Esercizio - gradiente, derivata direzionale e differenziabilità di una funzione con seno (appello 5 luglio 2023)

Teoria: Derivate parziali, differenziabilità e piano tangenteLa derivata parziale f_{x_i}(x0) è la derivata di t ↦ f(x0 + t e_i); il gradiente ∇f raccoglie le derivate parziali. In più variabili l'esistenza delle derivate parziali NON implica la continuità. f è differenziabile in x0 se f(x0 + h) = f(x0) + a·h + o(|h|); allora f è continua, ha gradiente e a = ∇f(x0) (D). Il grafico ha piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) e normale (−f_x, −f_y, 1). Teorema del differenziale totale: se le derivate parziali esistono vicino a x0 e sono continue in x0, f è differenziabile; C^1 ⇒ differenziabile ⇒ derivabile e continua, ma i viceversa sono falsi. Regole: Leibniz, catena (f∘r)' = ∇f(r)·r'.Derivate parziali, differenziabilità e piano tangente →, Derivate direzionali, formula del gradiente e curve di livelloLa derivata direzionale D_v f(x0) = lim [f(x0 + t v) − f(x0)]/t (v versore) è la pendenza di f lungo la retta per x0 con direzione v. Se f è differenziabile in x0 vale la formula del gradiente D_v f = ∇f(x0)·v (D); l'esistenza di tutte le D_v non basta (anche a f discontinua). Quindi la massima crescita è nella direzione di ∇f, con pendenza |∇f| (D), la minima in −∇f, e D_v f = 0 per v ⊥ ∇f. Il gradiente è ortogonale alle curve di livello (D): la tangente alla curva di livello in (x0,y0) è f_x(x−x0) + f_y(y−y0) = 0, a patto che ∇f ≠ 0.Derivate direzionali, formula del gradiente e curve di livello →.

Testo. Sia $$f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{\sin(x^2y)}{xy}&xy\ne0\\0&xy=0.\end{cases}$$ (Continuità: Esercizio - continuità sugli assi di una funzione con seno (appello 5 luglio 2023).) (b) Calcolare $\nabla f$ nei punti $P_1=(0,0)$, $P_2=(0,1)$, $P_3=(1,0)$. (c) Calcolare la derivata direzionale in $(0,0)$ lungo $\underline v=\big(\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\big)$. (d) $f$ è differenziabile in $(0,0)$?

(Fonte: appello del 5 luglio 2023, corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD, risolto a ricevimento.)

Soluzione

(b) Gradiente

Sugli assi $f\equiv0$: lungo l'asse $x$ ($y=0$) e lungo l'asse $y$ ($x=0$) la funzione è identicamente nulla. Ne segue $$f_x(x,0)=0\ \ \forall x,\qquad f_y(0,y)=0\ \ \forall y .$$

• $P_1=(0,0)$: $f_x(0,0)=0$ e $f_y(0,0)=0$, quindi $\nabla f(0,0)=(0,0)$.
• $P_2=(0,1)$: $f_y(0,1)=0$ (asse $y$). Per $f_x(0,1)$ si usa il rapporto incrementale: per $h\ne0$ il punto $(h,1)$ ha $xy=h\ne0$, quindi $f(h,1)=\frac{\sin(h^2)}{h}$ e $$f_x(0,1)=\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\cdot\frac{\sin h^2}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\sin h^2}{h^2}=1 .$$ Dunque $\nabla f(0,1)=(1,0)$.
• $P_3=(1,0)$: $f_x(1,0)=0$ (asse $x$). Per $f_y(1,0)$: $f(1,h)=\frac{\sin h}{h}$ per $h\ne0$ e $$\frac{f(1,h)-f(1,0)}{h}=\frac{1}{h}\cdot\frac{\sin h}{h}\xrightarrow{h\to0^\pm}\pm\infty ,$$ limiti discordi: non esiste $f_y(1,0)$. Il gradiente in $P_3$ non esiste.

(c) Derivata direzionale

Per $t\ne0$ il punto $t\underline v=\big(\frac t{\sqrt2},\frac t{\sqrt2}\big)$ ha $xy=\frac{t^2}{2}\ne0$: $$f\Big(\frac t{\sqrt2},\frac t{\sqrt2}\Big)=\frac{\sin\big(\frac{t^2}{2}\cdot\frac{t}{\sqrt2}\big)}{\frac{t^2}{2}}=\frac{2}{t^2}\sin\frac{t^3}{2\sqrt2}.$$ Il rapporto incrementale è $$\frac{f(t\underline v)-f(\underline 0)}{t}=\frac{2}{t^3}\sin\frac{t^3}{2\sqrt2}\xrightarrow{t\to0}\frac{2}{t^3}\cdot\frac{t^3}{2\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}$$ (si usa $\sin u\sim u$ con $u=\frac{t^3}{2\sqrt2}\to0$). Quindi $D_{\underline v}f(0,0)=\dfrac1{\sqrt2}$.

(d) Differenziabilità in $(0,0)$: no

Se $f$ fosse differenziabile in $(0,0)$ varrebbe la formula del gradiente $D_{\underline v}f(0,0)=\nabla f(0,0)\cdot\underline v$ (Derivate direzionali, formula del gradiente e curve di livelloLa derivata direzionale D_v f(x0) = lim [f(x0 + t v) − f(x0)]/t (v versore) è la pendenza di f lungo la retta per x0 con direzione v. Se f è differenziabile in x0 vale la formula del gradiente D_v f = ∇f(x0)·v (D); l'esistenza di tutte le D_v non basta (anche a f discontinua). Quindi la massima crescita è nella direzione di ∇f, con pendenza |∇f| (D), la minima in −∇f, e D_v f = 0 per v ⊥ ∇f. Il gradiente è ortogonale alle curve di livello (D): la tangente alla curva di livello in (x0,y0) è f_x(x−x0) + f_y(y−y0) = 0, a patto che ∇f ≠ 0.Derivate direzionali, formula del gradiente e curve di livello →). Ma $\nabla f(0,0)=(0,0)$ darebbe $D_{\underline v}f(0,0)=0$, mentre da (c) è $\frac{1}{\sqrt2}\ne0$. Contraddizione: $f$ non è differenziabile in $(0,0)$, pur essendo continua, derivabile e con tutte le derivate direzionali (almeno quelle calcolate).

Verifica con l'errore relativo. $E=\dfrac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}$; sulla bisettrice $x=y=s/\sqrt2$ vale $\frac{1}{\sqrt2}\ne0$ (è proprio il valore di $D_{\underline v}f$), mentre dovrebbe tendere a $0$.

Errori tipici. Calcolare $f_y(1,0)$ con la formula "fuori dagli assi" (il punto è sull'asse); concludere che $f$ è differenziabile in $(0,0)$ perché è continua e $\nabla f$ esiste; dimenticare la normalizzazione di $\underline v$ (qui $|\underline v|=1$).