Esercizio - Funzione implicita, Taylor e punti di non esplicitabilità (esercizio 13)

Teoria: Funzioni implicite e teorema di Dini nel pianoUna curva di livello f(x,y) = 0 è localmente il grafico di una funzione y = g(x) se f ∈ C¹, f(x₀,y₀) = 0 e f_y(x₀,y₀) ≠ 0 (teorema di Dini): g è unica, di classe C¹ e g'(x) = −f_x/f_y (D). Se invece f_x ≠ 0 si esplicita x = h(y), con h' = −f_y/f_x: il teorema si applica in tutti i punti non critici dell'insieme di livello. Retta tangente alla curva in (x₀,y₀): f_x(x₀,y₀)(x−x₀) + f_y(x₀,y₀)(y−y₀) = 0. Se f ∈ C², g''(x₀) = −(f_xx + 2f_xy g' + f_yy g'²)/f_y. Dove f_y = 0 la curva può avere tangente verticale, incroci (x² − y²) o cuspidi (x² − y³).Funzioni implicite e teorema di Dini nel piano →. Fonte: raccolta di esercizi di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD 2025-26, esercizio 13.

Testo

Sia $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $f(x,y) = -x\,e^y + 2y - 1$.

• (i) Sia $P_0 = (x_0, y_0)$ con $x_0 \le 0$ e $f(P_0) = 0$. È vero che l'equazione $f(x,y) = 0$ definisce implicitamente, in un intorno di $P_0$, un'unica funzione continua $y = g(x)$?
• (ii) Scrivere lo sviluppo di Taylor di ordine $2$ della funzione $y = g(x)$ definita implicitamente da $f(x,y) = 0$ in un intorno di $(0, \tfrac12)$.
• (iii) Trovare tutti i punti $Q = (x_1, y_1)$ con $f(Q) = 0$ nei quali $f$ non soddisfa le ipotesi del teorema di Dini per l'esplicitabilità di $y$ in funzione di $x$.

Soluzione

(i) Dini nei punti con $x_0 \le 0$

$f$ è di classe $C^\infty$. La derivata rispetto a $y$ è $$f_y(x,y) = -x\,e^y + 2.$$ Se $x_0 \le 0$ allora $-x_0 \ge 0$ e $e^{y_0} > 0$, quindi $f_y(x_0, y_0) = -x_0 e^{y_0} + 2 \ge 2 > 0$. Le ipotesi del teorema di Dini sono soddisfatte in ogni punto di $f = 0$ con $x_0 \le 0$: sì, esiste un'unica funzione $y = g(x)$, di classe $C^1$ (anzi $C^\infty$), definita in un intorno di $x_0$ con $g(x_0) = y_0$.

(ii) Taylor di ordine 2 in $x_0 = 0$, $y_0 = \tfrac12$

Il punto sta sulla curva: $f(0, \tfrac12) = 0 + 1 - 1 = 0$. In $x_0 = 0$ si ha $x_0 \le 0$, quindi per (i) Dini si applica. Servono $g(0) = \frac12$, $g'(0)$ e $g''(0)$.

Derivate di $f$: $$f_x = -e^y,\quad f_y = 2 - xe^y,\quad f_{xx} = 0,\quad f_{xy} = -e^y,\quad f_{yy} = -xe^y.$$ Nel punto $(0, \tfrac12)$: $f_x = -e^{1/2}$, $f_y = 2$, $f_{xx} = 0$, $f_{xy} = -e^{1/2}$, $f_{yy} = 0$.

Derivata prima: $$g'(0) = -\frac{f_x}{f_y} = -\frac{-e^{1/2}}{2} = \frac{e^{1/2}}{2}.$$ Derivata seconda: $$g''(0) = -\frac{f_{xx} + 2f_{xy}\,g' + f_{yy}\,(g')^2}{f_y} = -\frac{0 + 2(-e^{1/2})\frac{e^{1/2}}{2} + 0}{2} = \frac{e}{2}.$$ (Il numeratore vale $-e$, e dividendo per $2$ col segno meno si ottiene $\frac e2$.)

Sviluppo di Taylor di ordine 2: $$g(x) = g(0) + g'(0)\,x + \tfrac12 g''(0)\,x^2 + o(x^2) = \frac12 + \frac{e^{1/2}}{2}\,x + \frac{e}{4}\,x^2 + o(x^2), \quad x \to 0.$$

Controllo diretto. Derivando l'identità $-x e^{g} + 2g - 1 = 0$: $-e^g - xe^g g' + 2g' = 0$; in $x = 0$: $-e^{1/2} + 2g'(0) = 0$, cioè $g'(0) = \frac{e^{1/2}}{2}$ ✓. Derivando di nuovo: $-e^g g' - e^g g' - xe^g(g')^2 - xe^g g'' + 2g'' = 0$; in $x = 0$: $-2e^{1/2}\frac{e^{1/2}}{2} + 2g''(0) = 0$, quindi $g''(0) = \frac e2$ ✓.

(iii) Punti dove Dini (in $y$) non si applica

I punti cercati sono quelli con $f = 0$ e $f_y = 0$: $$-xe^y + 2y - 1 = 0, \qquad 2 - xe^y = 0.$$ La seconda dà $xe^y = 2$; sostituita nella prima: $-2 + 2y - 1 = 0$, cioè $y = \frac32$. Allora $x = 2e^{-3/2}$. L'unico punto è $$Q = \left(2e^{-3/2},\ \tfrac32\right).$$ Come atteso, $x_1 = 2e^{-3/2} > 0$: non appartiene al caso (i). Lì $f_x = -e^{3/2} \ne 0$, quindi vicino a $Q$ la curva è esplicitabile come $x = h(y) = (2y - 1)e^{-y}$ (da $x e^y = 2y - 1$) con tangente verticale: in effetti $h'(y) = (2 - (2y - 1))e^{-y} = (3 - 2y)e^{-y}$ si annulla in $y = \frac32$.

Errori tipici

• Calcolare $g''$ con la formula ma usare $f_{yy}(g')^2$ senza il quadrato, o dimenticare il fattore $2$ davanti a $f_{xy}$.
• Nel punto (iii) fermarsi a $f_y = 0$ senza controllare che il punto stia sulla curva ($f = 0$).