Esercizio - area di un elicoide e di una sella (foglio 6, esercizi 1 e 3)

Teoria: Superfici parametriche regolari, area e integrali di superficieUna superficie regolare è l'immagine di r(u,v) di classe C¹ iniettiva con r_u ∧ r_v ≠ 0; r_u, r_v sono i vettori tangenti alle linee coordinate, N = r_u ∧ r_v la normale, e il piano tangente è N·(x − x₀) = 0. Area = ∬ ‖r_u ∧ r_v‖ du dv; integrale di superficie ∬ f dσ = ∬ f(r)‖r_u ∧ r_v‖ du dv. Per il grafico z = f(x,y): dσ = √(1+‖∇f‖²) dx dy. Baricentro con la densità; teorema di Pappo-Guldino: area di rotazione = 2π ∫ x ds (D).Superfici parametriche regolari, area e integrali di superficie →.

Testo

1. Trovare un campo normale alla superficie $S$ grafico di $z=xy$. Calcolare l'area di $S$ sulla regione $T=\{0\le y\le\sqrt3\,x,\ x^2+y^2\le1\}$ e l'integrale $\iint_Sz\,d\sigma$ su di essa.
2. Calcolare l'area della superficie parametrizzata da $\boldsymbol\sigma(u,v)=(u\cos v,\ u\sin v,\ v)$, $(u,v)\in[0,1]\times[0,2\pi]$.

Soluzione

1. La sella $z=xy$

La normale. Con $\mathbf{r}(x,y)=(x,y,xy)$: $\mathbf{r}_x=(1,0,y)$, $\mathbf{r}_y=(0,1,x)$ e $$\mathbf{N}=\mathbf{r}_x\wedge\mathbf{r}_y=(-y,\ -x,\ 1),\qquad\mathbf{n}=\frac{(-y,-x,1)}{\sqrt{1+x^2+y^2}}$$ (verso l'alto). Controllo: nell'origine $\mathbf{n}=(0,0,1)$, il piano tangente è orizzontale, come deve essere nel punto di sella.

Il dominio. In polari $0\le y\le\sqrt3x$ significa $0\le\tan\theta\le\sqrt3$, cioè $\theta\in[0,\tfrac\pi3]$ (settore di ampiezza $60^\circ$), e $x^2+y^2\le1$ dà $\rho\in[0,1]$.

L'area. $d\sigma=\|\mathbf{N}\|\,dx\,dy=\sqrt{1+x^2+y^2}\,dx\,dy$, e in polari ($dx\,dy=\rho\,d\rho\,d\theta$) $$A(S)=\int_0^{\pi/3}d\theta\int_0^1\sqrt{1+\rho^2}\,\rho\,d\rho=\frac\pi3\left[\tfrac13(1+\rho^2)^{3/2}\right]_0^1=\frac\pi3\cdot\frac{2\sqrt2-1}3=\frac{\pi(2\sqrt2-1)}9 .$$

L'integrale di $z$. Su $S$, $z=xy=\rho^2\cos\theta\sin\theta=\tfrac12\rho^2\sin2\theta$. Quindi $$\iint_Sz\,d\sigma=\int_0^{\pi/3}\tfrac12\sin2\theta\,d\theta\cdot\int_0^1\rho^3\sqrt{1+\rho^2}\,d\rho .$$

• Angolare: $\left[-\tfrac14\cos2\theta\right]_0^{\pi/3}=-\tfrac14\left(-\tfrac12-1\right)=\tfrac38$.
• Radiale: con $u=1+\rho^2$, $\rho^2=u-1$, $\rho\,d\rho=\tfrac12du$ ($u$ da $1$ a $2$): $\tfrac12\int_1^2(u-1)\sqrt u\,du=\tfrac12\left[\tfrac25u^{5/2}-\tfrac23u^{3/2}\right]_1^2=\tfrac{2(\sqrt2+1)}{15}$.

Il prodotto è $\tfrac38\cdot\tfrac{2(\sqrt2+1)}{15}=\dfrac{\sqrt2+1}{20}\approx0{,}1207$ (risultato atteso dal foglio).

2. L'elicoide

Derivate. $\boldsymbol\sigma_u=(\cos v,\sin v,0)$, $\boldsymbol\sigma_v=(-u\sin v,\ u\cos v,\ 1)$.

Prodotto vettoriale. $$\boldsymbol\sigma_u\wedge\boldsymbol\sigma_v=\bigl(\sin v\cdot1-0,\ -(\cos v\cdot1-0),\ \cos v\cdot u\cos v+\sin v\cdot u\sin v\bigr)=(\sin v,\ -\cos v,\ u),$$ di norma $\sqrt{\sin^2v+\cos^2v+u^2}=\sqrt{1+u^2}$, mai nulla: la superficie è regolare.

Area. $$A=\int_0^{2\pi}dv\int_0^1\sqrt{1+u^2}\,du=2\pi\cdot\tfrac12\left[u\sqrt{1+u^2}+\ln\bigl(u+\sqrt{1+u^2}\bigr)\right]_0^1=\pi\left(\sqrt2+\ln(1+\sqrt2)\right)\approx7{,}212 .$$ (Per la primitiva di $\sqrt{1+u^2}$ si usa la sostituzione $u=\sinh s$.)

Interpretazione. Per ogni quota $v$ la sezione è un segmento orizzontale di lunghezza $1$ che ruota salendo: è la "scala a chiocciola" (elicoide retto).