Esercizio - baricentro di una curva in coordinate polari (esercizi 2025-26)

Teoria: Integrali curvilinei di prima specie, baricentri e momenti d'inerziaL'integrale curvilineo di prima specie di f lungo una curva C^1 è ∫_γ f ds = ∫_a^b f(r(t)) |r'(t)| dt, dove ds = |r'(t)|dt è l'elemento d'arco. Con f = 1 dà la lunghezza; con f ≥ 0 l'area di una parete verticale alta f lungo la curva; con f = densità la massa. Non dipende dalla parametrizzazione né dal verso di percorrenza (D). Baricentro x_b = (1/M)∫ x μ ds; momento d'inerzia I = ∫ δ² μ ds con δ distanza dall'asse.Integrali curvilinei di prima specie, baricentri e momenti d'inerzia →, Lunghezza di una curva e ascissa curvilineaLa lunghezza di una curva è l'estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte. Se r è C^1 la curva è rettificabile e ℓ = ∫|r'(t)|dt (grafici: ∫√(1+f'^2); polari: ∫√(f²+f'^2)). La lunghezza non cambia riparametrizzando, anche invertendo il verso. L'ascissa curvilinea s(t)=∫|r'| dà la parametrizzazione a velocità 1: T = dr/ds. Con essa si definiscono curvatura κ=|dT/ds| e normale N; l'accelerazione è a = v' T + κ v² N.Lunghezza di una curva e ascissa curvilinea →.

Testo. Trovare l'ascissa del baricentro della curva piana (filo omogeneo) definita in coordinate polari da $$\rho = e^{k\theta},\qquad 0 < \theta < \pi\quad(k > 0).$$

(Fonte: esercizio 2 della raccolta del corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD, 2025-26.)

Soluzione

Idea. Il baricentro è $x_b = \frac1\ell\int_\gamma x\,ds$. Si tratta di una spirale logaritmica che si espande girando a sinistra, quindi ci si aspetta $x_b<0$ (il filo sta soprattutto nel semipiano $x<0$ e più lontano dall'origine).

Passo 1: elemento d'arco. $f(\theta) = e^{k\theta}$, $f' = ke^{k\theta}$: $$ds = \sqrt{f^2 + f'^2}\,d\theta = \sqrt{1+k^2}\,e^{k\theta}\,d\theta .$$

Passo 2: lunghezza. $$\ell = \sqrt{1+k^2}\int_0^\pi e^{k\theta}\,d\theta = \sqrt{1+k^2}\,\frac{e^{k\pi}-1}{k}.$$

Passo 3: l'integrale di $x$. Sulla curva $x = f\cos\theta = e^{k\theta}\cos\theta$, quindi $$\int_\gamma x\,ds = \sqrt{1+k^2}\int_0^\pi e^{2k\theta}\cos\theta\,d\theta .$$ Una primitiva di $e^{2k\theta}\cos\theta$ si trova con due integrazioni per parti (oppure si verifica per derivazione): $$\int e^{2k\theta}\cos\theta\,d\theta = \frac{e^{2k\theta}\,(2k\cos\theta + \sin\theta)}{4k^2+1}.$$ (Derivando: $\frac{e^{2k\theta}}{4k^2+1}\big[2k(2k\cos\theta+\sin\theta) + (-2k\sin\theta + \cos\theta)\big] = e^{2k\theta}\cos\theta$ ✓.) Valutando in $\pi$ (dove $\cos = -1$, $\sin=0$) e in $0$ (dove $\cos = 1$, $\sin = 0$): $$\int_0^\pi e^{2k\theta}\cos\theta\,d\theta = \frac{-2k\,e^{2k\pi} - 2k}{4k^2+1} = -\frac{2k\,(e^{2k\pi}+1)}{4k^2+1}.$$

Passo 4: divisione. $$x_b = \frac{\sqrt{1+k^2}\,\Big(-\dfrac{2k(e^{2k\pi}+1)}{4k^2+1}\Big)}{\sqrt{1+k^2}\,\dfrac{e^{k\pi}-1}{k}} = \boxed{-\frac{2k^2\,(e^{2k\pi}+1)}{(4k^2+1)\,(e^{k\pi}-1)}}$$ Il fattore $\sqrt{1+k^2}$ si semplifica. Il segno è negativo come previsto. Per esempio con $k=1$: $x_b = -\dfrac{2(e^{2\pi}+1)}{5(e^\pi-1)}\approx-9.69$, mentre la curva arriva fino a $\rho(\pi)=e^\pi\approx23.1$ sull'asse $x$ negativo.

(Con lo stesso metodo: $y_b = \dfrac{k\,(e^{2k\pi}+1)}{(4k^2+1)(e^{k\pi}-1)}$, usando $\int_0^\pi e^{2k\theta}\sin\theta\,d\theta = \frac{e^{2k\pi}+1}{4k^2+1}$.)

Errori tipici. Usare $x = \rho$ invece di $x = \rho\cos\theta$; dimenticare che $ds$ contiene $e^{k\theta}$ (si moltiplica per $f$ due volte: una per $x$, una per $ds$, quindi $e^{2k\theta}$); omettere la divisione per la lunghezza.