Topologia di Rn, teorema di Weierstrass e teorema degli zeri

Prerequisiti: Funzioni di più variabili, limiti e continuitàUna funzione scalare di n variabili f : A ⊆ R^n → R ha dominio naturale (dove la formula ha senso), grafico (superficie in R^{n+1}) e insiemi di livello {f = c}. Il limite in x0 (punto di accumulazione) si definisce con ε-δ o con le successioni (Heine); per negare l'esistenza si confrontano restrizioni a curve diverse (rette, parabole), per dimostrarla si maggiora |f − L| con g(ρ) → 0 indipendente da θ (coordinate polari) o si usano i due carabinieri. f è continua in x0 se lim = f(x0). I limiti iterati non bastano.Funzioni di più variabili, limiti e continuità →, Funzioni continue su un intervalloTeoremi sulle funzioni continue su un intervallo: zeri (con la bisezione), valori intermedi (f manda intervalli in intervalli), monotonia e continuità, continuità dell'inversa, Weierstrass (su [a, b] ci sono massimo e minimo).Funzioni continue su un intervallo → (teoremi di Weierstrass e degli zeri in una variabile), Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettorialiUna curva è una funzione continua r : [a,b] → R^m; il sostegno è la sua immagine. Limiti, continuità e derivate si fanno componente per componente. La curva è regolare se r è C^1 e r'(t) ≠ 0 ovunque: allora r'(t) è il vettore tangente e la retta tangente è r(t0) + λ r'(t0). Esempi: circonferenza, segmento, grafico (t, f(t)), curve polari (f(θ)cosθ, f(θ)sinθ) regolari se f' ≠ 0 dove f = 0, elica, cuspide (t²,t³). L'integrale di r si fa per componenti; vale ∫ r' = r(b) − r(a) e ‖∫ r‖ ≤ ∫ ‖r‖.Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettoriali → (curve continue).

1. Interno, esterno, frontiera

Sia $E\subseteq\mathbb{R}^n$ e sia $B_r(\underline x)=\{\underline y : |\underline y-\underline x|<r\}$ l'intorno sferico. Il piano si divide, rispetto a $E$, in tre insiemi.

Definizione.

• $\underline x$ è interno a $E$ se $\exists r>0:\ B_r(\underline x)\subseteq E$. L'insieme dei punti interni è l'interno $\mathring E\subseteq E$.
• $\underline x$ è esterno a $E$ se è interno al complementare $E^c=\mathbb{R}^n\setminus E$: $\exists r:\ B_r(\underline x)\cap E=\emptyset$.
• $\underline x$ è di frontiera se non è né interno né esterno, cioè se ogni intorno contiene sia punti di $E$ sia punti di $E^c$. L'insieme è $\partial E$.
• La chiusura è $\overline E=E\cup\partial E$.

Interno, esterno e frontiera sono a due a due disgiunti e la loro unione è tutto $\mathbb{R}^n$: ogni punto cade in uno e uno solo. Valgono $\mathring E\subseteq E\subseteq\overline E$ (anche strette), $\partial E=\overline E\setminus\mathring E$ (non $\overline E\setminus E$: la frontiera può contenere punti di $E$) e $\partial E=\partial(E^c)$.

Esempio 1. $E=\{(x,y): x\ge0,\ y>0\}$. Un punto con $x>0,y>0$ ha un disco attorno contenuto in $E$: interno. Un punto $(0,y_0)$, $y_0>0$, ha a sinistra punti con $x<0$ fuori da $E$: non interno. Quindi $$\mathring E=\{x>0,\ y>0\},\quad\partial E=\{(x,0):x\ge0\}\cup\{(0,y):y\ge0\},\quad\overline E=\{x\ge0,\ y\ge0\}.$$ Qui $(0,1)\in E\cap\partial E$ e $(1,0)\in\overline E\setminus E$.

Esempio 2. $E=\{x\le y\}\cup\{(0,-1)\}$ (semipiano chiuso più un punto isolato). Interno: il semipiano aperto $\{x<y\}$ (un punto della bisettrice ha in ogni intorno punti con $x>y$). Esterno: $\{x>y\}\setminus\{(0,-1)\}$. Frontiera: la bisettrice e il punto $(0,-1)$ (ogni intorno di quest'ultimo contiene punti fuori da $E$).

2. Aperti e chiusi

Definizione. $E$ è aperto se $E=\mathring E$, cioè se ogni suo punto è interno. $E$ è chiuso se $E^c$ è aperto.

Vale l'equivalenza: $E$ chiuso $\iff\partial E\subseteq E\iff E=\overline E$. $\mathbb{R}^n$ e $\emptyset$ sono sia aperti sia chiusi; in $\mathbb{R}$, $(a,b)$ è aperto, $[a,b]$ chiuso, $[a,b)$ né l'uno né l'altro.

Teorema. La palla aperta $B_r(\underline x_0)$ è un insieme aperto; la palla chiusa $\{|\underline y-\underline x_0|\le r\}$ e la sfera $\{|\underline y-\underline x_0|=r\}$ sono chiuse.

Dimostrazione. Palla aperta. Sia $\underline y\in B_r(\underline x_0)$ e $\varepsilon=r-|\underline y-\underline x_0|>0$. Se $|\underline z-\underline y|<\varepsilon$, per la disuguaglianza triangolare $$|\underline z-\underline x_0|\le|\underline z-\underline y|+|\underline y-\underline x_0|<\varepsilon+|\underline y-\underline x_0|=r ,$$ quindi $B_\varepsilon(\underline y)\subseteq B_r(\underline x_0)$. Palla chiusa. Il complementare è $\{|\underline y-\underline x_0|>r\}$. Se $\underline y$ ci sta, sia $\varepsilon=|\underline y-\underline x_0|-r>0$; se $|\underline z-\underline y|<\varepsilon$, dalla disuguaglianza triangolare inversa $|\underline z-\underline x_0|\ge|\underline y-\underline x_0|-|\underline y-\underline z|>r$, quindi $B_\varepsilon(\underline y)$ sta nel complementare: questo è aperto. Sfera. Il suo complementare è l'unione della palla aperta e del complementare della palla chiusa, due aperti; un'unione di aperti è aperta. $\blacksquare$

Proprietà. L'unione di aperti (anche infiniti) è aperta e l'intersezione di un numero finito di aperti è aperta; dualmente, l'intersezione di chiusi è chiusa e l'unione di un numero finito di chiusi è chiusa.

Caratterizzazione con le successioni. $E$ è chiuso $\iff$ ogni successione $\underline x_k\in E$ convergente ha limite in $E$. (Se $E$ è chiuso e $\underline x_k\to\underline x\notin E$, un intorno di $\underline x$ sta in $E^c$ e definitivamente $\underline x_k\in E^c$: assurdo. Viceversa se $E^c$ non fosse aperto, esisterebbe $\underline x\in E^c$ i cui intorni $B_{1/k}(\underline x)$ contengono punti $\underline x_k\in E$, con $\underline x_k\to\underline x\notin E$.)

Riconoscere aperti e chiusi dalle disuguaglianze

Proposizione. Se $f$ è continua su $\mathbb{R}^n$ (o su un aperto), allora per ogni $c$ gli insiemi $\{f<c\}$ e $\{f>c\}$ sono aperti, mentre $\{f\le c\}$, $\{f\ge c\}$, $\{f=c\}$ sono chiusi (in $\mathbb{R}^n$). In generale la controimmagine di un aperto è aperta e quella di un chiuso è chiusa.

(Prova per $\{f<c\}$: se $f(\underline x_0)<c$, per la continuità e la permanenza del segno applicata a $c-f$ esiste un intorno in cui $f<c$.)

Esempio. $\{0<|\underline x|<R\}=\{|\underline x|>0\}\cap\{|\underline x|<R\}$ è l'intersezione di due aperti: aperto. Non è chiuso (non contiene $\underline 0$ né la sfera di raggio $R$, che sono di frontiera), è limitato; $\partial E=\{\underline 0\}\cup\{|\underline x|=R\}$ e $\overline E=\{|\underline x|\le R\}$. Esempio. $\{x^2+y^2<4\}\cap\{y\ge x^2\}$: aperto $\cap$ chiuso. Non è né aperto né chiuso (sul bordo del disco non c'è la circonferenza ma c'è la parabola).

Limitati, illimitati, compatti

$E$ è limitato se $E\subseteq B_k(\underline 0)$ per qualche $k$ (esiste $k$ con $|\underline x|\le k$ per ogni $\underline x\in E$). Una palla è limitata (se $|\underline x|<r$ allora $\underline x$ sta nella palla di raggio $r$ centrata in $\underline 0$; se centrata altrove si sposta il raggio di $|\underline x_0|$). In $\mathbb{R}^n$ un insieme compattoinsieme chiuso e limitato è un insieme chiuso e limitato. Un insieme illimitato di $\mathbb{R}^n$ può sfuggire all'infinito in una sola direzione (un quadrante, una striscia, un semipiano, una parabola riempita).

3. Teorema di Weierstrass

Teorema (Weierstrass). Se $K\subseteq\mathbb{R}^n$ è compatto (non vuoto) e $f:K\to\mathbb{R}$ è continua, allora $f$ ha massimo e minimo assoluti in $K$.

La dimostrazione ricalca quella di una variabile (Funzioni continue su un intervalloTeoremi sulle funzioni continue su un intervallo: zeri (con la bisezione), valori intermedi (f manda intervalli in intervalli), monotonia e continuità, continuità dell'inversa, Weierstrass (su [a, b] ci sono massimo e minimo).Funzioni continue su un intervallo →): $K$ chiuso e limitato implica che da ogni successione si estrae una sottosuccessione convergente a un punto di $K$ (chiuso) e la continuità conclude. Va applicato dichiarando le tre ipotesi: continua, chiuso, limitato.

Esempio. $f(x,y)=x^2y$ sul disco $x^2+y^2\le1$: il disco è chiuso (è $\{g\le1\}$ con $g$ continua) e limitato, $f$ è un polinomio. Massimo e minimo esistono.

Insiemi illimitati. Se $C$ non è limitato Weierstrass non si applica direttamente, ma spesso si può comunque concludere:

Corollario. Sia $C\subseteq\mathbb{R}^n$ chiuso, $f:C\to\mathbb{R}$ continua. Se $\displaystyle\lim_{|\underline x|\to\infty,\ \underline x\in C}f(\underline x)=+\infty$, allora $f$ ha un minimo assoluto in $C$. Se il limite è $-\infty$, ha un massimo assoluto.

Dimostrazione (caso $+\infty$). Si fissa un punto $\underline x_1\in C$ e si pone $M=f(\underline x_1)$. Dato che $f\to+\infty$, esiste $R\ge|\underline x_1|$ tale che $f(\underline x)>M$ se $\underline x\in C$, $|\underline x|>R$. Sia $K=C\cap\overline B_R(\underline 0)$: è chiuso (intersezione di chiusi), limitato e contiene $\underline x_1$. Per Weierstrass esiste $\underline x_0\in K$ di minimo di $f$ su $K$, e $f(\underline x_0)\le f(\underline x_1)=M$. Fuori da $K$, $f>M\ge f(\underline x_0)$. Quindi $\underline x_0$ è minimo assoluto su tutto $C$. $\blacksquare$

La stessa idea funziona se $f\to L$ finito all'infinito e $f$ assume in qualche punto un valore diverso da $L$ (maggiore di $L$ per il massimo, minore di $L$ per il minimo): fuori da una palla la funzione sta troppo vicina a $L$ per battere quel valore.

Esempio. $f(x,y)=x^2+y^2-xy\ge\frac12(x^2+y^2)$ (perché $xy\le\frac12(x^2+y^2)$) $\to+\infty$: ha minimo assoluto su $\mathbb{R}^2$ (è $0$ nell'origine); non ha massimo, essendo illimitata superiormente.

4. Insiemi connessi e teorema degli zeri

Definizione. $E\subseteq\mathbb{R}^n$ è connesso per archifatto di un solo pezzo: due punti qualsiasi si uniscono con una curva continua dentro l'insieme se per ogni $\underline x,\underline y\in E$ esiste una curva continua $\underline\gamma:[a,b]\to E$ con $\underline\gamma(a)=\underline x$, $\underline\gamma(b)=\underline y$ (cioè il sostegno sta in $E$).

In $\mathbb{R}$ i connessi sono gli intervalli. In $\mathbb{R}^2$: un disco, un semipiano, un anello sono connessi; due dischi disgiunti no (ogni curva che li unisce passa per punti fuori da $E$); $\{xy>0\}$ (primo e terzo quadrante aperti) non è connesso, ma aggiungendo l'origine $\{xy>0\}\cup\{\underline 0\}$ lo diventa (si passa da un quadrante all'altro per l'origine, con due segmenti).

Teorema degli zeri. Sia $E\subseteq\mathbb{R}^n$ connesso, $f:E\to\mathbb{R}$ continua. Se $f(\underline x)>0$ e $f(\underline y)<0$ per due punti di $E$, esiste $\underline z\in E$ con $f(\underline z)=0$.

Dimostrazione (D). Sia $\underline\gamma:[a,b]\to E$ continua da $\underline x$ a $\underline y$. La funzione $g=f\circ\underline\gamma:[a,b]\to\mathbb{R}$ è continua (composizione di continue), con $g(a)=f(\underline x)>0$ e $g(b)=f(\underline y)<0$. Per il teorema degli zeri di Analisi 1 esiste $\bar t\in(a,b)$ con $g(\bar t)=0$. Il punto $\underline z=\underline\gamma(\bar t)\in E$ ha $f(\underline z)=0$. $\blacksquare$

Conseguenza pratica: studio del segno. Se $E$ è connesso, $f$ continua e non si annulla mai in $E$, allora ha segno costante. Perciò, per studiare il segno di $f$: (1) si disegna l'insieme $Z=\{f=0\}$; (2) si guardano le regioni connesse in cui $Z$ spezza il piano; (3) in ciascuna si prova un solo punto.

Esempio. $f(x,y)=x^2-y^2-1$. $Z=\{x^2-y^2=1\}$ è l'iperbole equilatera con vertici $(\pm1,0)$ e asintoti $y=\pm x$, e divide il piano in tre regioni connesse: a sinistra del ramo sinistro $R_1$, la fascia centrale $R_2$, a destra del ramo destro $R_3$. Punti di prova: $f(-2,0)=3>0$, $f(0,0)=-1<0$, $f(2,0)=3>0$. Quindi $f>0$ in $R_1\cup R_3$, $f<0$ in $R_2$.

Errori da evitare

• Interno/chiusura: $\partial E=\overline E\setminus\mathring E$, non $\overline E\setminus E$. Un insieme può non essere né aperto né chiuso.
• Weierstrass senza ipotesi: va controllato che l'insieme sia chiuso e limitato (un disco aperto non basta: $f=x$ su $\{x^2+y^2<1\}$ non ha né massimo né minimo).
• Zeri su insiemi non connessi: il teorema non vale (basta pensare a $f=\pm1$ su due dischi separati).
• Connesso $\ne$ convesso: un anello è connesso e non convesso.

Esercizi svolti

• Esercizio - interno, frontiera e chiusura di insiemi del piano (lezioni 7, 8 e 10)
• Esercizio - zeri di funzioni continue su insiemi connessi (esercizi 2025-26)
• Esercizio - esistenza di massimo e minimo con Weierstrass (lezione 13)

Domande d'esame

1. Definire insieme aperto e chiuso; dimostrare che la palla aperta è un insieme aperto. Traccia: punto interno; $\varepsilon=r-|\underline y-\underline x_0|$ e disuguaglianza triangolare.
2. Enunciare il teorema di Weierstrass e dire come si estende a un chiuso illimitato. Traccia: compatto = chiuso e limitato; se $f\to+\infty$ all'infinito, minimo; dimostrazione con la palla $\overline B_R$.
3. Enunciare e dimostrare il teorema degli zeri per funzioni di più variabili. Traccia: curva che congiunge i punti, $g=f\circ\gamma$ continua, zeri di Analisi 1.