Cambiamento di variabili negli integrali doppi, integrali generalizzati e gaussiana

Molti integrali doppi sono difficili in coordinate cartesiane e diventano facili in altre: dischi e settori in coordinate polari, ellissi con una dilatazione, parallelogrammi con un cambio lineare. La regola è la stessa di una variabile ($\int f(x)\,dx = \int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt$), con il determinante della matrice jacobiana al posto della derivata (Funzioni a valori vettoriali, matrice jacobiana e trasformazioni di coordinateUna funzione f : A ⊆ Rⁿ → Rᵐ ha m componenti scalari f₁,…,f_m; il limite si fa componente per componente. È differenziabile in x₀ se f(x₀+h) − f(x₀) = Df(x₀)h + o(‖h‖), dove la matrice jacobiana Df(x₀) (m righe, n colonne) ha elemento (i,j) = ∂f_i/∂x_j: le righe sono i gradienti delle componenti. Se le componenti sono C¹ la f è differenziabile. Casi particolari: m = 1 (riga = gradiente), n = 1 (colonna = vettore tangente), f affine (Df = A). Regola della catena: D(g∘f)(x₀) = Dg(f(x₀))·Df(x₀). Trasformazioni di coordinate: polari (det = ρ), cilindriche (det = ρ), sferiche (det = ρ² sin φ); |det Df| è il fattore di variazione di aree o volumi.Funzioni a valori vettoriali, matrice jacobiana e trasformazioni di coordinate →). In fondo si calcola l'integrale della gaussiana su tutto il piano, che dà una delle costanti più importanti della probabilità (Variabili aleatorie normali (gaussiane)Z ~ N(0,1) ha densità e^{−x²/2}/√(2π) (normalizzata grazie all'integrale di Gauss), media 0, varianza 1, funzione di distribuzione Φ tabulata per x ≥ 0, con Φ(−x) = 1 − Φ(x). X ~ N(μ, σ²) se (X − μ)/σ ~ N(0,1), cioè X = μ + σZ: media μ, varianza σ², densità e^{−(x−μ)²/(2σ²)}/√(2πσ²). Si calcola sempre standardizzando: P(X ≤ a) = Φ((a − μ)/σ). Regola 68-95-99.7: P(|X − μ| ≤ σ) ≈ 0.683, ≤ 2σ ≈ 0.954, ≤ 3σ ≈ 0.997.Variabili aleatorie normali (gaussiane) →). Prerequisiti: Integrali doppi, domini semplici e formule di riduzioneL'integrale doppio ∬_R f su un rettangolo è il limite delle somme di Cauchy-Riemann Σ |I_hk| f(P_hk); per f ≥ 0 è il volume del cilindroide. Le funzioni continue sono integrabili. Formule di riduzione (Fubini): su R = [a,b]×[c,d] ∬ = ∫_c^d(∫_a^b f dx)dy = ∫_a^b(∫_c^d f dy)dx; per f = g(x)h(y) il prodotto di due integrali. Su un dominio y-semplice {a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)} (D): ∬ = ∫a^b(∫{g₁}^{g₂} f dy)dx, simmetricamente per i domini x-semplici; domini regolari = unioni finite di semplici, f continua è integrabile. Area |Ω| = ∬ 1; insiemi di area nulla (punti, segmenti, grafici di funzioni continue); f limitata con discontinuità su area nulla è integrabile. Proprietà: linearità, monotonia, additività; teorema della media integrale (D). Baricentro e momenti d'inerzia di una lamina.Integrali doppi, domini semplici e formule di riduzione →.

1. Come cambia l'area

In una variabile, se $\varphi : [c,d]\to[a,b]$ è biiettiva e $C^1$, vale $$\int_{[a,b]}f(x)\,dx = \int_{[c,d]}f(\varphi(t))\,|\varphi'(t)|\,dt,$$ e $|\varphi'(t)|$ è il fattore con cui $\varphi$ dilata le lunghezze. In due variabili si cerca una trasformazione $T : D'\to D$, $(u,v)\mapsto(x,y)$, e un fattore $[\,?\,]$ tale che $$\iint_Df(x,y)\,dx\,dy = \iint_{D'}f(T(u,v))\,[\,?\,]\,du\,dv.$$ Per $f\equiv1$ questa formula dice che $|D| = \iint_{D'}[\,?\,]$: il fattore deve essere la dilatazione locale delle aree prodotta da $T$.

Trasformazioni lineari. Sia $T(\mathbf{u}) = M\mathbf{u}$, $M$ matrice $2\times2$, e $P$ il parallelogramma generato da $\mathbf{z} = (z_1,z_2)$ e $\mathbf{w} = (w_1,w_2)$. Il suo corrispondente è il parallelogramma generato da $M\mathbf{z}$ e $M\mathbf{w}$. L'area di un parallelogramma è il modulo della terza componente del prodotto vettoriale (Prodotto vettoriale e prodotto mistoIl prodotto vettoriale v × w di due vettori di R³ è ortogonale a entrambi, ha norma uguale all'area del parallelogramma che formano e verso dato dalla regola della mano destra; si calcola con un determinante simbolico. Il prodotto misto u · (v × w) = det(u, v, w) è il volume (con segno) del parallelepipedo. Applicazioni: normale a un piano per tre punti, direzione di una retta intersezione di due piani, aree, volumi, distanza tra rette sghembe.Prodotto vettoriale e prodotto misto →): $|P| = |z_1w_2 - z_2w_1|$. Calcolando $(M\mathbf{z}\times M\mathbf{w})_3 = (m_{11}z_1+m_{12}z_2)(m_{21}w_1+m_{22}w_2) - (m_{21}z_1+m_{22}z_2)(m_{11}w_1+m_{12}w_2)$ i termini in $z_1w_1$ e in $z_2w_2$ si cancellano, e rimane $$(M\mathbf{z}\times M\mathbf{w})_3 = (m_{11}m_{22}-m_{12}m_{21})(z_1w_2-z_2w_1) = \det M\cdot(\mathbf{z}\times\mathbf{w})_3.$$ Quindi $|T(P)| = |\det M|\,|P|$: per le trasformazioni lineari il fattore è $|\det M|$.

Trasformazioni non lineari. Vicino a un punto $(u_0,v_0)$ una $T\in C^1$ si approssima con la sua parte affine, $T(u_0,v_0)+DT(u_0,v_0)\,(u-u_0,\,v-v_0)^T$, che dilata le aree di $|\det DT(u_0,v_0)|$. Questo è il fattore cercato.

2. Il teorema

Definizione (diffeomorfismo). $T : D'\to D$ è un diffeomorfismo (globale) se è biiettiva, di classe $C^1$ e la sua inversa è di classe $C^1$.

Teorema (cambiamento di variabili). Sia $D\subseteq\mathbb{R}^2$ un dominio regolare, $T : D'\to D$, $T(u,v) = (x(u,v), y(u,v))$ un diffeomorfismo e $f\in C(D)$. Allora $$\iint_Df(x,y)\,dx\,dy = \iint_{D'}f\big(x(u,v),y(u,v)\big)\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|du\,dv,\qquad \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| = |\det DT(u,v)|.$$

Regola mnemonica: $dx\,dy = \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|du\,dv$. Nei casi concreti la trasformazione può non essere biiettiva su un insieme di area nulla (per esempio la frontiera, o l'origine nelle polari) e la formula vale comunque. La dimostrazione completa non è richiesta.

Cosa si fa in pratica.

1. Scegliere le nuove variabili in modo che il dominio diventi semplice (un rettangolo nelle nuove coordinate) o l'integranda si semplifichi.
2. Scrivere $x(u,v)$, $y(u,v)$ e calcolare il determinante jacobiano.
3. Scrivere il nuovo dominio $D' = T^{-1}(D)$ con tutte le disuguaglianze.
4. Integrare $f(T(u,v))\cdot|\det DT|$ su $D'$.
5. Se si conosce $(u,v)=T^{-1}(x,y)$ ma non $T$, si può usare $\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| = \left|\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right|^{-1}$.

Esempio (lineare). Area dell'ellisse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le1$. Con $x = au$, $y = bv$ la matrice è $\operatorname{diag}(a,b)$, $\det = ab$, e l'ellisse corrisponde al disco $u^2+v^2\le1$ di area $\pi$. Quindi $|E| = ab\cdot\pi = \pi ab$.

Esempio (somma e differenza). Integrare su $T = \{a\le x+y\le b,\ x>0,\ y>0\}$ la funzione $\frac{\tan(x+y)}{x+y}$ con $0\le a<b<\frac\pi2$. Si pone $u = x+y$, $v = x$, cioè $x = v$, $y = u-v$; $\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \det\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix} = -1$, modulo $1$. Il dominio diventa $a\le u\le b$, $0<v<u$ (da $y>0$). Allora $\iint = \int_a^b\left(\int_0^u\frac{\tan u}{u}dv\right)du = \int_a^b\tan u\,du = \ln\frac{\cos a}{\cos b}$. Il calcolo con numeri è in Esercizio - Cambio di variabili lineare con somma e differenza (esercizio 35).

3. Coordinate polari

Si fissa un polo $(x_0,y_0)$ e si pone $$\begin{cases}x = x_0+\rho\cos\theta\\ y = y_0+\rho\sin\theta\end{cases}\qquad\rho\ge0,\ \theta\in[0,2\pi),$$ dove $\rho$ è la distanza dal polo e $\theta$ l'angolo con la direzione dell'asse $x$. La jacobiana è $\begin{pmatrix}\cos\theta&-\rho\sin\theta\\ \sin\theta&\rho\cos\theta\end{pmatrix}$ con determinante $\rho$: $$\boxed{\iint_Df(x,y)\,dx\,dy = \iint_{D'}f(x_0+\rho\cos\theta,\ y_0+\rho\sin\theta)\,\rho\,d\rho\,d\theta}$$ Il fattore $\rho$ non va mai dimenticato. La trasformazione non è biiettiva solo nel polo ($\rho=0$, qualunque $\theta$) e sulla semiretta $\theta=0$ / $\theta=2\pi$: insiemi di area nulla.

Quando usarle: dominio fatto di cerchi, settori, corone; integranda che dipende da $x^2+y^2$ (o da $\arctan(y/x)$).

Come si trova $D'$. Si sostituiscono $x=\rho\cos\theta$, $y=\rho\sin\theta$ nelle disuguaglianze.

• Disco $x^2+y^2\le R^2$: $0\le\rho\le R$, $\theta\in[0,2\pi]$.
• Settore di corona circolare $R_1\le\sqrt{x^2+y^2}\le R_2$, $\theta_1\le\theta\le\theta_2$: $D'$ è il rettangolo $[R_1,R_2]\times[\theta_1,\theta_2]$ e l'area è $\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{R_1}^{R_2}\rho\,d\rho\,d\theta = \frac12(R_2^2-R_1^2)(\theta_2-\theta_1)$.
• Disco non centrato nell'origine $x^2+y^2\le2ax$ (centro $(a,0)$, raggio $a$): sostituendo, $\rho^2\le2a\rho\cos\theta$, cioè $0\le\rho\le2a\cos\theta$ con $\cos\theta\ge0$, $\theta\in[-\frac\pi2,\frac\pi2]$. Area: $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2a\cos\theta}\rho\,d\rho\,d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}2a^2\cos^2\theta\,d\theta = 2a^2\cdot\frac\pi2 = \pi a^2$ ✓ (su quell'intervallo $\int\cos^2\theta\,d\theta = \frac\pi2$). In alternativa si usano le polari centrate nel centro $(a,0)$.

Esempio (centroide della corona). $T = \{1\le x^2+y^2\le2,\ y\ge x\}$: in polari $1\le\rho\le\sqrt2$ e $\frac\pi4\le\theta\le\frac{5\pi}4$ (il semipiano $y\ge x$ è la fascia di angoli da $45^\circ$ a $225^\circ$). Il calcolo è nell'Esercizio - Baricentro di un settore di corona circolare e disco non centrato (esercizio 42).

Esempio (volume sotto un paraboloide). La regione sotto $z = 1-x^2-y^2$ sopra il disco $x^2+y^2\le1$ ha volume $\int_0^{2\pi}\int_0^1(1-\rho^2)\rho\,d\rho\,d\theta = 2\pi\left[\frac{\rho^2}2-\frac{\rho^4}4\right]_0^1 = \frac\pi2$.

Polari ellittiche. Per le ellissi si usa $x = a\rho\cos\theta$, $y = b\rho\sin\theta$, con determinante $ab\rho$ e $\rho\in[0,1]$ per l'ellisse piena $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le1$. Area: $\int_0^{2\pi}\int_0^1ab\rho\,d\rho\,d\theta = \pi ab$.

4. Simmetrie

Proposizione. Sia $D$ misurabile e simmetrico rispetto all'asse $y$ (se $(x,y)\in D$ allora $(-x,y)\in D$) e $f$ integrabile su $D$.

• Se $f$ è dispari in $x$, cioè $f(-x,y) = -f(x,y)$: $\iint_Df = 0$.
• Se $f$ è pari in $x$: $\iint_Df = 2\iint_{D\cap\{x\ge0\}}f$.

Dimostrazione (D). $D = (D\cap\{x\le0\})\cup(D\cap\{x\ge0\})$ e l'intersezione sta sulla retta $x=0$ (area nulla), quindi per additività $\iint_D = \iint_{D\cap\{x\le0\}}+\iint_{D\cap\{x\ge0\}}$. Nel primo integrale si fa il cambio di variabili $x=-u$, $y=v$: la jacobiana è $\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}$ con $|\det|=1$, e per la simmetria di $D$ il dominio $D\cap\{x\le0\}$ corrisponde a $D\cap\{u\ge0\}$. Perciò $$\iint_{D\cap\{x\le0\}}f(x,y)\,dx\,dy = \iint_{D\cap\{u\ge0\}}f(-u,v)\,du\,dv.$$ Rinominando le variabili, $\iint_D f = \iint_{D\cap\{x\ge0\}}[f(-x,y)+f(x,y)]\,dx\,dy$. Se $f$ è dispari il contenuto della parentesi è $0$; se è pari è $2f(x,y)$. $\blacksquare$

Stessa cosa con la simmetria rispetto all'asse $x$ e $f$ pari/dispari in $y$. Esempio. Il centroide di un dominio simmetrico rispetto all'asse $y$ ha $x_B=0$, perché $x$ è dispari.

5. Integrali generalizzati

L'integrale di Riemann è definito su insiemi limitati con integranda limitata. Per un dominio illimitato, o per un'integranda illimitata, si procede con un passaggio al limite. Il caso di cui si occupa il corso: $f : \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ continua e non negativa.

Definizione (successione invadente). Una successione di insiemi $D_j$ invade $\mathbb{R}^2$ se ogni $D_j$ è un dominio regolare, $D_j\subseteq D_{j+1}$, e $\bigcup_jD_j = \mathbb{R}^2$. Esempi: i dischi $\overline{B}_j(\mathbf{0})$ e i quadrati $[-j,j]^2$.

Definizione. $\displaystyle\iint_{\mathbb{R}^2}f\,dx\,dy := \lim_{j\to\infty}\iint_{D_j}f\,dx\,dy.$

Poiché $f\ge0$ e $D_j\subseteq D_{j+1}$, la successione $a_j = \iint_{D_j}f$ è crescente, quindi il limite esiste sempre, finito o $+\infty$; $f$ è integrabile in senso generalizzato se è finito.

Teorema. Se $f\ge0$ è continua, il valore del limite non dipende dalla successione invadente.

(La dimostrazione non è richiesta.) Conseguenza: si sceglie la successione che rende i conti più comodi, dischi per integrande radiali, quadrati per integrande a variabili separate.

Stesso discorso per integranda illimitata: se $f\ge0$ è continua tranne in un punto (o su una curva) dove diverge, si integra su insiemi che invadono il dominio privato del punto singolare.

Esempio (potenze di $\rho$). Sia $f(x,y) = \frac{1}{(x^2+y^2)^\alpha}$.

• Vicino all'origine: $\iint_{\varepsilon\le\rho\le1}f = 2\pi\int_\varepsilon^1\rho^{1-2\alpha}d\rho$. Per $\varepsilon\to0$ il limite è finito se e solo se $1-2\alpha>-1$, cioè $\alpha<1$ (per $\alpha=1$ si ha $2\pi\ln\frac1\varepsilon\to\infty$).
• All'infinito: $\iint_{1\le\rho\le R}f = 2\pi\int_1^R\rho^{1-2\alpha}d\rho$ ha limite finito per $R\to\infty$ se e solo se $1-2\alpha<-1$, cioè $\alpha>1$. Quindi nessun $\alpha$ rende $f$ integrabile sia vicino all'origine sia all'infinito, ma $\alpha<1$ lo è vicino a $0$ e $\alpha>1$ vicino a $\infty$.

6. L'integrale della gaussiana

Teorema (integrale di Gauss). $\displaystyle\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-\frac{x^2+y^2}2}\,dx\,dy = 2\pi$ e di conseguenza $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}2}\,dx = \sqrt{2\pi}$.

Dimostrazione (D). La funzione $f(x,y) = e^{-(x^2+y^2)/2}$ è continua e positiva: vale la definizione precedente.

1. Con i dischi $D_j = \{x^2+y^2\le j^2\}$, in polari ($\rho\in[0,j]$, $\theta\in[0,2\pi]$, fattore $\rho$): $$\iint_{D_j}f = \int_0^{2\pi}d\theta\int_0^je^{-\rho^2/2}\rho\,d\rho = 2\pi\Big[-e^{-\rho^2/2}\Big]_0^j = 2\pi\big(1-e^{-j^2/2}\big)\xrightarrow[j\to\infty]{}2\pi.$$ (L'integrale radiale si fa con $u=\rho^2/2$, $du=\rho\,d\rho$: è proprio il fattore $\rho$ della jacobiana a rendere l'integrale elementare.)
2. Con i quadrati $Q_j = [-j,j]^2$, per il teorema di indipendenza dalla successione il limite è lo stesso. Poiché $f(x,y) = e^{-x^2/2}\,e^{-y^2/2}$ è a variabili separate, $$\iint_{Q_j}f = \left(\int_{-j}^je^{-x^2/2}dx\right)^2.$$
3. Dunque $\left(\int_{-j}^je^{-x^2/2}dx\right)^2\to2\pi$, ossia $\int_{-j}^je^{-x^2/2}dx\to\sqrt{2\pi}$ (l'integrale è positivo): $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2/2}dx = \sqrt{2\pi}$. $\blacksquare$

Conseguenze. Con $x=\sqrt2\,t$: $\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2}dt = \sqrt\pi$. La funzione $\varphi(x) = \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ ha integrale $1$ ed è la densità della variabile aleatoria normale standard $N(0,1)$; $\frac1{2\pi}e^{-(x^2+y^2)/2}$ è la densità del vettore gaussiano standard di due componenti indipendenti (Variabili aleatorie normali (gaussiane)Z ~ N(0,1) ha densità e^{−x²/2}/√(2π) (normalizzata grazie all'integrale di Gauss), media 0, varianza 1, funzione di distribuzione Φ tabulata per x ≥ 0, con Φ(−x) = 1 − Φ(x). X ~ N(μ, σ²) se (X − μ)/σ ~ N(0,1), cioè X = μ + σZ: media μ, varianza σ², densità e^{−(x−μ)²/(2σ²)}/√(2πσ²). Si calcola sempre standardizzando: P(X ≤ a) = Φ((a − μ)/σ). Regola 68-95-99.7: P(|X − μ| ≤ σ) ≈ 0.683, ≤ 2σ ≈ 0.954, ≤ 3σ ≈ 0.997.Variabili aleatorie normali (gaussiane) →; stessa trattazione in Integrali doppi generalizzati e integrale di GaussPer f ≥ 0 su domini illimitati (o con f illimitata) l'integrale doppio generalizzato si calcola con le formule di riduzione o con un cambio di variabili: se il risultato è finito, f è integrabile e l'integrale è quel valore (criterio per funzioni positive). Con f di segno variabile gli integrali iterati possono esistere finiti ma essere diversi. Integrale di Gauss: ∫_{−∞}^{+∞} e^{−t²} dt = √π, ottenuto integrando e^{−x²−y²} sul piano in due modi (riduzione: I²; polari: π).Integrali doppi generalizzati e integrale di Gauss →).

Esempio (con un'ellisse). $\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-(x^2+4y^2)}dx\,dy$. Con $x=u$, $y=v/2$ (determinante $\frac12$): $\frac12\iint e^{-(u^2+v^2)}du\,dv = \frac12\left(\int e^{-t^2}dt\right)^2 = \frac12\pi = \frac\pi2$.

7. Errori da evitare

• Dimenticare il fattore $\rho$ (o $|\det DT|$ in genere).
• Dimenticare il valore assoluto del determinante jacobiano.
• Scrivere male il nuovo dominio: per un disco non centrato il raggio dipende da $\theta$; per $\theta$ si controlla l'intervallo giusto (nel quarto quadrante $\arctan(\tan\theta)=\theta$ per $\theta\in(-\frac\pi2,0)$, non per $\theta\in(\frac{3\pi}2,2\pi)$).
• Usare un cambio non biiettivo su un insieme di area positiva (vedi la trasformazione $z\mapsto z^2$ in Esercizio - Trasformazione quadratica, determinante jacobiano e inversa (lezione 19)).
• Passare a polari con integranda non radiale senza necessità: se il dominio è un rettangolo conviene restare in cartesiane.

Esercizi svolti: Esercizio - Volume di un cilindroide con arcotangente su un settore di corona (appello 31 gennaio 2023), Esercizio - Cambio di variabili lineare con somma e differenza (esercizio 35), Esercizio - Baricentro di un settore di corona circolare e disco non centrato (esercizio 42), Esercizio - Integrali generalizzati, gaussiana e potenze (lezione 22).

Domande d'esame

1. Enunciare il teorema del cambiamento di variabili negli integrali doppi. Perché il fattore è $|\det DT|$ nel caso lineare? Traccia. Enunciato con diffeomorfismo $T : D'\to D$; caso lineare: $|T(P)| = |\det M||P|$ con il prodotto vettoriale; caso $C^1$: approssimazione affine.
2. Calcolare la jacobiana delle coordinate polari e dedurre la formula $dx\,dy = \rho\,d\rho\,d\theta$. Traccia. $\det\begin{pmatrix}\cos\theta&-\rho\sin\theta\\ \sin\theta&\rho\cos\theta\end{pmatrix} = \rho$.
3. Dimostrare che $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2/2}dx = \sqrt{2\pi}$. Traccia. Doppio integrale di $e^{-(x^2+y^2)/2}$ su $\mathbb{R}^2$ con dischi (polari, $2\pi$) e con quadrati (quadrato dell'integrale unidimensionale); indipendenza dalla successione invadente.
4. Dimostrare la proposizione sulle simmetrie. Traccia. Additività, riflessione $x\to-x$ con $|\det|=1$.