Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettoriali

Prerequisiti: Derivata - definizione e significatoLa derivata è il limite del rapporto incrementale; geometricamente è la pendenza della retta tangente. f è derivabile in x0 se e solo se f(x) = f(x0) + f'(x0)(x − x0) + o(x − x0); derivabile implica continua, non viceversa. Derivata destra e sinistra, punti angolosi, flessi a tangente verticale, cuspidi.Derivata - definizione e significato →, Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integraleUna primitiva di f è una G con G' = f; due primitive differiscono per una costante, e l'integrale indefinito ∫f(x)dx = F(x) + k è l'insieme di tutte le primitive. La funzione integrale F_a(x) = ∫ da a a x di f è una primitiva di f continua (TFCI 2), e quindi ∫ da a a b di f = G(b) − G(a) per qualunque primitiva G (TFCI 1): gli integrali definiti si calcolano con le primitive.Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale →, Prodotto scalare, norma e angoliIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli →.

Un punto materiale si muove nello spazio: a ogni istante $t$ occupa una posizione $\underline r(t)$. La funzione $t \mapsto \underline r(t)$ è la legge oraria (dice dove e quando); il disegno della traiettoria (dice solo dove) è il sostegno. Tutto il capitolo sulle curve nasce da questa distinzione.

1. Richiami su $\mathbb{R}^n$

$\mathbb{R}^n$ è l'insieme delle $n$-uple $\underline x = (x_1, \dots, x_n)$. Si sommano e si moltiplicano per un numero componente per componente. La base canonica è $\underline e_k = (0, \dots, 1, \dots, 0)$ (l'$1$ al posto $k$); in $\mathbb{R}^2$ si scrive $\underline i = (1,0)$, $\underline j = (0,1)$, in $\mathbb{R}^3$ anche $\underline k = (0,0,1)$.

Definizione (prodotto scalare, norma, distanza). Per $\underline x, \underline y \in \mathbb{R}^n$: $$\underline x \cdot \underline y = \sum_{i=1}^n x_i y_i, \qquad |\underline x| = \sqrt{\underline x \cdot \underline x} = \sqrt{x_1^2 + \dots + x_n^2}, \qquad \operatorname{dist}(\underline x, \underline y) = |\underline x - \underline y|.$$ La norma misura la lunghezza del vettore. Vale $|\lambda \underline x| = |\lambda|\,|\underline x|$. Se $\underline x \neq \underline 0$, il versorevettore di lunghezza 1 che indica una direzione e un verso $\underline x / |\underline x|$ ha la stessa direzione e verso di $\underline x$ e lunghezza $1$.

Esempio. $\underline x = (1, 2, 2)$: $|\underline x| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$, versore $(1/3, 2/3, 2/3)$. Per $\underline y = (2, -1, 0)$: $\underline x \cdot \underline y = 2 - 2 + 0 = 0$, quindi $\underline x \perp \underline y$.

Il prodotto scalare ha anche la forma geometrica $\underline x \cdot \underline y = |\underline x|\,|\underline y| \cos\vartheta$, con $\vartheta \in [0, \pi]$ angolo tra i due vettori (dettagli in Prodotto scalare, norma e angoliIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli →). Due vettori non nulli sono perpendicolari se e solo se il prodotto scalare è $0$.

Teorema (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz). $|\underline x \cdot \underline y| \le |\underline x|\,|\underline y|$ per ogni $\underline x, \underline y \in \mathbb{R}^n$.

Dimostrazione. Se $\underline y = \underline 0$ entrambi i membri valgono $0$. Sia $\underline y \ne \underline 0$ e consideriamo, al variare di $\lambda \in \mathbb{R}$, il numero $$p(\lambda) = |\underline x - \lambda \underline y|^2 = |\underline x|^2 - 2\lambda\,(\underline x \cdot \underline y) + \lambda^2 |\underline y|^2 \ \ge 0 .$$ È un polinomio di secondo grado in $\lambda$, sempre $\ge 0$ perché è il quadrato di una norma. Scegliamo il valore $\lambda = \dfrac{\underline x \cdot \underline y}{|\underline y|^2}$ (è dove la parabola ha il minimo): si ottiene $$0 \le |\underline x|^2 - \frac{(\underline x \cdot \underline y)^2}{|\underline y|^2} \iff (\underline x \cdot \underline y)^2 \le |\underline x|^2 |\underline y|^2 ,$$ e passando alla radice quadrata si trova la tesi. $\blacksquare$

(Dalla forma geometrica la disuguaglianza si vede subito: $|\cos\vartheta| \le 1$. La dimostrazione sopra non usa gli angoli, che in $\mathbb{R}^n$ si definiscono proprio a partire da questa disuguaglianza.)

Teorema (disuguaglianza triangolare) (D). $|\underline x + \underline y| \le |\underline x| + |\underline y|$. Di conseguenza $\operatorname{dist}(\underline x, \underline y) \le \operatorname{dist}(\underline x, \underline z) + \operatorname{dist}(\underline z, \underline y)$.

Dimostrazione. Entrambi i membri sono $\ge 0$, quindi basta confrontare i quadrati (la radice quadrata è crescente). Per la bilinearità del prodotto scalare $$|\underline x + \underline y|^2 = (\underline x + \underline y)\cdot(\underline x + \underline y) = |\underline x|^2 + 2\,\underline x \cdot \underline y + |\underline y|^2 .$$ Poiché $a \le |a|$ per ogni numero reale, e per Cauchy-Schwarz $|\underline x \cdot \underline y| \le |\underline x||\underline y|$, si ha $\underline x \cdot \underline y \le |\underline x||\underline y|$. Quindi $$|\underline x + \underline y|^2 \le |\underline x|^2 + 2|\underline x||\underline y| + |\underline y|^2 = (|\underline x| + |\underline y|)^2 ,$$ da cui, estratta la radice, la tesi. Per la distanza: $\underline x - \underline y = (\underline x - \underline z) + (\underline z - \underline y)$ e si applica la disuguaglianza appena provata ai due addendi. $\blacksquare$

Geometricamente: in un triangolo un lato è più corto della somma degli altri due. Per $N$ vettori, per induzione, $\big|\sum_{i=1}^N \underline x_i\big| \le \sum_{i=1}^N |\underline x_i|$ (il passo induttivo applica la disuguaglianza a $\sum_{i\le N} \underline x_i$ e $\underline x_{N+1}$; vedi Principio di induzionePer dimostrare una proprietà per ogni n basta il passo base e il passo induttivo da n a n+1.Principio di induzione →).

Prodotto esterno (vettoriale) in $\mathbb{R}^3$. Per $\underline u, \underline v \in \mathbb{R}^3$ $$\underline u \times \underline v = \det\begin{pmatrix} \underline i & \underline j & \underline k \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix} = (u_2 v_3 - u_3 v_2,\; u_3 v_1 - u_1 v_3,\; u_1 v_2 - u_2 v_1).$$ È ortogonale sia a $\underline u$ sia a $\underline v$; si annulla se e solo se $\underline u, \underline v$ sono paralleli; cambia segno se si scambiano i fattori; il suo modulo $|\underline u||\underline v|\sin\vartheta$ è l'area del parallelogramma di lati $\underline u, \underline v$ (approfondimento in Prodotto vettoriale e prodotto mistoIl prodotto vettoriale v × w di due vettori di R³ è ortogonale a entrambi, ha norma uguale all'area del parallelogramma che formano e verso dato dalla regola della mano destra; si calcola con un determinante simbolico. Il prodotto misto u · (v × w) = det(u, v, w) è il volume (con segno) del parallelepipedo. Applicazioni: normale a un piano per tre punti, direzione di una retta intersezione di due piani, aree, volumi, distanza tra rette sghembe.Prodotto vettoriale e prodotto misto →). Servirà per la curvatura e per i vettori normali.

Esempio. $(1,0,2) \times (0,1,1) = (0\cdot1 - 2\cdot1,\; 2\cdot 0 - 1\cdot 1,\; 1\cdot 1 - 0) = (-2, -1, 1)$; infatti $(-2,-1,1)\cdot(1,0,2) = 0$ e $(-2,-1,1)\cdot(0,1,1) = 0$.

2. Funzioni vettoriali di una variabile: limiti e continuità

Una funzione vettoriale è $\underline r : A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}^m$, $\underline r(t) = (r_1(t), \dots, r_m(t))$. Le $r_j$ sono le componenti.

Definizione (limite). Sia $t_0$ un punto di accumulazione di $A$ e $\underline\ell \in \mathbb{R}^m$. Si scrive $\lim_{t \to t_0}\underline r(t) = \underline \ell$ se $$\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0:\quad t \in A,\ 0 < |t - t_0| < \delta \implies |\underline r(t) - \underline\ell| < \varepsilon ,$$ cioè se $|\underline r(t) - \underline \ell| \to 0$: la distanza tra il punto mobile e $\underline\ell$ tende a zero.

È la definizione di limite in una variabileIntorni, punti di accumulazione e la definizione di limite di una funzione con gli intorni, tradotta con ε, δ, N, M in tutti i casi; limite destro e sinistro, per eccesso e per difetto, "definitivamente".Limiti di funzioni - definizione →, con la norma al posto del valore assoluto.

Proposizione (limite per componenti). $\lim_{t\to t_0}\underline r(t) = \underline\ell \iff \lim_{t\to t_0} r_j(t) = \ell_j$ per ogni $j = 1, \dots, m$.

Dimostrazione. ($\Rightarrow$) Una componente di un vettore non supera la sua norma: $|r_j(t) - \ell_j| \le |\underline r(t) - \underline\ell|$. Se il secondo membro tende a $0$, anche il primo. ($\Leftarrow$) Fissato $\varepsilon > 0$, per ogni $j$ esiste $\delta_j$ tale che $|t - t_0| < \delta_j \Rightarrow |r_j(t) - \ell_j| < \varepsilon/\sqrt m$. Con $\delta = \min_j \delta_j$, $$|\underline r(t) - \underline\ell| = \sqrt{\sum_{j=1}^m |r_j(t) - \ell_j|^2} < \sqrt{m \cdot \tfrac{\varepsilon^2}{m}} = \varepsilon. \ \blacksquare$$

Esempio. $\lim_{t \to 0}\big(\tfrac{\sin t}{t},\; \log(1 + t^2),\; e^t\big) = (1, 0, 1)$: ogni componente ha il suo limite (Limiti notevoli di funzioniI limiti notevoli per le forme 0/0 (log(1+x)/x, (e^x − 1)/x, ((1+x)^α − 1)/x, sin x/x, (1 − cos x)/x², arctan x/x...) con le dimostrazioni, e la loro forma come asintoticità: log(1+f) ~ f, e^f − 1 ~ f, sin f ~ f, 1 − cos f ~ f²/2 quando f → 0.Limiti notevoli di funzioni →).

La funzione è continua in $t_0$ se $\lim_{t \to t_0}\underline r(t) = \underline r(t_0)$; per la proposizione, se e solo se lo sono tutte le componenti.

3. Curve parametriche

Definizione (curva, sostegno). Una curva parametrica (o cammino) è una funzione continua $\underline r : I \to \mathbb{R}^m$, con $I$ intervallo. Il sostegno è l'immagine $\Gamma = \underline r(I) = \{\underline r(t) : t \in I\}$. La curva si indica con $\gamma = \{\underline r, \Gamma\}$; $\underline r$ è una parametrizzazione di $\Gamma$.

Esempio. $\underline r(t) = (\cos t, \sin t)$ su $[0, 2\pi]$: sostegno la circonferenza unitaria. La stessa circonferenza è il sostegno di $\underline s(t) = (\cos 2t, \sin 2t)$ su $[0, \pi]$ (stesso giro in metà tempo) e di $(\cos t, \sin t)$ su $[0, 4\pi]$ (due giri). Sono tre curve diverse con lo stesso sostegno, e avranno lunghezze diverse (Lunghezza di una curva e ascissa curvilineaLa lunghezza di una curva è l'estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte. Se r è C^1 la curva è rettificabile e ℓ = ∫|r'(t)|dt (grafici: ∫√(1+f'^2); polari: ∫√(f²+f'^2)). La lunghezza non cambia riparametrizzando, anche invertendo il verso. L'ascissa curvilinea s(t)=∫|r'| dà la parametrizzazione a velocità 1: T = dr/ds. Con essa si definiscono curvatura κ=|dT/ds| e normale N; l'accelerazione è a = v' T + κ v² N.Lunghezza di una curva e ascissa curvilinea →).

Quando $I = [a, b]$, $\underline r(a)$ è il punto iniziale e $\underline r(b)$ il finale.

Definizione (curva chiusa, curva semplice). Sia $\underline r : [a,b] \to \mathbb{R}^m$ una curva.

• È chiusa se $\underline r(a) = \underline r(b)$.
• È semplice se non passa due volte per lo stesso punto: $\underline r(t_1) = \underline r(t_2)$ con $t_1 \neq t_2$ è possibile solo per $\{t_1, t_2\} = \{a, b\}$.

Esempio. $(\cos t, \sin t)$ su $[0, 2\pi]$ è chiusa e semplice. Su $[0, 4\pi]$ è chiusa ma non semplice (passa due volte per ogni punto). Un "otto" percorso senza staccare la penna è chiuso e non semplice; un segmento è semplice e non chiuso.

Parametrizzazioni da conoscere

Il segmento è una combinazione convessacombinazione lineare con coefficienti non negativi e somma 1 $\lambda \underline x_0 + \mu \underline x_1$ con $\lambda, \mu \ge 0$ e $\lambda + \mu = 1$. Una poligonalecurva fatta da segmenti consecutivi (o spezzata) è una concatenazione di segmenti.

Esempio (poligonale). Il percorso $(0,1) \to (1,1) \to (2,2)$ si parametrizza con $t \in [0,2]$ ponendo $$\underline r(t) = \begin{cases}(t, 1) & t \in [0,1] \\ (t, t) & t \in [1,2].\end{cases}$$ Il primo pezzo è il segmento tra $(0,1)$ e $(1,1)$ (in $t=0$ vale $(0,1)$, in $t=1$ vale $(1,1)$). Il secondo tra $(1,1)$ e $(2,2)$. Nel punto di raccordo $t = 1$ i due limiti laterali valgono entrambi $(1,1) = \underline r(1)$: la curva è continua.

Curve in forma cartesiana, polare, implicita. Il grafico di $f$ continua è il sostegno della curva $(t, f(t))$: una curva cartesiana, sempre semplice (la prima componente $t$ è iniettiva) e mai chiusa. Una curva polare ha $\rho$ funzione dell'angolo (più sotto). Una curva è in forma implicita se è descritta da $g(x,y) = 0$; per esempio la semicirconferenza superiore è $$\{x^2 + y^2 - R^2 = 0,\ y \ge 0\} \;=\; \{(R\cos t, R\sin t): t\in[0,\pi]\} \;=\; \{(x, \sqrt{R^2 - x^2}): x \in [-R, R]\}$$ (forma implicita, parametrica, cartesiana).

Coordinate polari

Un punto $(x,y) \neq (0,0)$ si individua con la distanza $\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$ dall'origine e con l'angolo $\vartheta \in [0, 2\pi)$ che il vettore forma col semiasse positivo $x$ (antiorario): $$x = \rho\cos\vartheta,\qquad y = \rho\sin\vartheta .$$ Per ritrovare $\vartheta$: $\arctan(y/x)$ se $x>0$ (più $2\pi$ se anche $y<0$), $\pi + \arctan(y/x)$ se $x<0$, $\pi/2$ o $3\pi/2$ se $x = 0$ e $y>0$ o $y<0$.

Esempio. $(-1, 1)$: $\rho = \sqrt2$, $x<0$ e $\arctan(-1) = -\pi/4$, quindi $\vartheta = \pi - \pi/4 = 3\pi/4$. Controllo: $\sqrt2\cos(3\pi/4) = -1$, $\sqrt2\sin(3\pi/4) = 1$. ✓

Una relazione $\rho = f(\vartheta)$, $f \ge 0$ continua, dà la curva $\underline r(\vartheta) = (f(\vartheta)\cos\vartheta, f(\vartheta)\sin\vartheta)$. Esempi: $\rho = c$ è la circonferenza di raggio $c$; la spirale di Archimede $\rho = a\vartheta$ ($a>0$, $\vartheta \in [0,2\pi]$) parte dall'origine e passa per $(0, a\pi/2)$, $(-a\pi, 0)$, $(2\pi a, 0)$: semplice, non chiusa; la spirale logaritmica $\rho = e^{-\vartheta}$ ($\vartheta \ge 0$) parte da $(1,0)$ e si avvolge verso l'origine senza raggiungerla.

4. Derivata, curve regolari, retta tangente

Definizione (derivata). $\underline r$ è derivabile in $t_0$ (interno) se esiste finito $$\underline r'(t_0) = \lim_{h \to 0}\frac{\underline r(t_0 + h) - \underline r(t_0)}{h} .$$ Per il limite per componenti, $\underline r$ è derivabile se e solo se lo sono tutte le componenti, e $\underline r'(t) = (r_1'(t), \dots, r_m'(t))$. Si scrive $\underline r \in C^1$ se $\underline r'$ esiste ed è continua; la derivata seconda è $\underline r'' = (r_1'', \dots, r_m'')$.

Esempio. $\underline r(t) = (t^2, \sin t, e^{2t})$: $\underline r'(t) = (2t, \cos t, 2e^{2t})$ e $\underline r'(0) = (0, 1, 2)$.

Le regole di derivazione di Regole di derivazioneDerivate delle funzioni elementari e delle loro inverse (arcsin, arctan, settcosh...) e regole di calcolo: linearità, prodotto (Leibniz), quoziente, funzione composta (regola della catena), funzione inversa, f(x)^g(x).Regole di derivazione → valgono componente per componente (somma, prodotto per uno scalare $f(t)\underline r(t)$, prodotto scalare $(\underline r \cdot \underline s)' = \underline r' \cdot \underline s + \underline r \cdot \underline s'$).

Una funzione derivabile in $t_0$ è continua in $t_0$. Infatti, per $t \ne t_0$, $$\underline r(t) - \underline r(t_0) = \frac{\underline r(t) - \underline r(t_0)}{t - t_0}\,(t - t_0) \xrightarrow[t \to t_0]{} \underline r'(t_0)\cdot 0 = \underline 0 .$$

Significato. Il vettore $\frac{\underline r(t_0+h) - \underline r(t_0)}{h}$ è parallelo alla secante per $\underline r(t_0)$ e $\underline r(t_0+h)$; al tendere di $h$ a $0$ la secante tende alla tangente. In cinematica, se $t$ è il tempo: $\underline r'(t)$ è la velocità vettoriale, $|\underline r'(t)|$ la velocità scalare, $\underline r''(t)$ l'accelerazione.

Definizione (curva regolare). $\underline r : I \to \mathbb{R}^m$ è regolare se $\underline r \in C^1(I)$ e $\underline r'(t) \neq \underline 0$ per ogni $t \in I$. Allora è definito il versore tangente $\underline T(t) = \underline r'(t)/|\underline r'(t)|$ e la retta tangente in $\underline r(t_0)$ è $$\underline x(\lambda) = \underline r(t_0) + \lambda\,\underline r'(t_0),\qquad \lambda \in \mathbb{R}.$$ Una curva continua è regolare a tratti se $[a,b]$ si divide in un numero finito di intervalli su ciascuno dei quali è regolare (le poligonali ne sono l'esempio tipico: nei vertici si hanno punti angolosi).

Perché si chiede $\underline r' \neq \underline 0$: se il vettore velocità si annulla, il punto può fermarsi e invertire il moto, e non resta una direzione tangente ben definita (vedi la cuspide più sotto).

Esempio 1 (ellisse). $\underline r(t) = (a\cos t, b\sin t)$ con $a,b>0$ è chiusa e semplice su $[0,2\pi]$, $\underline r'(t) = (-a\sin t, b\cos t)$ e $|\underline r'(t)|^2 = a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t > 0$ (seno e coseno non si annullano insieme): regolare. Per $t_0 = \pi/4$: punto $\big(\tfrac{a\sqrt2}{2}, \tfrac{b\sqrt2}{2}\big)$, direzione $\big(-\tfrac{a\sqrt2}{2}, \tfrac{b\sqrt2}{2}\big)$, e la tangente è $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = \sqrt2$. Per $t_0 = \pi/2$: punto $(0,b)$, direzione $(-a, 0)$: la tangente è la retta orizzontale $y = b$.

Esempio 2 (grafico). Per $f \in C^1([a,b])$, $\underline r(t) = (t, f(t))$ ha $\underline r' = (1, f'(t)) \neq \underline 0$ qualunque sia $f'$ (la prima componente vale $1$). Quindi il grafico di una funzione $C^1$ è sempre regolare, con $|\underline r'| = \sqrt{1 + f'(t)^2} \ge 1$. La retta tangente in $t_0$ è $$(x, y) = (t_0, f(t_0)) + \lambda(1, f'(t_0)) \implies y = f(t_0) + f'(t_0)(x - t_0),$$ cioè la retta tangente di Analisi 1.

Esempio 3 (curva polare). Se $f \in C^1$, $\underline r(\vartheta) = (f\cos\vartheta, f\sin\vartheta)$ ha $$\underline r' = (f'\cos\vartheta - f\sin\vartheta,\ f'\sin\vartheta + f\cos\vartheta),\qquad |\underline r'|^2 = f'^2 + f^2 .$$ (I doppi prodotti $\pm 2ff'\sin\vartheta\cos\vartheta$ si elidono e resta $f'^2(\cos^2+\sin^2) + f^2(\sin^2+\cos^2)$.) Il vettore velocità si annulla solo se $f = 0$ e $f' = 0$ nello stesso $\vartheta$. Dunque: una curva polare è regolare se e solo se, ogni volta che passa per l'origine ($f(\vartheta) = 0$), vale $f'(\vartheta) \neq 0$. Per la spirale di Archimede $|\underline r'| = a\sqrt{1+\vartheta^2} \ge a$: regolare (all'origine $f' = a \ne 0$). Per $\rho = e^{-\vartheta}$: $|\underline r'| = \sqrt2 e^{-\vartheta} > 0$: regolare.

Esempio 4 (elica cilindrica). $\underline r(t) = (R\cos t, R\sin t, t)$, $t \in [0, 2\pi]$, vive sul cilindro $x^2 + y^2 = R^2$ e sale di $2\pi$ in un giro. Non è chiusa ($z$ passa da $0$ a $2\pi$), è semplice (la terza componente $t$ è iniettiva), $\underline r' = (-R\sin t, R\cos t, 1) \neq \underline 0$ e $|\underline r'| = \sqrt{R^2 + 1}$ costante: regolare.

Esempio 5 (cuspide). $\underline r(t) = (t^2, t^3)$, $t \in [-1, 1]$, è $C^1$ con $\underline r'(t) = (2t, 3t^2)$, che si annulla in $t = 0$. Quindi non è regolare. Il sostegno è $y^2 = x^3$ (per $t \ge 0$, $y = x^{3/2}$; per $t<0$, $y = -x^{3/2}$): due rami che si raccordano nell'origine in una punta (cuspidepunto in cui la curva ha una punta e il moto si inverte), con tangente orizzontale da entrambi i lati ma verso opposto. È però regolare a tratti: su $]-1,0[$ e su $]0,1[$ la derivata non si annulla. Attenzione: "sostegno con una punta" e "derivata nulla" sono legati ma distinti; una curva può avere $\underline r' = \underline 0$ anche su un sostegno liscio (rallenta e riparte).

Un risultato utile. Se $|\underline r(t)| = k$ è costante, allora $\underline r(t) \perp \underline r'(t)$: da $\underline r \cdot \underline r = k^2$, derivando, $2\,\underline r\cdot\underline r' = 0$. (Un punto che si muove su una sfera centrata nell'origine ha velocità tangente alla sfera.)

5. Integrali di funzioni vettoriali

Definizione. Se ogni componente di $\underline r : [a,b] \to \mathbb{R}^m$ è integrabile (Integrale definito di RiemannL'integrale definito di f limitata su [a,b] è il limite delle somme di Cauchy-Riemann (somme di aree di rettangoli), se esiste finito e uguale per ogni scelta dei punti; equivale a sup delle somme inferiori = inf delle somme superiori. Se f ≥ 0 è l'area del trapezoide, in generale area sopra l'asse meno area sotto. Sono integrabili le funzioni continue, monotone, continue a tratti; la funzione di Dirichlet no.Integrale definito di Riemann →), si pone $$\int_a^b \underline r(t)\,dt = \Big(\int_a^b r_1(t)\,dt,\ \dots,\ \int_a^b r_m(t)\,dt\Big) \in \mathbb{R}^m .$$

Esempio. $\int_0^{\pi}(\cos t, \sin t, 2t)\,dt = (\sin\pi - \sin 0,\ -\cos\pi + \cos 0,\ \pi^2) = (0, 2, \pi^2)$.

Teorema fondamentale del calcolo per funzioni vettoriali (D). Se $\underline r \in C^1([a,b], \mathbb{R}^m)$, allora $\displaystyle\int_a^b \underline r'(t)\,dt = \underline r(b) - \underline r(a)$.

Dimostrazione. La $j$-esima componente del primo membro è $\int_a^b r_j'(t)\,dt$, che per il teorema fondamentale del calcolo in una variabile (Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integraleUna primitiva di f è una G con G' = f; due primitive differiscono per una costante, e l'integrale indefinito ∫f(x)dx = F(x) + k è l'insieme di tutte le primitive. La funzione integrale F_a(x) = ∫ da a a x di f è una primitiva di f continua (TFCI 2), e quindi ∫ da a a b di f = G(b) − G(a) per qualunque primitiva G (TFCI 1): gli integrali definiti si calcolano con le primitive.Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale →) vale $r_j(b) - r_j(a)$, cioè la $j$-esima componente di $\underline r(b) - \underline r(a)$. $\blacksquare$

Esempio. Per $\underline r(t) = (t^2, t^3)$ su $[0,2]$: $\int_0^2 (2t, 3t^2)\,dt = (4, 8) = \underline r(2) - \underline r(0)$. ✓

Teorema (norma dell'integrale). Se $\underline r$ è integrabile, $\displaystyle\Big|\int_a^b \underline r(t)\,dt\Big| \le \int_a^b |\underline r(t)|\,dt$.

Per $m = 1$ è la solita $|\int f| \le \int |f|$ (Proprietà dell'integrale definito e teorema della mediaL'integrale definito è lineare, monotono (f ≤ g implica ∫f ≤ ∫g), additivo rispetto all'intervallo (con ∫ da a ad a = 0 e ∫ da b ad a = −∫ da a a b) e verifica |∫f| ≤ ∫|f|. Teorema della media integrale: se f è continua su [a,b] esiste c con f(c) = (1/(b−a))∫f, cioè un rettangolo di altezza f(c) ha la stessa area del trapezoide.Proprietà dell'integrale definito e teorema della media →); è la versione continua della disuguaglianza triangolare per le somme di vettori.

Dimostrazione (per $\underline r$ continua). Sia $\underline v = \int_a^b \underline r(t)\,dt$. Se $\underline v = \underline 0$ non c'è nulla da provare. Altrimenti, per linearità dell'integrale e per Cauchy-Schwarz, $$|\underline v|^2 = \underline v \cdot \int_a^b \underline r(t)\,dt = \int_a^b \underline v \cdot \underline r(t)\,dt \le \int_a^b |\underline v|\,|\underline r(t)|\,dt = |\underline v|\int_a^b |\underline r(t)|\,dt .$$ Dividendo per $|\underline v| > 0$ si ottiene la tesi. $\blacksquare$

Questa disuguaglianza insieme al teorema fondamentale è esattamente ciò che serve per dimostrare che una curva $C^1$ ha lunghezza $\int |\underline r'|$ (Lunghezza di una curva e ascissa curvilineaLa lunghezza di una curva è l'estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte. Se r è C^1 la curva è rettificabile e ℓ = ∫|r'(t)|dt (grafici: ∫√(1+f'^2); polari: ∫√(f²+f'^2)). La lunghezza non cambia riparametrizzando, anche invertendo il verso. L'ascissa curvilinea s(t)=∫|r'| dà la parametrizzazione a velocità 1: T = dr/ds. Con essa si definiscono curvatura κ=|dT/ds| e normale N; l'accelerazione è a = v' T + κ v² N.Lunghezza di una curva e ascissa curvilinea →).

Errori da evitare

• Confondere curva e sostegno. La curva è la funzione (con intervallo e velocità); il sostegno è solo l'insieme dei punti.
• Dimenticare l'intervallo del parametro: $(\cos t, \sin t)$ senza $t \in [0, 2\pi]$ non dice quanti giri si fanno.
• Dire "la derivata non si annulla" guardando una sola componente: $\underline r' = \underline 0$ richiede che si annullino tutte e nello stesso $t$.
• Curva polare: il vettore velocità ha norma $\sqrt{f^2 + f'^2}$, non $|f'|$.
• Derivare $|\underline r(t)|$ come se fosse $\underline r'(t)$: $|\underline r|'$ e $|\underline r'|$ sono cose diverse.

Esercizi svolti

• Esercizio - elica cilindrica, regolarità, tangente e lunghezza (foglio 1)
• Esercizio - retta tangente a una curva in coordinate polari (esercizi 2025-26)
• Esercizio - sostegno contenuto in un piano e intersezione cilindro-piano (foglio 1)
• Esercizio - curva sul grafico di una funzione, tangente e normale (appello 19 gennaio 2026)

Domande d'esame

1. Definire il limite di una funzione vettoriale e dimostrare che si calcola componente per componente. Traccia: definizione con $\varepsilon$-$\delta$ e norma; $|r_j - \ell_j| \le |\underline r - \underline\ell|$ per l'implicazione verso le componenti; $|\underline r - \underline\ell| < \sqrt m \cdot (\varepsilon/\sqrt m)$ per il viceversa.
2. Definire curva regolare e retta tangente; perché si chiede $\underline r' \ne \underline 0$? Fare un esempio di curva $C^1$ non regolare. Traccia: $C^1$ più velocità mai nulla; la cuspide $(t^2, t^3)$ in $t=0$; la tangente è $\underline r(t_0) + \lambda \underline r'(t_0)$ e coincide con quella di Analisi 1 per un grafico.
3. Enunciare e dimostrare la disuguaglianza triangolare in $\mathbb{R}^n$. Traccia: quadrato della somma, Cauchy-Schwarz, quadrato del binomio, radice.