Esercizio - spirale di Archimede, curvatura e componenti dell'accelerazione (foglio 1)

Teoria: Lunghezza di una curva e ascissa curvilineaLa lunghezza di una curva è l'estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte. Se r è C^1 la curva è rettificabile e ℓ = ∫|r'(t)|dt (grafici: ∫√(1+f'^2); polari: ∫√(f²+f'^2)). La lunghezza non cambia riparametrizzando, anche invertendo il verso. L'ascissa curvilinea s(t)=∫|r'| dà la parametrizzazione a velocità 1: T = dr/ds. Con essa si definiscono curvatura κ=|dT/ds| e normale N; l'accelerazione è a = v' T + κ v² N.Lunghezza di una curva e ascissa curvilinea →, Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettorialiUna curva è una funzione continua r : [a,b] → R^m; il sostegno è la sua immagine. Limiti, continuità e derivate si fanno componente per componente. La curva è regolare se r è C^1 e r'(t) ≠ 0 ovunque: allora r'(t) è il vettore tangente e la retta tangente è r(t0) + λ r'(t0). Esempi: circonferenza, segmento, grafico (t, f(t)), curve polari (f(θ)cosθ, f(θ)sinθ) regolari se f' ≠ 0 dove f = 0, elica, cuspide (t²,t³). L'integrale di r si fa per componenti; vale ∫ r' = r(b) − r(a) e ‖∫ r‖ ≤ ∫ ‖r‖.Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettoriali →.

Testo. Per la spirale di Archimede $\rho = \theta$, $\theta \in [0, 4\pi]$, calcolare velocità, accelerazione, versore tangente, componenti tangenziale e normale dell'accelerazione, curvatura, raggio di curvatura, versore normale e lunghezza.

(Fonte: esercizio 14 del foglio 1, corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD.)

Soluzione

Parametrizzazione. $\gamma(\theta) = (\theta\cos\theta,\ \theta\sin\theta)$. Conviene usare la base polare $\underline u_\rho = (\cos\theta, \sin\theta)$ (verso l'esterno) e $\underline u_\theta = (-\sin\theta, \cos\theta)$ (perpendicolare, in senso antiorario), con $\underline u_\rho' = \underline u_\theta$ e $\underline u_\theta' = -\underline u_\rho$.

Velocità. $\gamma = \theta\,\underline u_\rho$, quindi $\gamma' = \underline u_\rho + \theta\,\underline u_\theta$, cioè $\gamma' = (\cos\theta - \theta\sin\theta,\ \sin\theta + \theta\cos\theta)$. Poiché $\underline u_\rho \perp \underline u_\theta$ sono unitari, $$v(\theta) = |\gamma'| = \sqrt{1 + \theta^2},\qquad \underline T = \frac{\underline u_\rho + \theta\,\underline u_\theta}{\sqrt{1+\theta^2}} .$$

Accelerazione. Derivando ancora: $\gamma'' = \underline u_\theta + \underline u_\theta + \theta(-\underline u_\rho) = -\theta\,\underline u_\rho + 2\,\underline u_\theta$, cioè $$\gamma'' = (-\theta\cos\theta - 2\sin\theta,\ -\theta\sin\theta + 2\cos\theta),\qquad |\gamma''|^2 = \theta^2 + 4 .$$

Componente tangenziale. $a_T = v' = \dfrac{\theta}{\sqrt{1+\theta^2}}$ (anche $= \gamma'\cdot\gamma''/|\gamma'| = (-\theta + 2\theta)/\sqrt{1+\theta^2}$ ✓).

Componente normale. Da $|\gamma''|^2 = a_T^2 + a_N^2$: $$a_N^2 = \theta^2 + 4 - \frac{\theta^2}{1+\theta^2} = \frac{(\theta^2+4)(1+\theta^2) - \theta^2}{1+\theta^2} = \frac{\theta^4 + 4\theta^2 + 4}{1+\theta^2} = \frac{(\theta^2+2)^2}{1+\theta^2},\qquad a_N = \frac{\theta^2+2}{\sqrt{1+\theta^2}} .$$

Curvatura. Da $a_N = \kappa v^2$: $$\kappa = \frac{a_N}{v^2} = \frac{\theta^2+2}{(1+\theta^2)^{3/2}},\qquad R = \frac1\kappa = \frac{(1+\theta^2)^{3/2}}{\theta^2+2} .$$ Controllo con la formula piana: $x'y'' - x''y' = \theta^2 + 2$ e $|\gamma'|^3 = (1+\theta^2)^{3/2}$ ✓. Per $\theta = 0$ si ha $\kappa = 2$ (raggio $\frac12$): vicino all'origine la spirale gira stretta; per $\theta\to\infty$, $\kappa\sim 1/\theta$, come una circonferenza di raggio $\theta$.

Versore normale. Dalla scomposizione $\gamma'' = a_T\underline T + a_N\underline N$: $$\underline N = \frac{\gamma'' - a_T\underline T}{a_N} = \frac{-\theta\,\underline u_\rho + \underline u_\theta}{\sqrt{1+\theta^2}} = \frac{(-\sin\theta - \theta\cos\theta,\ \cos\theta - \theta\sin\theta)}{\sqrt{1+\theta^2}}$$ (si verifica $\underline N\cdot\underline T = (-\theta + \theta)/(1+\theta^2) = 0$ ✓, e punta verso l'interno della spirale).

Lunghezza. $L = \int_0^{4\pi}\sqrt{1+\theta^2}\,d\theta = \Big[\frac12\theta\sqrt{1+\theta^2} + \frac12\ln(\theta + \sqrt{1+\theta^2})\Big]_0^{4\pi} = 2\pi\sqrt{1+16\pi^2} + \frac12\ln\big(4\pi + \sqrt{1+16\pi^2}\big)\approx 80.82 .$

Errori tipici. Confondere $a_T = v'$ con $|\gamma''|$; calcolare $a_N$ come $\sqrt{|\gamma''|^2 - a_T^2}$ ma poi dimenticare di semplificare il quadrato perfetto $(\theta^2+2)^2$; usare $\kappa = |\gamma''|$ (vero solo per parametrizzazione ad arco).