Esercizio - Cilindroide a base triangolare e integrale triplo con singolarità (appello 9 luglio 2024)

Teoria: Integrali tripli, coordinate cilindriche e sferiche e solidi di rotazioneL'integrale triplo ∭_E f si definisce con somme di Cauchy-Riemann su parallelepipedi; per f = 1 è il volume, per f = densità la massa; baricentro e momenti d'inerzia come in dimensione 2. Riduzione per fili (E = {(x,y) ∈ D, h₁ ≤ z ≤ h₂}: ∭ = ∬D(∫{h₁}^{h₂} f dz)dxdy) e per strati (E = {a ≤ z ≤ b, (x,y) ∈ E_z}: ∭ = ∫a^b(∬{E_z} f dxdy)dz). Cambiamento di variabili con |det DT|; coordinate cilindriche (x,y,z) = (ρcosθ, ρsinθ, z), dxdydz = ρ dρdθdz; sferiche (ρsinφcosθ, ρsinφsinθ, ρcosφ), φ ∈ [0,π] colatitudine, dxdydz = ρ²sinφ dρdφdθ; ellissoide di semiassi a,b,c ha volume (4/3)πabc. Solidi di rotazione: Pappo-Guldino (D), |R(A)| = θ̄·x_B·|A| (area di A per lunghezza dell'arco percorso dal baricentro).Integrali tripli, coordinate cilindriche e sferiche e solidi di rotazione → (integrazione per fili) e Integrali doppi, domini semplici e formule di riduzioneL'integrale doppio ∬_R f su un rettangolo è il limite delle somme di Cauchy-Riemann Σ |I_hk| f(P_hk); per f ≥ 0 è il volume del cilindroide. Le funzioni continue sono integrabili. Formule di riduzione (Fubini): su R = [a,b]×[c,d] ∬ = ∫_c^d(∫_a^b f dx)dy = ∫_a^b(∫_c^d f dy)dx; per f = g(x)h(y) il prodotto di due integrali. Su un dominio y-semplice {a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)} (D): ∬ = ∫a^b(∫{g₁}^{g₂} f dy)dx, simmetricamente per i domini x-semplici; domini regolari = unioni finite di semplici, f continua è integrabile. Area |Ω| = ∬ 1; insiemi di area nulla (punti, segmenti, grafici di funzioni continue); f limitata con discontinuità su area nulla è integrabile. Proprietà: linearità, monotonia, additività; teorema della media integrale (D). Baricentro e momenti d'inerzia di una lamina.Integrali doppi, domini semplici e formule di riduzione →. Fonte: corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD, terzo appello 2024 (la parte sul flusso è omessa).

Testo

Sia $\Omega = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : 0\le z\le x\le1,\ 0\le y\le x^3\}$.

• (a) Calcolare il volume di $\Omega$.
• (b) Calcolare $\displaystyle I = \iiint_\Omega\frac{dx\,dy\,dz}{y^{2/3}(1+z^2)}$.

Soluzione

(a) Il solido e il suo volume

Le condizioni $0\le z\le x\le1$ non coinvolgono $y$: definiscono il triangolo $$T = \{(x,z) : 0\le z\le x\le1\}$$ nel piano $xz$, di vertici $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$. Per ogni $(x,z)\in T$ la variabile $y$ percorre il segmento $0\le y\le x^3$: $\Omega$ è un cilindroide con base $T$ nel piano $xz$ e "altezza" $x^3$ lungo $y$. Integrando per fili paralleli all'asse $y$: $$|\Omega| = \iint_T\left(\int_0^{x^3}dy\right)dx\,dz = \iint_Tx^3\,dx\,dz = \int_0^1\left(\int_0^xx^3dz\right)dx = \int_0^1x^4dx = \frac15.$$ (L'integrale interno in $z$ è $x^3\cdot x = x^4$, poiché $T$ è $z$-semplice nelle variabili $(x,z)$: $z$ da $0$ a $x$.)

(b) L'integrale triplo

L'integranda non è definita per $y=0$ (dove $y^{-2/3}\to\infty$): sul piano $y=0$, che è un insieme di volume nullo ma sul quale l'integranda diverge, l'integrale è generalizzato. Esiste, perché $y^{-2/3}$ è integrabile in $y=0$ (l'esponente $\frac23<1$) e l'integranda è positiva. Integrando per fili in $y$: $$\int_0^{x^3}y^{-2/3}dy = \Big[3y^{1/3}\Big]_0^{x^3} = 3x.$$ Allora $$I = \iint_T\frac{3x}{1+z^2}\,dx\,dz = 3\int_0^1\left(\int_0^x\frac{x}{1+z^2}dz\right)dx = 3\int_0^1x\arctan x\,dx.$$ Per parti ($u=\arctan x$, $v'=x$, $v=\frac{x^2}2$): $$\int_0^1x\arctan x\,dx = \left[\frac{x^2}2\arctan x\right]_0^1-\frac12\int_0^1\frac{x^2}{1+x^2}dx = \frac\pi8-\frac12\left(1-\frac\pi4\right) = \frac\pi4-\frac12,$$ dove si è usato $\frac{x^2}{1+x^2}=1-\frac1{1+x^2}$, con $\int_0^1\left(1-\frac1{1+x^2}\right)dx = 1-\frac\pi4$. Quindi $$I = 3\left(\frac\pi4-\frac12\right) = \frac{3\pi}4-\frac32\approx0{,}856.$$

(Nota: nel testo d'esame il valore trovato serve anche per il flusso uscente da $\partial\Omega$, che è $\Phi = \frac43I = \pi-2$ per il teorema della divergenza.)

Errori tipici

• Scrivere $T$ nel piano $xy$ per abitudine: qui la base è nel piano $xz$ e la variabile $y$ è quella "di altezza".
• Non accorgersi che l'integranda diverge per $y=0$ e che serve controllare che l'esponente sia $<1$.
• Dimenticare di moltiplicare per $3$ dopo l'integrale in $y$.