Teoria: Superfici parametriche regolari, area e integrali di superficieUna superficie regolare è l'immagine di r(u,v) di classe C¹ iniettiva con r_u ∧ r_v ≠ 0; r_u, r_v sono i vettori tangenti alle linee coordinate, N = r_u ∧ r_v la normale, e il piano tangente è N·(x − x₀) = 0. Area = ∬ ‖r_u ∧ r_v‖ du dv; integrale di superficie ∬ f dσ = ∬ f(r)‖r_u ∧ r_v‖ du dv. Per il grafico z = f(x,y): dσ = √(1+‖∇f‖²) dx dy. Baricentro con la densità; teorema di Pappo-Guldino: area di rotazione = 2π ∫ x ds (D).Superfici parametriche regolari, area e integrali di superficie → .
Testo
(56) Abbozzare e calcolare l'area di:
(i) la superficie parametrizzata da x = cos u x=\cos u x = cos u y = sin u y=\sin u y = sin u z = v z=v z = v 0 ≤ u ≤ π 0\le u\le\pi 0 ≤ u ≤ π 0 ≤ v ≤ 1 0\le v\le1 0 ≤ v ≤ 1 z = x 2 + y 2 z=\sqrt{x^2+y^2} z = x 2 + y 2 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2 1\le x^2+y^2\le2 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2 γ \gamma γ x = a ( t − sin t ) x=a(t-\sin t) x = a ( t − sin t ) y = a ( 1 − cos t ) y=a(1-\cos t) y = a ( 1 − cos t ) 0 ≤ t ≤ 2 π 0\le t\le2\pi 0 ≤ t ≤ 2 π a > 0 a>0 a > 0 γ \gamma γ y y y
Soluzione
(56 i) Mezzo cilindro
È la porzione del cilindro x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x 2 + y 2 = 1 y ≥ 0 y\ge0 y ≥ 0 u ∈ [ 0 , π ] u\in[0,\pi] u ∈ [ 0 , π ] 0 0 0 1 1 1 r u = ( − sin u , cos u , 0 ) \mathbf{r}_u=(-\sin u,\cos u,0) r u = ( − sin u , cos u , 0 ) r v = ( 0 , 0 , 1 ) \mathbf{r}_v=(0,0,1) r v = ( 0 , 0 , 1 ) r u ∧ r v = ( cos u , sin u , 0 ) \mathbf{r}_u\wedge\mathbf{r}_v=(\cos u,\sin u,0) r u ∧ r v = ( cos u , sin u , 0 ) 1 1 1 A = ∫ 0 π ∫ 0 1 1 d v d u = π A=\int_0^\pi\!\!\int_0^11\,dv\,du=\pi A = ∫ 0 π ∫ 0 1 1 d v d u = π π \pi π 1 1 1
(56 ii) Tronco di cono
È il grafico di f ( x , y ) = x 2 + y 2 f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} f ( x , y ) = x 2 + y 2 1 ≤ ρ 2 ≤ 2 1\le\rho^2\le2 1 ≤ ρ 2 ≤ 2 ∥ ∇ f ∥ = x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 1 \|\nabla f\|=\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}=1 ∥∇ f ∥ = x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 1 d σ = 1 + 1 d x d y = 2 d x d y d\sigma=\sqrt{1+1}\,dx\,dy=\sqrt2\,dx\,dy d σ = 1 + 1 d x d y = 2 d x d y A = 2 ⋅ area(corona) = 2 π ( 2 − 1 ) = 2 π . A=\sqrt2\cdot\text{area(corona)}=\sqrt2\,\pi(2-1)=\sqrt2\,\pi . A = 2 ⋅ area(corona) = 2 π ( 2 − 1 ) = 2 π . k = 1 k=1 k = 1 ∥ N ∥ = ρ 1 + k 2 = ρ 2 \|\mathbf{N}\|=\rho\sqrt{1+k^2}=\rho\sqrt2 ∥ N ∥ = ρ 1 + k 2 = ρ 2 A = 2 π 2 ∫ 1 2 ρ d ρ = 2 π A=2\pi\sqrt2\int_1^{\sqrt2}\rho\,d\rho=\sqrt2\pi A = 2 π 2 ∫ 1 2 ρ d ρ = 2 π
(57) Rotazione dell'arco di cicloide attorno all'asse y y y
Per il teorema di Pappo-Guldino l'area è 2 π ∫ γ x d s 2\pi\int_\gamma x\,ds 2 π ∫ γ x d s y y y x ≥ 0 x\ge0 x ≥ 0
Elemento d'arco. x ′ = a ( 1 − cos t ) x'=a(1-\cos t) x ′ = a ( 1 − cos t ) y ′ = a sin t y'=a\sin t y ′ = a sin t x ′ 2 + y ′ 2 = a 2 ( 2 − 2 cos t ) = 4 a 2 sin 2 t 2 x'^2+y'^2=a^2(2-2\cos t)=4a^2\sin^2\tfrac t2 x ′2 + y ′2 = a 2 ( 2 − 2 cos t ) = 4 a 2 sin 2 2 t d s = 2 a sin t 2 d t ds=2a\sin\tfrac t2\,dt d s = 2 a sin 2 t d t t ∈ [ 0 , 2 π ] t\in[0,2\pi] t ∈ [ 0 , 2 π ] sin t 2 ≥ 0 \sin\tfrac t2\ge0 sin 2 t ≥ 0
Integrale.
A = 2 π ∫ 0 2 π a ( t − sin t ) ⋅ 2 a sin t 2 d t = 4 π a 2 ( ∫ 0 2 π t sin t 2 d t − ∫ 0 2 π sin t sin t 2 d t ) . A=2\pi\int_0^{2\pi}a(t-\sin t)\cdot2a\sin\tfrac t2\,dt=4\pi a^2\left(\int_0^{2\pi}t\sin\tfrac t2\,dt-\int_0^{2\pi}\sin t\sin\tfrac t2\,dt\right). A = 2 π ∫ 0 2 π a ( t − sin t ) ⋅ 2 a sin 2 t d t = 4 π a 2 ( ∫ 0 2 π t sin 2 t d t − ∫ 0 2 π sin t sin 2 t d t ) .
Per parti: ∫ t sin t 2 d t = − 2 t cos t 2 + 4 sin t 2 \int t\sin\tfrac t2\,dt=-2t\cos\tfrac t2+4\sin\tfrac t2 ∫ t sin 2 t d t = − 2 t cos 2 t + 4 sin 2 t 0 0 0 2 π 2\pi 2 π − 4 π cos π + 4 sin π = 4 π -4\pi\cos\pi+4\sin\pi=4\pi − 4 π cos π + 4 sin π = 4 π
sin t sin t 2 = 2 sin 2 t 2 cos t 2 \sin t\sin\tfrac t2=2\sin^2\tfrac t2\cos\tfrac t2 sin t sin 2 t = 2 sin 2 2 t cos 2 t 4 3 sin 3 t 2 \tfrac43\sin^3\tfrac t2 3 4 sin 3 2 t 0 0 0 2 π 2\pi 2 π 0 0 0
Quindi A = 4 π a 2 ⋅ 4 π = 16 π 2 a 2 A=4\pi a^2\cdot4\pi=16\pi^2a^2 A = 4 π a 2 ⋅ 4 π = 16 π 2 a 2
Versione ripasso
Testo. (56) Area di (i) ( cos u , sin u , v ) (\cos u,\sin u,v) ( cos u , sin u , v ) u ∈ [ 0 , π ] u\in[0,\pi] u ∈ [ 0 , π ] v ∈ [ 0 , 1 ] v\in[0,1] v ∈ [ 0 , 1 ] z = x 2 + y 2 z=\sqrt{x^2+y^2} z = x 2 + y 2 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2 1\le x^2+y^2\le2 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2 y y y
Risultati (Superfici parametriche regolari, area e integrali di superficieUna superficie regolare è l'immagine di r(u,v) di classe C¹ iniettiva con r_u ∧ r_v ≠ 0; r_u, r_v sono i vettori tangenti alle linee coordinate, N = r_u ∧ r_v la normale, e il piano tangente è N·(x − x₀) = 0. Area = ∬ ‖r_u ∧ r_v‖ du dv; integrale di superficie ∬ f dσ = ∬ f(r)‖r_u ∧ r_v‖ du dv. Per il grafico z = f(x,y): dσ = √(1+‖∇f‖²) dx dy. Baricentro con la densità; teorema di Pappo-Guldino: area di rotazione = 2π ∫ x ds (D).Superfici parametriche regolari, area e integrali di superficie → ).
(i) ∥ r u ∧ r v ∥ = 1 \|\mathbf{r}_u\wedge\mathbf{r}_v\|=1 ∥ r u ∧ r v ∥ = 1 A = π ⋅ 1 = π A=\pi\cdot1=\pi A = π ⋅ 1 = π
(ii) ∥ ∇ f ∥ = 1 \|\nabla f\|=1 ∥∇ f ∥ = 1 d σ = 2 d x d y d\sigma=\sqrt2\,dx\,dy d σ = 2 d x d y A = 2 π ( 2 − 1 ) = 2 π A=\sqrt2\,\pi(2-1)=\sqrt2\pi A = 2 π ( 2 − 1 ) = 2 π
(57) Pappo: A = 2 π ∫ x d s A=2\pi\int x\,ds A = 2 π ∫ x d s d s = 2 a sin t 2 d t ds=2a\sin\frac t2\,dt d s = 2 a sin 2 t d t 4 π a 2 ( ∫ 0 2 π t sin t 2 d t − ∫ sin t sin t 2 d t ) = 4 π a 2 ( 4 π − 0 ) = 16 π 2 a 2 4\pi a^2\left(\int_0^{2\pi}t\sin\frac t2dt-\int\sin t\sin\frac t2dt\right)=4\pi a^2(4\pi-0)=16\pi^2a^2 4 π a 2 ( ∫ 0 2 π t sin 2 t d t − ∫ sin t sin 2 t d t ) = 4 π a 2 ( 4 π − 0 ) = 16 π 2 a 2
Errori tipici. Ruotare attorno a y y y y d s y\,ds y d s 2 − 2 cos t = 2 sin t 2 \sqrt{2-2\cos t}=2\sin\frac t2 2 − 2 cos t = 2 sin 2 t sin t 2 ≥ 0 \sin\frac t2\ge0 sin 2 t ≥ 0