\underline h^TM\underline h=\sum_{i,j}m_{ij}h_ih_j$. Per $n=2$, con $M=\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}$ e $\underline h=(h,k)$: $$\underline h^TM\underline h=(h,k)\begin{pmatrix}ah+bk\\bh+ck\end{pmatrix}=ah^2+2b\,hk+ck^2 .$$

Definizione (differenziale secondo). Se $f\in C^2(A)$, il differenziale secondo in $\underline x_0$ è la forma quadratica associata all'hessiana: $$d^2f(\underline x_0)(\underline h)=\underline h^TH_f(\underline x_0)\underline h=\sum_{i,j=1}^nf_{x_ix_j}(\underline x_0)h_ih_j .$$ Per $n=2$: $d^2f(x_0,y_0)(h,k)=f_{xx}h^2+2f_{xy}hk+f_{yy}k^2$.

Esempio. $f=\sin(xy)$: $\nabla f=(y\cos xy,\,x\cos xy)$; $f_{xx}=-y^2\sin xy$, $f_{xy}=f_{yx}=\cos xy-xy\sin xy$, $f_{yy}=-x^2\sin xy$. In $(0,1)$ ($xy=0$): $H_f(0,1)=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ e $d^2f(0,1)(h,k)=2hk$.

4. Formula di Taylor del secondo ordine

Teorema (Taylor, resto di Peano) (D). Se $f\in C^2(A)$ e $\underline x_0\in A$, allora per $\underline h\to\underline 0$ $$f(\underline x_0+\underline h)=f(\underline x_0)+\nabla f(\underline x_0)\cdot\underline h+\frac12\,\underline h^TH_f(\underline x_0)\,\underline h+o(|\underline h|^2).$$

È il polinomio di secondo grado che meglio approssima $f$ vicino a $\underline x_0$: termine costante, parte lineare (il differenziale), parte quadratica (metà del differenziale secondo).

Dimostrazione. Sia $\underline h\ne\underline0$ piccolo (il segmento $[\underline x_0,\underline x_0+\underline h]$ sta in $A$), $t=|\underline h|$, $\underline v=\underline h/|\underline h|$, e $g(s)=f(\underline x_0+s\underline v)$ per $s\in[0,t]$. Per la regola della catena $g\in C^2$ e $$g'(s)=\nabla f(\underline x_0+s\underline v)\cdot\underline v,\qquad g''(s)=\sum_{i,j}f_{x_ix_j}(\underline x_0+s\underline v)\,v_iv_j=\underline v^TH_f(\underline x_0+s\underline v)\,\underline v .$$ La formula di Taylor in una variabile con resto di Lagrange (Formula di Taylor con resto di LagrangeSe f ha n+1 derivate continue su [a,b], l'errore tra f e il suo polinomio di Taylor si scrive esattamente come f^(n+1)(c)(x-x0)^(n+1)/(n+1)! per un c opportuno: serve a stimare l'errore su tutto un intervallo e a scegliere il grado del polinomio.Formula di Taylor con resto di Lagrange →) dà, per un certo $\sigma\in(0,t)$: $$g(t)=g(0)+g'(0)\,t+\tfrac12g''(\sigma)\,t^2 .$$ Poiché $g(t)=f(\underline x_0+\underline h)$, $g'(0)\,t=\nabla f(\underline x_0)\cdot\underline h$ e $g''(0)\,t^2=\underline h^TH_f(\underline x_0)\underline h$, rimane da controllare che $$\tfrac12\big[g''(\sigma)-g''(0)\big]t^2=\tfrac12\sum_{i,j}\big[f_{x_ix_j}(\underline x_0+\sigma\underline v)-f_{x_ix_j}(\underline x_0)\big]h_ih_j$$ sia $o(|\underline h|^2)$. Ma $|h_ih_j|\le|\underline h|^2$ e la differenza tra parentesi quadre tende a $0$ per $\underline h\to\underline 0$ indipendentemente da $\underline v$ (le $f_{x_ix_j}$ sono continue in $\underline x_0$ e $|\sigma\underline v|\le|\underline h|$). Quindi $\tfrac12[g''(\sigma)-g''(0)]t^2\le\tfrac12 n^2\,\varepsilon(\underline h)\,|\underline h|^2$ con $\varepsilon(\underline h)\to0$: è $o(|\underline h|^2)$. $\blacksquare$

(Si usa il resto di Lagrange e non quello di Peano proprio per avere uniformità rispetto alla direzione $\underline v$.)

Forma esplicita per $n=2$, con $h=x-x_0$, $k=y-y_0$: $$f(x,y)=f_0+f_x\,h+f_y\,k+\tfrac12\big[f_{xx}h^2+2f_{xy}hk+f_{yy}k^2\big]+o(h^2+k^2),$$ con tutte le derivate calcolate in $(x_0,y_0)$.

Esempio 1. $f=\sin(xy)$ in $(0,1)$: $f=0$, $\nabla f=(1,0)$, $H_f=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$. Con $h=x$, $k=y-1$: $$\sin(xy)=0+x+0\cdot k+\tfrac12\,[\,2\,x(y-1)\,]+o(x^2+(y-1)^2)=x+x(y-1)+o(\cdot)=xy+o\big(x^2+(y-1)^2\big),$$ cioè il polinomio di Taylor di secondo grado è proprio $xy$.

Esempio 2. $f=e^{x^2y}$ in $(1,1)$ (con $h=x-1$, $k=y-1$): $f=e$, $\nabla f=(2e,e)$, $H_f=e\begin{pmatrix}6&4\\4&1\end{pmatrix}$: $$e^{x^2y}=e\big[1+2h+k+3h^2+4hk+\tfrac12k^2\big]+o(h^2+k^2).$$

Esempio 3 (un limite con Taylor). $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1-\cos x\cos y}{x^2+y^2}$. Con $\cos t=1-\frac{t^2}2+o(t^2)$ si ha $\cos x\cos y=1-\frac{x^2}2-\frac{y^2}2+o(x^2+y^2)$ (i prodotti dei resti sono di ordine $\ge4$), quindi il numeratore è $\frac{x^2+y^2}{2}+o(x^2+y^2)$ e il limite vale $\frac12$. (Equivalente: Taylor di $f=\cos x\cos y$ in $\underline0$: $f=1$, $\nabla f=\underline0$, $H_f=-I$.)

Errori da evitare

• Scambiare l'ordine delle derivate miste senza Schwarz (vale se continue; la funzione $\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}$ è il controesempio).
• Dimenticare il fattore $2$ nel termine misto: $f_{xx}h^2+2f_{xy}hk+f_{yy}k^2$ (e il fattore $\frac12$ davanti a tutta la parte quadratica).
• Calcolare l'hessiana e non valutarla nel punto: nella formula di Taylor tutte le derivate sono calcolate in $\underline x_0$.
• Confondere $d^2f$ con $f''$: è una forma quadratica nelle variabili $h,k$, non un numero.

Esercizi svolti

• Esercizio - matrice hessiana e differenziale secondo (lezione 11)
• Esercizio - polinomio di Taylor del secondo ordine e limiti (lezione 11)
• Esercizio - derivate miste diverse e teorema di Schwarz (lezione 11)

Domande d'esame

1. Definire la matrice hessiana e la classe $C^2$; enunciare il teorema di Schwarz. Traccia: $f_{x_ix_j}=(f_{x_i})_{x_j}$; hessiana simmetrica se le miste sono continue; controesempio con miste $\pm1$.
2. Enunciare e dimostrare la formula di Taylor del secondo ordine con resto di Peano. Traccia: $g(s)=f(\underline x_0+s\underline v)$, $g'=\nabla f\cdot\underline v$, $g''=\underline v^TH\underline v$; Taylor in una variabile; uniformità rispetto a $\underline v$.
3. Che cos'è il differenziale secondo? Traccia: forma quadratica $\underline h^TH_f(\underline x_0)\underline h$; per $n=2$ $f_{xx}h^2+2f_{xy}hk+f_{yy}k^2$.